人教版高一数学必修一同步课件：2.2.1（第1课时）对数

1、2.2 对 数 函 数 2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对 数,一、对数的有关概念 1.对数的概念 (1)请根据下图的提示填写与对数有关的概念.,指数,对数,幂,真数,底数,(2)对数的底数a的取值范围是_. 2.常用对数与自然对数 (1)请依据常用对数与自然对数的定义连线. (2)其中无理数e=2.718 28.,a0,且a1,判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)对数log39和log93的意义一样.( ) (2)(-2)3=-8可化成log(-2)(-8)=3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数.( ) (4)lg x可以写成log x.( ),提示：(1)错误.log3

2、9表示的是以3为底9的对数，log93表示 的是以9为底3的对数. (2)错误.对数式中的底数要求满足大于0且不等于1，而 -20，对数式中要求真数大于0，而-80,故此说法错误. (3)正确.通过ax=N(a0,且a1)x=logaN(a0,且a1) 可知此说法正确. (4)错误.lgx=log10 x.故此说法错误. 答案：(1) (2) (3) (4),二、重要结论 1.负数和零_对数. 2.loga1=_(a0,且a1). 3.logaa=_(a0,且a1). 思考：为什么logaN(a0，且a1)中N0，才有意义？ 提示：依据对数定义，若axN，则xlogaN，对于a0，不 论x取何

3、实数总有ax0，故需N0.,没有,0,1,【知识点拨】 1.对数logaN中规定a0且a1的原因 (1)a0时，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算 性质可知，不存在实数x使( )x=2成立，所以 不存在， 所以a不能小于0. (2)a=0时，N0时，不存在实数x使ax=N,无法定义logaN;N=0 时，任意非零实数x,有ax=N成立，logaN不确定. (3)a=1时，N1,logaN不存在;N=1,loga1有无数个值，不能 确定.,2.从“三角度”看对数式的意义 角度一：对数式logaN可看作一种记号，只有在a0,a1,N0时才有意义. 角度二：对数式logaN也可以看作一

4、种运算，是在已知ab=N求b的前提下提出的. 角度三：logaN是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个数,不可分开书写,也不可认为是loga与N的乘积. 3.loga1=0和logaa=1(a0且a1)的应用 主要应用于求真数为1的对数值和真数与底数相等的对数值.,类型 一 对数的概念 【典型例题】 1.使对数loga(2a1)有意义的a的取值范围为( ) A.a 且a1 B.00且a1 D.a 2.设alog310，blog37，则3ab_.,3.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)7.60=1. (2)( )2=9. (3)103=0.001. (4) =2. (5)lg

5、b=1.299. (6)ln2=0.693.,【解题探究】1.要使对数有意义，对数的底数和真数需要满足什么条件？ 2.解答题2时需要对已知对数式进行怎样的变形？需要用到幂的什么运算性质求3a-b？ 3.指数式与对数式互化的依据是什么？,探究提示： 1.对数的底数大于0且不等于1，真数大于0. 2.将对数式化为指数式，逆用同底数幂相除底数不变指数相减的法则. 3.依据是对数的定义,即ax=NlogaN=x.,【解析】1.选B.由对数的概念可知使对数loga(2a1)有意义 的a需满足 解得0a 2.alog310，blog37, 3a=10,3b=7, 答案：,3.(1)log7.61=0. (

6、2) 2. (3)lg0.001=3. (4)( )2=3. (5)101.299=b. (6)e0.693=2.,【拓展提升】 1.对数中底数和真数的取值范围 (1)底数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知对数中的底数也要大于0且不等于1. (2)真数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知:对数式中的真数实际上是指数式中的幂，由于已经规定底数大于0且不等于1，所以幂(即真数)为正数.因此，在解决含有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于0.,2.指数式与对数式互化的解题思路 (1)指数式化为对数式 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式

7、化为指数式 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.,【变式训练】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)101.5=a. (2)ln100=4.605. (3)lgx= (4) =z. 【解析】(1)lga=1.5.(2)e4.605=100. (3) =x.(4)xz=,类型 二 利用对数定义求值 【典型例题】 1.(2013韶关高一检测)2log525+3log264-8ln1_. 2.求下列各式中x的值. (1)log927=x. (2) =x. (3)log32x= (4)logx125=6.,【解题探究】1.题1中若log525=a,log264=b，l

8、n1=c,则a,b,c分别是多少？ 2.要求对数式中x的值，需要用到哪些变形方法？ 探究提示： 1.由5a=25,知a=2,由2b=64,知b=6,由ec=1,知c=0. 2.要求对数式中x的值，需要先将对数式化为指数式，然后利用幂的运算性质计算.,【解析】1.设log525=a，log264=b，ln1=c， 则5a=25，2b=64，ec=1. 又因为52=25，26=64，e0=1， 所以a=2，b=6，c=0. 所以2log525+3log2648ln1 =22+3680=22. 答案：22,2.(1)因为log927=x，所以9x=27 ，即32x=33， 于是2x=3，x= (2)

