倒数的运算法则.ppt

1、- 1 -,第二节 导数的运算法则,一 函数的和、差、积、商的导数 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 隐函数的求导法则 参数方程所确定的函数的导数 高阶导数 相关变化率问题,- 2 -,一 函数的和、差、积、商的导数,定理1,(1),(2),特别,(3),特别,- 3 -,证 (1)、(2)略,仅对(3)进行证明,- 4 -,推论,设,例1,解,例2,解,- 5 -,例3,解,所以,同理,- 6 -,例5,解,例4,解,- 7 -,例6,解,- 8 -,二、复合函数的求导法则,定理2,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),证,- 9 -,

2、当,时,总成立,- 10 -,链式法则可以推广到多个函数的复合中去,例如,例7,解,或,- 11 -,例8,解,令,例9,解,令,- 12 -,运算熟练后,可以不设出中间变量而直接按复合步,骤求导.,例10,解,例11,解,- 13 -,例12,解,所以,- 14 -,例13,解,同理可得,所以,- 15 -,例14,求幂函数,的导数,解,例如,- 16 -,例15,对于幂指函数,可先进行恒等变换,在进行求导运算.,解,- 17 -,三 反函数的导数,定理3,- 18 -,证,且,所以,说明：,（1）反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,（2）,- 19 -,例16,解,所以,- 20 -,同

3、理可得,例17,求,解,且,- 21 -,小结,1 常数和基本初等函数的导数公式,- 22 -,2 函数的和、差、积、商的求导法则,3 复合函数的求导法则,设,- 23 -,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,例18,解,- 24 -,例19,解,例20,解,- 25 -,- 26 -,例21,解,- 27 -,四 隐函数的导数,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则,设有方程,- 28 -,例21,解,解得,- 29 -,例22,解,所求切线方程为,显然通过原点.,- 30 -,观察函数,-对数求导法,例23,解

4、,等式两边取绝对值的对数得,- 31 -,例24,解,等式两边取对数得,- 32 -,五 参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,给定参数方程,- 33 -,由复合函数及反函数的求导法则得,即,- 34 -,例25,解,所求切线方程为,- 35 -,例26,解,- 36 -,六 高阶导数,问题:变速直线运动的加速度.,定义,二阶导数,1 高阶导数的基本概念,记作,- 37 -,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,即,记为,记为,- 38 -,例28,解,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,- 39 -,例29,求下列函数的二阶导数

5、,解,(1),(2),- 40 -,例30,设,解,特别,- 41 -,例31,解,则,同理,- 42 -,解,例33,解,则,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),- 43 -,同理可得,所以,- 44 -,2 高阶导数的运算法则,莱布尼兹公式,- 45 -,例34,解,- 46 -,例35,解,- 47 -,例36,解,- 48 -,例37,解,（规定,所以,- 49 -,例38,设,且,存在, 求,解,由公式知,由参数方程确定的函数求导法则得,- 50 -,所以,解,- 51 -,例40,解,- 52 -,例41,设,是由方程,所确定,的隐函