第2章 齐次变换.ppt

1、第二章 空间描述和变换,向量点积,点积的几何表示（投影）,点积的矩阵表达,单位向量,点向量表示（2维）,沿N轴的单位向量,沿O轴的单位向量,向量VNO的长度,绕原点（Z轴）旋转（2维）,坐标XY，记为A绕原点（Z轴）转过角形成坐标NO，记为B，向量V在两坐标系中的表达为：,绕原点（Z轴）旋转（2维）,同理,绕Z轴旋转（3维）,称为旋转矩阵记为,矩阵：,表示将点向量V相对坐标系B的描述转换成该点向量相对于相对坐标系A,旋转矩阵性质,旋转矩阵 是单位正交阵，它的行或列相互正交，它的行或列均为单位向量，它的逆与转置相同，其行列式等于1 已知 ，求 由 ，可得： 因此 旋转矩阵 的作用是将空间某点相对

2、于B的描述转换成该点相对于A的描述。 书P19页，倒数第三行，“的作用是将相对于”这句话有误。,考题,将x1,y1,z1分别往坐标系x0y0z0得：,请写出左图表示的两个坐标系的旋转变换阵,绕主轴旋转的旋转矩阵,绕X轴旋转,绕Y轴旋转,绕Z轴旋转,考题,坐标系B相对于坐标系A旋转30，请写出旋转矩阵ABR，已知BP=0 2.0 0T,求AP,旋转算子,旋转矩阵还可以用来描述点的旋转运动，它表示坐标系A中的点AP1绕某一轴K旋转角后到达位置AP2，如图所示，图中表示绕Z轴旋转,考题,坐标系A中一个矢量AP1，计算其绕Z轴旋转30得到的新矢量AP2 ，已知AP1=0 2.0 0T,求AP2,相对于

3、当前主轴的复合旋转,坐标系0先绕y0旋转角，生成坐标系1，再绕z1旋转角，形成坐标系2，求旋转矩阵02R。设点P在三个坐标系中的描述为0P,1P,2P,那么,相对于当前主轴复合变换的规律,相对运动坐标系（当前主轴）的变换只要顺序右乘变换矩阵。,考题,坐标系0先绕y0旋转角，生成坐标系1，再绕z1旋转角，形成坐标系2，将旋转矩阵02R记为R。另一情况，坐标系0先绕z1旋转角，生成坐标系1，再绕y0旋转角，形成坐标系2。将旋转矩阵02R记为R。请问R和R是否相等，为什么？,相对于固定主轴的复合旋转,坐标系0先绕y0旋转角，生成坐标系1，再绕z0旋转角，形成坐标系2，求旋转矩阵02R。设点P在三个坐

4、标系中的描述为0P,1P,2P,那么,线性代数中的相似变换,若A是坐标系O0X0Y0Z0中某一线性变换，B为坐标系O1X1Y1Z1中同一线性变换，则 B=(01R)-1A(01R) 例如：A表示O0X0Y0Z0中绕Z0轴转角，那么B表示O1X1Y1Z1中绕Z0轴转角。也就是说，PB P 如果 01R 那么B,相对于固定主轴的复合旋转,坐标系0先绕y0旋转角，生成坐标系1，再绕z0旋转角，形成坐标系2，求旋转矩阵02R。设点P在三个坐标系中的描述为0P,1P,2P,那么,相对于固定主轴复合变换的规律,相对固定坐标系（固定主轴）的变换只要顺序左乘变换矩阵。,一般的情况下，如果我们用一个旋转变换矩阵

5、右乘一个坐标系的变换，那么产生的旋转是相对于前一个变换的坐标系（当前坐标系）的轴来说的。如果我们用一个描述旋转的变换矩阵左乘一个坐标系的变换，那么产生的旋转是相对于基坐标系来说的。,考题,坐标系0按下列顺序变换：1.先绕x0旋转角，生成12.再绕z1旋转角，生成23.再绕z0旋转角，生成34.再绕y3旋转角，生成45.再绕x0旋转角，生成5请写出变换阵05R,（要是有具体的数据，就要代入计算）。 05R=Rx( )Rz()Rx() Rz() Ry(),考题,向量AP：1.先绕ZA旋转角2.再绕YA旋转角（a)请写出变换阵R（ ， ）(b)当=30度， =45度时的结果,X-Y-Z固定角坐标系,

