第三章 半导体中的电子状态.ppt

1、1,3-1 半导体的晶体结构和结合性质 3-2 半导体中的电子状态和能量 3-3 半导体中的电子运动 有效质量 3-4 本征半导体的导电机构 空穴 3-5 回旋共振 3-6 硅和锗的能带结构 3-7 -族化合物半导体的能带结构 3-8 -族化合物半导体的能带结构,第三章 半导体中的电子状态,2,3-1 半导体的晶体结构和结合性质,金刚石型结构和共价键,1个立方晶胞中有效原子数：,3,许多材料的结构与金刚石相同，故称之为金刚石型结构。这些材料主要是第IV族 C、Si、Ge、Sn，其中Si和Ge均是最重要的半导体材料。 结构特点： 金刚石型结构为两面心立方套构。一个基元有两个原子，相距为对角线长度

2、的1/4。,4,任何一个原子的最近邻均有4个原子。例如，离0点对角线1/4处的原子的最近邻原子为0点原子和三个面心原子，它们以共价键形成了一个正四面体，键角10928。,0,正四面体：顶角、中心有原子 电子云密度大共价键配位数4,5,金刚石结构是相同原子构成的复式晶格，由两套面心立方晶格沿1/4体对角线错开。而每套面心立方晶格按ABCABC的顺序堆积起来。,6,M,7,四面体结构中，四个共价键不是以孤立原子的电子波函数为基础形成的，每个原子的最外层价电子为一个s 态电子和三个p态电子。在与相邻的四个原子结合时，四个共用电子对完全等价，难以区分s与p态电子，因而人们提出了“杂化轨道”的概念：一个

3、s 和三个p轨道形成了能量相同的sp3杂化轨道。,8,晶格常数：硅 0.543 nm, 锗 0.566 nm 原子密度： 5.00*1022cm-3, 4.42*1022cm-3 共价半径： 0.117nm, 0.122nm,几个重要的参数,单位体积（1cm3）内的原子个数,9,10,闪锌矿型结构和混合键,在金刚石结构中，若由两类原子组成，分别占据两套面心立方闪锌矿结构。 两类原子：III族(铟,镓)和V族(磷,砷,锑),价键：共价键，有一定成份的“离子键”，称之为混合键，即具有“离子性”“极性半导体”。 (极性物质：正负电荷中心不重合的物质，会形成“电偶极子”) 如砷化镓中，砷具有较强的电负

4、性(得电子能力)。因此，砷(V)相当于负离子，镓(III)相当于正离子。,11,III-V化合物有离子性，双原子层是一种电偶极层。 IIIV为111方向，III族原子层为(111)面。 结论：共价结合占优势的情况下，此类物质倾向于构成“闪锌矿结构”。,12,纤锌矿型结构和氯化钠型结构,六角密堆积结构和面心立方结构具有相似的地方：ABABAB;ABCABC。 两套面心的套构形成了闪锌矿结构； 两套六角的套构形成了纤锌矿结构。 每个原子与最近邻的四个原子依然保持“正四面体”结构。 主要由II和VI族原子构成，它们的大小、电负性差异较大，呈现较强的离子性，如：ZnS、CdS等。,13,3-2 半导体

5、中的电子状态和能带,知识点的回顾,简并: 属于同一个本征值的线性无关的本征函数有若干个. 主量子数n=1,2,3；角量子数 l；磁量子数 m,对应于l=0,1,2,3的各支壳层分别用s, p, d, f, g, h表示,14,原子的能级和晶体的能带,当 N 个原子相距很远时，每个原子的电子壳层完全相同，即电子具有相同的能级，此时为简并的。 当 N 个原子相互靠近时，相邻原子的电子壳层开始交叠，电子不再局限在一个原子上，可通过交叠的轨道，转移到相邻原子的相似壳层上，由此导致电子在整个晶体上的“共有化”运动。,电子共有化,15,波的角度：电子在周期场中运动，由单电子近似可得波具有布洛赫波函数形式；

