概率论与数理统计 1-4事件的独立性.ppt

1、1-4-1,1.4 事件的独立性,独立性的概念,事件独立性的性质,多个事件的独立性,1-4-2,一、独立性的定义,例 1 袋中有 a 只黑球，b 只白球每次从中取出 一球，令： A = 第一次取出白球 ， B = 第二次取出白球 ， 分有放回和不放回情形讨论,同理,（1）有放回情形：,1-4-3,由于,1-4-4,（2）不放回情形：,所以，,同理,1-4-5,由此例题你会得到什么结论？,说明,由此例知，两种情形中都有,在不放回情形有：,在有放回情形有：,1-4-6,二、事件独立性的性质：,设A、B是两个随机事件，如果,则称A 与B是相互独立的随机事件,定义：,1 如果事件A 与B 相互独立，而

2、且,2 必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立,1-4-7,3 若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,证明：只证 相互独立即可,这个性质很重要！,由于,1-4-8,例 2,设事件 A 与 B 满足：,若事件 A 与,若 AB =，则事件 A 与 B,证明：,B 相互独立，则 AB；,不相互独立,若AB =，则,由题设知,即事件 A 与 B 不相互独立,此例说明：互不相容与相互 独立不能同时成立。,1-4-9,例3,设两两独立的三个事件A,B,C满足:,解：由加法公式可得,求P(A).,A、B、C两两独立,于是有:,解之得:,根据题意, 得,1-4

3、-10,三、多个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件，,1 三个事件的独立性：,则称A、B、C是相互独立的随机事件,注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立,试想：n个随机事件的独立性的定义及性质。,如果,1-4-11,例4 袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球，令： A= 取出的球涂有红色 B= 取出的球涂有白色 C= 取出的球涂有黑色 则：,1-4-12,由此可见,但是,这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，

4、 但不是相互独立的,1-4-13,2 n个事件的相互独立性：,1-4-14,3 独立随机事件的性质：,（1）其中任意m (2mn) 个随机事件也相互独立.,也相互独立. 其中i1, i2, , in是1, 2, , n的一个排列.,1-4-15,若 是相互独立的事件，则,4 相互独立事件至少有一发生的概率：,对于任意n个事件,1-4-16,注 意,特别地,如果,则有,不论 p 多么小,假设独立重复进行若干次试验E,Ai表示第i次试验中事件A出现,则前n次试验中事件A至少出现一次的概率:若记每次试验事件A发生的概率为P(A)=p, 则,小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。,

5、1-4-17,例5：某人花钱买A、B、C三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别是P(A)=0.03, P(B)=0.01 , P(C)=0.02 且各种奖券中奖是相互独立的，如果只要一种奖券中奖就赚钱，问此人赚钱的概率。,解：由题意知：计算,由于A、B、C是相互独立，且两两互不相容。则,或解：,1-4-18,例6：甲乙丙3部机床独立工作，由一人照管，它们不需要工人照顾的概率分别为0.9,0.8,0.85.求此段时间内需要工人照顾的概率，无人照顾停工的概率。,解：设A,B,C分别表示“此段时间内甲、乙、丙机车不 需要工人照顾”的事件，且,问题转化为分别求,于是,A,B,C是相互独立的,ABC表示事件“不需要工人照顾”,1-4-19,例7 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点.设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为p.求 L至 R 为通路的概率.,解 ： 设事件Ai (i=1,2,3,4)为“第i个继电器接点闭合”,L 至R 为通路这一事件可表示为：,A1, A2, A3, A4的相互独立性,1-4-20,本节要点：,1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义