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文档简介

1、偏微分方程的数值解函数及其导数未知的方程称为微分方程。只包含一个变量函数及其导数的方程称为常微分方程。只包含多元函数及其偏导数的方程称为常微分方程。1.偏微分方程的基本概念。偏微分方程数值解的差分方法。偏微分方程数值解的有限元方法1。椭圆方程(势方程)的各种物理性质的稳态过程可以用椭圆方程来描述。抛物方程(热传导方程)抛物方程是研究热传导过程、气体扩散现象和电磁场传播等非定常物理问题时经常遇到的方程。双曲方程(振动方程)在描述弦和鼓面的振动时经常出现。偏微分方程差分法的基本思想是：首先，对解的区域进行网格划分，用一组有限的离散点(网格点)代替自变量的连续变化区域；问题中出现的连续变量的函数被定

2、义在网格点上的离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将连续变量偏微分方程的定解问题转化为有限未知数的代数方程(称为差分格式)。如果差分格式有解，并且当网格无限小时，它的解收敛于原微分方程的解，那么差分格式的解被认为是原问题的近似解。因此，用差分法求解偏微分方程的定解问题，需要解决以下几个问题：(1)选择网格；(二)选择微分方程的差分近似和定解条件(内点和边界点)，并列出差分格式；(三)差分格式解的存在唯一性，并求解差分格式；(4)讨论了微分方程差分格式的收敛性和误差估计。建立差分格式有两种基本方法：1 .用差商代替导数；2.积分插值法；椭圆方程的微分解。以泊松方程为基本模型，讨

3、论了一阶边值问题的差分方法。对于泊松方程的第一个边值问题，将定解区域分成两条平行线的矩形网格，分别在X方向和Y方向上进行。整个节点表示为。定解区域内的节点称为内点，内点集为。边界和网格线的交点称为边界点，所有边界点都表示为。在X方向或Y方向上距离节点仅一步之遥的点和相邻节点称为节点。如果一个内点的所有四个相邻节点都属于区域和边界，它们被称为规则内点，所有规则内点被表示为不规则内点，而所有不规则内点被表示为不规则内点。我们的问题是获得所有内点上的边值问题的数值解。由、给出的差分格式称为五点菱形格式，在实际计算中经常用到。此时，五点菱形格式可以转化为抛物型方程的差分解，然后将定解条件离散化。对于初始条件和第一类边界条件、可以直接得到，而对于第二类和第三类边界条件，则需要差商近似。通常有两种方法：(1)用前向差商近似左边界的偏导数，用后向差商近似右边界的偏导数，即，(2)用中心差商近似，即，课堂实践中建立了一些双曲方程的差分格式，用积分插值代替导数构造差分格式是最基本的方法，有很多优点。此外，构造的系数矩阵更便于求解方程。偏微分方程的有限元法差分法通常采用正交网格，难以适应任意网格在Matlab中求解偏微分方程工具箱就是用有限元法寻找典型偏微分方程的数值近似解。用该工具箱求解偏微分方程的具体步骤与用有限元法求解偏微分方程的步骤相同，包括几

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