6、波的运动表示电子的运动不再局限于某个原子，而体现了共有化运动的特征。 粒子的角度：电子壳层有相当重叠，电子可以由一个原子转移至另一个原子的相似壳层（主要指外层电子）。,16,另外，由于 2 个电子不能有完全相同的能量，交叠的壳层发生分裂，形成相距很近的能级带以容纳原来能量相同的电子。原子相距越近，分裂越厉害，能级差越大。由此导致简并的消失。,内壳层的电子，轨道交叠少，共有化运动弱，可忽略。外层的价电子，轨道交叠多，共有化运动强，能级分裂大，被视为“准自由电子”。 原来简并的N个原子的s能级，结合成晶体后分裂为N个十分靠近的能级，形成能带(允带)，因N值极大，能带被视为“准连续的”。,17,能带

7、的形成,完全分离的两 个氢原子能级,两个氢原子靠得很近得能级,六个氢原子靠得很近得能级,原子的的外层电子因原子间的相互影响较强，能级分裂造成的能量范围大，能级较宽，内层电子则因相互影响较弱而能带较窄。,18,能带的宽度记作E ，数量级为EeV。 若N1023，能带中相邻两能级间距约10-23eV。,越是外层电子，能带越宽，E越大。 点阵间距越小，能带越宽，E越大。,19,允带,能带,禁带,禁带,原子级能,原子轨道,每个原子轨道对应的原子能级，在由 N 个原子组成的晶体中，分裂为若干个能带； 非简并的原子能级对应的每个能带由 N 个准连续的能级组成，分裂的每个能带都称为允带；允带之间不存在能级，

8、称为禁带。,20,满带：排满电子.,价带：能带中一部分能级排满电子.,空带：未排电子，亦称导带.,禁带：不能排电子.,有关能带被占据情况的几个名词：,导带：空带和未被价电子填满的价带称为导带.,半导体中存在一系列的满带，最上面的满带称为价带；存在的一系列空带，最下面的空带称为导带。价带与导带之间有带隙，称为禁带，禁带宽度用Eg表示。,能带中电子的排布,21,N个碱金属原子的 s 能级分裂后形成了N个准连续的能级，可容纳 2N 个电子。因此N个电子填充为半满，可导电。而被2N个电子填满，因上下能带交叠亦导电。 金刚石、硅、锗单个原子的价电子为2个 s 和2个p电子；形成晶体后为1个 s电子和3个

9、p电子，经轨道杂化后 N个原子形成了复杂的2N个低能带和2N个高能带，4N个电子填充在低能带，又称价带；而上面的能带为空带，又称导带，两者之间即为禁带，用禁带宽度Eg表征。,22,室温下： 金刚石 Eg=67eV （绝缘体） 硅 Eg=1.12eV （半导体） 锗 Eg=0.67eV （半导体）,2N个态 0个电子,2N个态 4N个电子,23,半导体中电子的状态和能带,在晶体中的电子，存在着电子和电子之间的相互作用，也存在电子与离子的相互作用。为了理论计算的方便，必须作简化处理。 单电子近似：忽略电子之间的相互作用，仅考虑离子的周期性势场对电子的影响，并认为原子核是固定不动的。这种近似也叫“独

10、立电子近似”。 电子运动满足的规律：,24,自由电子E与k的关系,25,电子的运动方程,单电子近似认为，电子与原子的作用相当于电子在原子的势场中运动。周期性的原子排列产生了周期性的势场。在一维晶格中，x处的势能为：,在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)和波函数(x)必须满足定态薛定谔方程：,26,周期函数，反映电子在每个原子附近的运动情况。,平面波函数，空间各点出现的几率相同，电子共有化的反映。,布洛赫(F.Bloch)证明，电子所满足的波函数一定具有如下形式：,布洛赫波函数,布洛赫函数是比自由电子波函数更接近实际情况的波函数。,27,在量子力学建立以后，布洛赫和布里渊等人就致力于研究

11、周期场中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子波函数的特点。 布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子波函数为：一个自由电子波函数eikx与一个具有晶体结构周期性的函数uk(x)的乘积。 布洛赫函数是按晶格的周期 a 调幅的行波，这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化倾向，又受到周期排列的离子的束缚的特点，只有在uk(x)等于常数时，在周期场中运动的电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。,28,-3/2a - 1/2a 0 1/2a 3/2a k,E,禁带,禁 带,禁 带,布里渊区与能带,29,布里渊区边界能量不连续，形成允带和禁带。

