用平方差公式进行因式分解

1、,HS八(上) 教学课件,第12章 整式的乘除,12.5 因式分解,第2课时 公式法,认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将多项式分解因式（重点）（难点）,1.什么叫多项式的因式分解?,把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.,2.下列式子从左到右的变形，哪个是因式分解？哪个是 整式乘法？它们有什么关系？,（1） a(x+y)=ax+ay； （2） ax+ay=a(x+y).,整式乘法,因式分解,它们是方向相反的变形.,复习引入,还记得前面学过的乘法公式吗？,平方差公式：,两数和（差）的平方公式：,复习引入,【想一想】多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因

2、式吗？,是a,b两数的平方差的形式.,两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.,平方差公式：,新课讲解,【辨一辨】下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？,符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2-( )2的形式.,两数是平方， 减号在中央,（1）x2+y2；,（2）x2-y2；,（3）-x2-y2；,-(x2+y2),y2-x2,（4）-x2+y2；,（5）x2-25y2；,(x+5y)(x-5y),（6）m2-1.,(m+1)(m-1),新课讲解,【例1】 分解因式：,解：(1)原式=,(2)原式,解题技巧：公式中的a、b无论表示数、单

3、项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式分解因式.,新课讲解,【例2】 分解因式：,解：(1)原式(x2)2-(y2)2,(x2+y2)(x2-y2),(x2+y2)(x+y)(x-y).,(2)原式ab(a2-1),ab(a+1)(a-1).,新课讲解,完全平方公式:,完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的2倍.,简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.,=（a b）2,凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.,+b2,=(a b),a2,首

4、2,+尾2,2首尾,(首尾)2,新课讲解,3.a+4ab+4b=( )+2 ( ) ( )+( )=( ),2.m-6m+9=( ) - 2 ( ) ( )+( ) =( ),1.x+4x+4= ( ) +2( )( )+( ) =( ),x,2,x + 2,a,a 2b,a + 2b,2b,对照公式a2ab+b=(ab)进行因式分解，你会吗？,m,m - 3,3,x,2,m,3,利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.,新课讲解,下列各式是不是完全平方式？ （1）a24a+4; （2）1+4a; （3）4b2+4b-1; （4）a

5、2+ab+b2; （5）x2+x+0.25.,是,（2）只有两项；,不是,（3）4b与-1的符号不统一；,不是,分析：,不是,是,（4）ab不是a与b的积的2倍.,新课讲解,【例3 】分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.,分析：(1)中， 16x2=(4x)2，9=3，24x=24x3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 24x3 + (3)2.,b2,a2,(2)中，首项有负号，一般先利用添括号法则将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.,新课讲解,解： (1)16x2+ 24x +

6、9,= (4x + 3)2.,= (4x)2 + 24x3 + 32,(2)-x2+ 4xy-4y2,=-(x2-4xy+4y2),=-(x-2y)2.,=-x2-2x2y+(2y)2,新课讲解,【例4】 分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.,解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2.,分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；,(2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.,(2)原式=(a+b)2-2(a+b) 6+62 =(a+b-6)2.,新课讲解,【例

7、5】 把下列完全平方公式分解因式： 1002210099+99,解：原式=（10099) =1.,本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.,新课讲解,2.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2； (2) (a+b)2-(a-b)2 ； (3) 9xy3-36x3y ； (4) -a4+16.,(4a+3b)(4a-3b),4ab,9xy(y+2x)(y-2x),(4+a2)(2+a)(2-a),1.多项式4a+ma+9是完全平方式，那么m的值是（ ）,A.6 B.12 C. 12 D. 12,D,随堂即练,解：原式,解：原式,3.把下列多项式因式分解. （1）x212x+36； （2）4a2-4a+1.,解：(1)原式 =x22x6+62=（x6）2.,(2)原式=（2a） 22a1+1=（2a 1