9、因为 =x，所以( )x=81， 所以( )x=34，即 =34，于是 =4，x=16. (3)因为log32x= 所以 (4)因为logx125=6，所以x6=125， 又x0，所以,【拓展提升】 1.巧解对数式中的求值问题 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. (2)基本方法 将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. 利用幂的运算性质和指数函数的性质计算.,2.logaan=n(a0,且a1)的应用 (1)证明：设logaan=x,则an=ax,由指数函数的单调性知n=x,所以logaan=n. (2)应用技巧：如果对数的真数能化为

10、以对数的底数为底数的幂的形式，那么对数的值就是幂指数.,【变式训练】设a，bR，且(2a1)2(b8)20，则 log2(ab)_. 【解题指南】先根据非负数的性质求出a，b的值，再求对数 的值. 【解析】由(2a1)2(b8)20，得 解得 ab4， log2(ab)log242. 答案：2,类型 三 利用对数的结论及恒等式求值 【典型例题】 1.求值： (1)10lg2=_. (2) =_. (3) =_. (4) =_.,2.求下列各式中x的值 (1)log2(log5x)0. (2)log3(lgx)1.,【解题探究】1.根据对数的定义可知， 的运算结果是 什么？题1中各式是否具备 的

11、形式，如果不具备可如何 变形？ 2.指数式 a0=1，a1=a(a0,且a1)，如何化为对数式？解 答本题时如何应用？,探究提示： 1. =N. 可利用幂的运算性质对题1中各式(1)除外)变形后应用以上 结论求值. 2.a0=1loga1=0，a1=alogaa=1.可以利用这种等价关系由 对数值求真数的值.,【解析】1.(1)10lg2=2. (2) =34=12. (3) (4) 答案：(1)2 (2)12 (3) (4) 2.(1)log2(log5x)0，log5x201， x515. (2)log3(lgx)1，lgx313， x1031000.,【互动探究】 将本题2(1)中的“0

12、”改为“1”，将本题2(2)中的“1”改为“0”，如何解答？ 【解析】(1)log2(log5x)1，log5x212， x5225. (2)log3(lgx)0，lgx301， x10.,【拓展提升】 1. =N(a0，a1，N0)的推导方法 由abN ， 得blogaN ， 将代入有 =N.,2.对数恒等式 =N的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可. (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.,【易错误区】常用对数和自然对数的解题误区 【典例】有以下四个结论：(1)lg(lg10)0.(2)ln(lne)0. (3)若10lgx，则x10.(4)若elnx，则xe2

13、，其中正确 的是( ) A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(2) D.(3)(4),【解析】选C.lg(lg10)lg10，故(1)正确； ln(lne)ln10，故(2)正确； 若10lgx，则x1010，故(3)错误； 若elnx，则xee，故(4)错误,【类题试解】1.若ln(lnx)=1,则x=( ) A.1 B.e C.e2 D.ee 【解析】选D.因为ln(lnx)=1,所以lnx=e,所以x=ee.,2.若(lgx)22lgx3=0，则x=_. 【解析】(lgx)22lgx3=0, (lgx+1)(lgx3)=0, lgx=1或lgx=3, x= 或x=1000. 答

14、案： 或1000,【误区警示】,【防范措施】 1.重视常用数学符号及结论的理解和记忆 关于对数有一些约定俗成的记法和常用结论，如本例中lg10表示log1010，lnx表示logex,用到了loga1=0.logaa=1(a0，且a1). 2.熟练进行指数式与对数式的互化 这是解决对数问题的根本方法，如本例将10=lgx转化为x=1010即可求出x.,1.在b=log3(m1)中，实数m的取值范围是( ) A.R B.(0,+) C.(,1) D.(1,+) 【解析】选D.由m10，得m1.,2.若 =c则( ) A.a2b=c B.a2c=b C.bc=2a D.c2a=b 【解析】选B. =c(a2)c=ba2c=b.,3.以下四个说法中正确的是( ) 若log5x3，则x15； 若log25x 则x5； 若 0，则x 若log5x3，则x A. B. C. D.,【解析】选C.对于，因为log5x3，所以x53=125，错误. 对于，因为log25x 所以x =5，正确. 对于，若 0，所以x0 无解，错误. 对于，若log5x3，则x5-3= 正确. 因此正确.,4.计算：10lg1+lne=_. 【解析】10lg1+lne=10lg1+1=100+1=1. 答案：1,5.计算： +1.330=_.