12、将能量值E(k)作布里渊区整数倍的平移，总可以将其他布里渊区的值平移到第一布里渊区。 平移不改变能量的大小。因此第一布里渊区有晶体能量的全部信息，常称此区域为简约布里渊区。 在考虑能带结构时，只需考虑简约布里渊区，在该区域，能量是波矢的多值函数，必须用En(k)标明是第n个能带。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大，与外层电子相比，它们的势垒强度较大。所以内层电子的能带较窄，外层电子的能带较宽。,30,以 kx，ky，kz 为三个直角坐标轴，建立一个假想空间，该空间称为波矢空间或k空间或动量空间。,根据周期性边界条件，波矢k三个分量为：,在 k 空间中，电子的每个状态可以用一个状态点表示，

13、上述波矢的三个分量既是这个点的坐标。,31,它们的导电性能不同，是因为它们的能带结构不同。,导体、半导体和绝缘体的能带,固体按导电性能的高低可以分为,32,绝缘体,能带的特征：（1）只有满带和空带；（2）满带和空带之间有较宽的禁带，禁带宽度一般大于3eV。 由于满带中的电子不参与导电，一般外加电场又不足以将满带中的电子激发到空带，此类晶体导电性极差，称为绝缘体。,半导体,导电能力介于导体与绝缘体之间的晶体称为不同，它的能带结构也只有满带和空带，与绝缘体的能带相似，差别在于禁带宽度不同，半导体的禁带宽度一般较小，在2eV以下。,33,导体,一价碱金属,二价碱金属,其它金属,一价碱金属，价带为不满

14、带；二价碱金属，价带为满带，但满带与空带紧密相接或部分重叠；其它金属能带，其价带为不满带，且与空带重叠。,当外电场作用于晶体时，价带中的电子可以进入较高能级，从而可以形成电流，这正是导体具有良好导电性能的原因。,34,本征半导体,纯净无杂质的半导体称为本征半导体，如硅、锗等。由于本征半导体的禁带宽度较小，所以当外场作用于晶体时，少量电子可以由价带进入空带，同时在价带中留下一个空位，称为空穴，它相当于一个带正电的粒子。,半导体中的电子和空穴总是成对出现的，称为电子-空穴对。进入空带的电子可以导电，称为电子导电；满带中的空穴也能导电，称为空穴导电。电子和空穴统称为载流子。当满带中出现空穴时，在外电

15、场的作用下，满带中的其它电子将去填充空穴，从而有留下新的空穴。,-e,+e,导带,禁带,满带,35,杂质半导体,P型半导体（空穴型）：四价Si, Ge掺三价B, Al, In。,三价原子在晶体中代替四价原子，构成四电子结构时，缺少一个电子，相当于出现了空穴。杂质原子称为受主原子，相应杂质能级称为受主能级。因而 P 型半导体的导带机构是主要依靠满带中的空穴导电。,N型半导体（电子型）：四价Si，Ge掺五价P, Sb, Td。,五价原子代替四价原子，多出一个价电子只在杂质离子的电场范围内运动。杂质原子称为施主原子，相应杂质能级称为施主能级。因而 N 型半导体的导带机构是主要依靠施主能级激发到导带中

16、的电子导电。,36,相当于产生了一个带正电的粒子(称为“空穴”)，把电子抵消了。,半导体CdS,37,空带(导带),满带(价带),在外电场作用下空穴下面能级上的电子可以跃迁到空穴上来，这相当于空穴向下跃迁。,满带上带正电的空穴向下跃迁也形成电流，这称为空穴导电。,38,解,半导体CdS激发电子,光波的波长最大多长？,39,3-3 半导体中的电子运动 有效质量,半导体中(k)与k的关系,由于半导体中起作用的是能带极值附近(即导带底和价带顶)的电子和空穴，因此只要知道极值附近的E(k)k关系就足够了。 考虑一维情况，设能带底(顶)位于k=0，将E(k)在 k=0附近按泰勒级数展开：,40,忽略k2

