高数 不定积分换元法.ppt

1、4.3.2 第二类换元法,4.3.1 第一类换元法,4.3 换 元 法,第四章 不定积分,本节预备知识,本节目的与要求,本节重点与难点,本节复习指导,4.3.1 第一类换元积分法,一、预备知识,1.复合函数的求导法则,2.微分的形式不变性,第三节 换元积分法,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,二、第一类换元积分法,第三节 换元积分法,在一般情况下：,由此可得换元法定理,第三节 换元积分法,上述求积分的方法称为第一类换元积分法（凑微分法） 。,定理1,设,的一个原函数，即,导数，则有,回代,第三节 换元积分法,基本思路: 1. 在被 积函数中找出复合函数 ,确定中间 变

2、量 ; 2. 将被积函数变形为该复合函数与中间变量的 导数的乘积 ; 与 凑成中间变量的微分 ; 设中间变量 为 ,求出不定积分; 用 回代.,例1 求,解,第三节 换元积分法,例2 求,解,回代,第三节 换元积分法,例3 求,解,回代,第三节 换元积分法,常用的几种凑微分形式:,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 求,解,同理,第三节 换元积分法,例5 求,解,第三节 换元积分法,例6 求,解,第三节 换元积分法,例7 求,解,第三节 换元积分法,补充：求下列不定积分：,第三节 换元积分法,习题解答,例8 求,解,第三节 换元积分法,例9

3、 求,解,利用例8的结果,同理,第三节 换元积分法,例10 求,解,例11 求,解,第三节 换元积分法,例12 求,解,利用公式,第三节 换元积分法,积化和差公式：,补充练习：,习题解答,4.3.2 第二类积分换元法,一、预备知识,1.三角函数及反函数的概念,2.反三角函数的有关公式,第三节 换元积分法,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,（应用“凑微分”即可求出结果）,令,二、第二类积分换元法,第三节 换元积分法,定理2,设,是单调且有连续导数的函数，,有原函数,则有,上述求积分的方法称为第二类换元积分法。,第三节 换元积分法,例13 求,解,令,第三节 换元积分法,例14 求,

4、解,令,第三节 换元积分法,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,第三节 换元积分法,例15 求,解,令,第三节 换元积分法,例16 求,解,令,第三节 换元积分法,补充练习：,练习解答,x,x,4,x,1,基本积分表 ,第三节 换元积分法,第三节 换元积分法,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、根式代换,基本积分表(2),小结,第三节 换元积分法,练习题,求下列不定积分,解,回代,第三节 换元积分法,解,回代,第三节 换元积分法,解,第三节 换元积分法,解,回代,第三节 换元积分法,解,回代,第三节 换元积分法,习题4-3,1.求下列不定积分,第三节 换元积分法,第三节 换元积分法,2.求下列不定积分,第三节 换元积分法,习题4-3答案,第三节 换元积分法,第三节 换元积分法,第三节 换元积分法,第三节 换元积分法,本节的学习目的与要求,1掌握第一类换元积分公式； 2理解第一类换元积分法并用其进行基本计算； 3掌握第二类换元积分公式； 4. 理解第二类换元积分法并用其进