17、以上高次项，因此在k0处E(k)极小，故有(dE/dk)k=0=0，因此：,与自由电子E与k的关系相比有类似之处,不同的是m0是电子惯性质量，因此常称mn*为电子有效质量,对确定的半导体，(d2E/dk2)k=0是确定的。,41,能带底导带底,E(0)=Ec(0)；E(k)Ec(0),表明能带底（导带底）电子的有效质量为正。,能带顶价带顶,E(0)=Ev(0)；E(k)Ev(0),表明能带顶（价带顶）电子的有效质量为负。,42,半导体中电子的平均速度,引入电子有效质量 mn*后，除 E(k)k 关系与自由电子相似外，半导体中电子的速度与自由电子的速度表达式形式也相似，只是半导体中出现的是有效质

18、量mn*。电子运动的群速度表征电子的平均速度：,电子准动量，非实际动量。,43,半导体中电子的加速度,当有外加电场作用时，电子受到 f=-q|E|的力，外力对电子作功，电子的能量变化，由功与能量的关系得：,44,上述半导体中电子的运动规律公式都出现了有效质量mn*，原因在于 F=mn*a 中的F并不是电子所受外力的总和。 即使没有外力作用，半导体中电子也要受到格点原子和其它电子的作用。当存在外力时，电子所受合力等于外力再加上原子核势场和其它电子势场力。 由于找出原子势场和其他电子势场力的具体形式很困难，这部分势场的作用就由mn*加以概括， mn*有正有负正是反映了晶体内部势场的作用。,有效质量

19、的意义,45,在 k=0 附近，内部势场很弱，接近自由电子，有效质量为正；在布里渊区边界，内部势场对电子的作用很强，大于外场，使有效质量呈现负值。 加速度公式中，外力作用于有效质量而不是惯性质量。其原因是，电子受的总力为外电场力和内部原子的势场力之和。因此，加速度是内外场作用的综合效果。使用有效质量可以使问题变简单：可以不涉及半导体的内部势场，而又可以从实验测定有效质量。,46,自由电子,晶体中电子,47,3-4 本征半导体的导电机构 空穴,机构：指产生机理的物质。 本征半导体中本征的含义：即本来的特征。也即材料本身所特有的，100%纯的，无外来杂质的，理想的特征。,在外电场E作用下，受外力作

20、用价顶带一个电子跃迁至导带，留出一个空状态，而电子的k 状态随时间不断去填充这个空状态，从而产生电流。,48,k状态的电子电流=(-q)v(k),设电流为J，也即空的k 状态的电流。设想有一个电子填充到空的 k 状态，这个电子的电流等于电子的电荷乘以k状态的电子速度。,填入电子后价带又被填满，总电流应为零：,价带电子的总电流，如同一个带正电荷的粒子以状态电子速度运动所产生的电流。 因此这个空状态用带正电荷的空穴表征。空穴不仅带有正电荷+q，而且还具有正的有效质量mp*.,49,在外电场作用下，所有电子的k状态都按dk/dt =-q|E|/h变化。也即在 k 空间，所有电子均以相同的速率 -q|

21、E|/h 向左运动的同时，空穴也以相同的速率沿同一方向运动。即空穴 k 状态的变化规律和电子的相同。 布里渊区边界至中心，E(k)曲线斜率不断增大，空穴速度不断增加，因而其加速度为正值 。,50,价带顶附近电子的加速度为：,引入空穴有效质量：,空穴有正的有效质量,51,当价带上缺少一些电子而空出一些 k 状态后，可认为这些 k 状态为空穴所占据。 空穴可以看成是一个具有正电荷+q和有效质量mp*的粒子。在k 状态空穴的速度就等于该状态电子的速度v(k)。 引入空穴的概念后，就可以把价带中大量电子对电流的贡献用少量的空穴表示出来，具有实际意义。 本征半导体有两种导电载流子：导带电子和价带空穴。导

22、带上出现多少电子，价带中相应就出现多少空穴。导带上电子参与导电，价带上空穴也参与导电。即半导体的导电机构有两种：电子和空穴。,52,3-5 回旋共振,回旋共振实验是确定载流子的有效质量并据此推出半导体能带结构的重要方法。 大多数半导体，起作用的基本是导带底附近的电子和价带顶附近的空穴，所以本节着重介绍导带底和价带顶附近的能带结构。,53,不同半导体的E(k)k关系各不相同。即便同一种半导体，沿不同 k 方向的E(k)k关系也不相同。换言之，半导体的E(k)k关系可以是各向异性的。 沿不同 k 方向E(k)k关系不同就意味着半导体中电子的有效质量mn*是各向异性的。,54,要了解能带结构，就要求

23、出E(k)与k 的函数关系。设能带极值位于k=0处，则导带底附近：,价带顶附近：,k空间等能面,当E(k) 为确定值时，对应多个不同的(kx,ky,kz)，把这些不同的(kx,ky,kz)连接起来就可以构成一个能量值相同的封闭面，称为等能面。,55,此k空间等能面为球形，其半径为：,或以空穴有效质量表示为：,结合有效质量与E(k)和k的关系可推知，具有球形等能面的E(k)k关系其电子有效质量是各向同性的。,E(0),E1,E2,E3,56,半导体的能带极值点不一定在k0处，沿不同k方向E(k)k关系也不同，即有效质量mn*各向异性。,设导带底极值点在k0处，极值为Ec，在晶体中选择适当的三个坐

24、标轴，沿着 kx，ky，kz 轴的导带底有效质量分别为mx*，my*，mz*，用泰勒级数在极值k0附近展开，略去高次项得：,57,E1,k0,等能面为椭球面，这种半导体具有各向异性。 表明沿不同方向，有效质量取值不同。,E2,E3,kz,ky,58,回旋共振,将一块半导体样品置于磁场强度为B的均匀恒定的磁场中，如半导体中电子的初速度为v，磁场力为：,电子做螺旋线运动,59,如等能面是球面，电子回旋速度和加速度分别为：,回旋频率,再以电磁波通过半导体样品，当交变电磁场频率 等于回旋频率c 时，就可发生共振吸收。测出共振吸收时电磁波的频率和磁感应强度B，即可根据上式计算出相应的有效质量。,60,如

25、等能面不是球面而是椭球面，也即有效质量是各向异性的，沿kx, ky, kz 轴方向导带底电子的有效质量分别为mx*, my*, mz*。设磁场强度 B 沿三轴的方向余弦分别为,，乘以B也即在kx，ky，kz三轴上的投影或三个分量：,则电子所受的力为：,61,则电子在各方向上的运动方程为：,电子作周期运动，分别取如下形式解：,62,将试解带入电子的运动学方程可得：,63,要使方程组有解，相应行列式须为零，即：,64,当交变电磁场频率等于回旋频率c时，就能观测到共振吸收，从而可计算出的电子的有效质量。 为能观测出明显的共振吸收峰，就要求样品纯度高，低温，交变电磁场的频率在微波或红外光的范围。,65

26、,3-6 硅和锗的能带结构,硅和锗的导带结构,如等能面是球面（mn*各向同性），改变磁场方向时只能观察到一个吸收峰；如沿kx,ky, kz三个方向mn*各不相同，则有三个吸收峰，或者说有几个吸收峰就有几个有效质量。,n型Si和Ge，B 沿111晶轴方向，有一个吸收峰；沿110晶轴方向，有二个；沿100晶轴方向，有二个；沿任意晶轴方向，三个。,66,为解释上述结果，提出的模型认为：硅导带极小值在100方向上，其等能面是沿100方向的旋转椭球面，长轴与100方向重合。根据硅晶立方对称性要求，共有六个旋转椭球面，电子主要分布在这些极值附近。,67,以沿001方向的旋转椭球面为例，选取适当坐标系：,取

27、Ec为导带底能量零点，以k0s为坐标原点。,k1,k2有效质量相同,68,其中mx*=my*=mt， mz*=ml。分别称为横向有效质量与纵向有效质量。据试验得出硅的mt，ml分别为：,mt，ml代入有效质量公式：,69,若B位于k1，k3平面内，且与k3轴交角，则方向余弦、分别为： =sin，=0 ， =cos,70,若B沿111方向，即立方晶格体对角线方向，其与kx、ky、kz夹角相同，即cos=(1/3)1/2：,由=c=qB/mn*，可知由于mn*只有一个值，改变B只能观察到一个吸收峰。,71,测得两个不同的mn*值，改变B可观察到两个吸收峰。,72,不引入新坐标 k1、k2、k3，通

28、过坐标平移解释磁场入射方向不同时出现为数不等的吸收峰，也即有多个有效质量的问题。,73,=(1/2)1/2,=(1/2)1/2,=0； mx*=ml，my*=mz*=mt ；,B沿110方向,mn*=mt2mt /(mt+ml)1/2,74,=(1/2)1/2,=(1/2)1/2,=0； my*=ml，mx*=mz*=mt ；,mn*=mt2mt /(mt+ml)1/2,B沿110方向,75,=(1/2)1/2,=(1/2)1/2,=0； mz*=ml，mx*=my*=mt ；,mn*=(mt ml)1/2,76,kz,kx,ky,=1,=0,=0； mx*=ml，my*=mz*=mt ；,B

29、沿100方向,mn*=mt,77,kz,kx,ky,=1,=0,=0； my*=ml，mx*=mz*=mt ；,mn*=(mt ml)1/2,78,kz,kx,ky,=1,=0,=0； mz*=ml，mx*=my*=mt ；,mn*=(mt ml)1/2,79,价带结构,硅和锗的价带结构也是一方面通过理论计算，求出E(k)k 的关系，另一方面由回旋共振试验确定空穴有效质量。 硅和锗价带顶位于 k=0，即布里渊区的中心，其能带是简并的，计自旋硅和锗价带是 6 度简并，考虑自旋轨道耦合后，可以消除部分简并，得到两组简并状态，一组四度简并的状态和另一组两度简并的状态，各自对应一定的能量与波矢的关系。

30、,80,四度简并的能量表达式：,二度简并的能量表达式：,自旋轨道耦合分裂能量,相应给出第三种空穴有效质量(mp)3。,81,Si、Ge价带顶的三个电子能带,82,硅和锗的能带结构,硅和锗的能带是典型的间接禁带的结构。 Si 的导带底附近等能面是由长轴沿100等方向的6个旋转椭球等能面构成，旋转椭球的中心位于100等方向上简约布里渊区中心至边界的0.85倍处； Ge的导带底附近的等能面由长轴沿111等方向的 8 个旋转椭球等能面构成，导带极小值对应的波矢位于111方向简约布里渊区的边界上，这样在简约布里渊区内有4个完整的椭球。,83,Si和Ge的简约布里渊区和k空间导带底附近等能面示意图,纵向m

31、l 横向mt,84,Si和Ge价带顶位于布里渊区中心k0处，且价带是简并的。由于能带简并，Si和Ge分别具有有效质量不同的两种空穴，有效质量较大的重空穴(mp)h和有效质量较小的轻空穴(mp)l。 另外由于自旋轨道耦合作用，还给出第三种空穴有效质量(mp)3，这个能带偏离了价带顶，第三种空穴不常出现。因此对Si和Ge性质起作用的主要是重空穴和轻空穴。,85,Si、Ge和GaAs的能带结构,86,禁带宽度,禁带宽度Eg是随温度和成分的变化而变化的。在T=0K时，硅和锗的禁带宽度Eg分别趋近于1.17eV和0.743eV，随温度升高Eg按如下关系式递减。,硅：=4.7310-4ev/K； =636

32、K 锗：=4.77410-4ev/K； =235K,87,0 x0.85，能带结构与Si类似；,0.85x1，能带结构与Ge类似。,Si1-xGex混晶:,x=0.85,88,3-7 -族化合物半导体的能带结构, - 族半导体晶体结构为闪锌矿型结构，与硅和锗具有同一类型的能带结构，本节简单介绍应用和研究较多的InSb和GaAs的能带结构。,族元素:Al(铝),Ga(镓),In(铟),族元素:P(磷),As(砷),Sb(锑),形成九种化合物,Eg大致随平均原子序数的减小而增加：,Egmin=0.18eV(InSb)；Egmax=2.26eV(GaP),89,-族半导体价带极值均位于k=0处。,导带电子有效质量大致随平均原子序数增加而减小。,平均序数较低的四种化合物：,AlP， AlAs，AlSb，GaP,导带极值位于100方向，属间接禁带半导体。导带底与价带顶的能量对应的波矢不同为间接禁带。,平均序数较高的五种化合物：,InSb，InAs，GaAs，GaSb，InP,导带极小值位于k=0处，属直接禁带半导体。,90,锑化铟(InSb)能带结构,InSb 为直接禁带，极值均近似位于 k=0