6、因为所有的旋转都是绕固定轴，所以顺序左乘,X-Y-Z固定角坐标系逆解,就是已知一个旋转矩阵等价推出三个转角，该解由下式给出,Z-Y-X欧拉角坐标系,因为所有的旋转都是绕当前轴，所以顺序右乘,Z-Y-X欧拉角坐标系逆解,其与X-Y-Z是对偶的，所以就按X-Y-Z的方法求,考题,Z-Y-X(-)欧拉表示法,旋转阵R=求其逆解答：X=30；Y=20；Z=10,考题,Z-Y-X(-)欧拉表示法,旋转阵R=求其逆解答： X=-55；Y=90；Z=30,Z-Y-Z欧拉角坐标系,因为所有的旋转都是绕当前轴，所以顺序右乘,Z-Y-Z欧拉角坐标系逆解,一般性旋转变换（等效轴角坐标系表示法),前面我们介绍的旋转变

7、换都是绕 x，y，z 轴旋转的旋转变换，下面讨论绕过原点的任意单位矢量K转角的旋转矩阵,如图所示，变换R=Rz()Ry()将Z轴和K轴对齐，那么根据相似变换原理 Rk()= Rz()Ry() Rz() Ry(-) Rz(-) 将下式代入 再根据旋转阵的性质，我们可得,等价旋转角与旋转轴,任给一个旋转变换，从上述方程得到一个轴，绕这个轴旋转的等价旋转角可由 如下方法得到。已知一个旋转变换 R nx ox ax ny oy ay R = nz oz az 令 R 和Rk( ) 相等，并将对角线各项相加得到 nx + oy + az = k2x Vers+ cos+ k2yVers+ cos + k

8、2z Vers+ cos nx + oy + az = ( k2x + k2y + k2z ) Vers+ 3cos = 1 + 2cos 由此可得到旋转角的余弦是 cos = 1/2（nx + oy + az1） 对非对角线项相减，我们得到 oz ay = 2 kx sin （ 1） ax nz = 2 ky sin ny ox = 2 kz sin （2） 把式（1）到式（2）两边平方并相加有 （oz ay）2 +（ ax nz）2 +（ ny ox ）2 = 4 sin2,我们得到了sin的表达式 sin = 1/2（oz ay）2 +（ ax nz）2 +（ ny ox ）2 规定这个

9、旋转是绕 k 正方向旋转，当 0180时，在上式中取十号是合理的。 这个旋转角被唯一定义为 tan =（oz ay）2 +（ ax nz）2 +（ ny ox ）2 /（nx + oy + az1 ） k的各分量为 kx =（ozay）/ 2 sin ky =（axnz）/ 2 sin kz =（nyox）/ 2 sin 注意：当旋转角较小或接近 180时，上述三个式子的分子和分母都很小，所计算的k值是不精确的。,欧拉参数,根据等效旋转轴 和等效旋转角，得到欧拉参数如下：,欧拉参数表示旋转矩阵：,欧拉参数,已知旋转矩阵 得到对应的欧拉参数如下：,考题,矩阵（1）证明其是旋转矩阵（2）求其等效转

10、轴和等效转角 62.8度（3）求出R的欧拉参数,考题,欧拉参数 （1）求其对应的旋转矩阵R（2）证明其是旋转矩阵 （3）求出R的欧拉参数,旋转变换回顾（上节回顾),前面我们讨论绕过原点的单位矢量K的旋转矩阵。也就是说变换之后两坐标系原点是重合的。 旋转矩阵R是单位正交矩阵（RTR=R-1R=I） 绕三个主轴旋转的变换阵 复合旋转矩阵相乘的顺序取决于相对固定轴还是相对于当前轴，如是相对于固定坐标系描述，则左乘。如是相对于当前轴（运动坐标系）则右乘。 由此推出Z-Y-X欧拉角表示法和Z-Y-X欧拉角表示法。其逆解问题。书上公式2-64，2-66，2-71，2-72，2-74. 绕过原点任意轴旋转矩

11、阵及其逆解问题。2-80，2-82. 欧拉参数 2-89，2-91，2-92,旋转变换与线性代数（上节回顾),坐标系的变换基础是源自线性代数。 线性空间中的基底就是坐标系，不同的标准正交基构成了不同的坐标系。 线性空间中的任何向量，可用标准正交基线性唯一表示。其线性表示系数称为向量在这组基底的坐标。 同一向量，在不同的基底的坐标是不同的。 例如R3空间中，自然基是e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1),而e1=(cos45 cos45,0), e2=(cos45,cos45,0), e3=(0,0,1)则是另一组标准正交基。实际上任意3个线性无关向量都可作出标准正

12、交基,革兰-施密特正交化方法（Gram-Schmidt) 两个坐标系（或两组基） 满足O0=PO1 ，O0，O1下的任一线性变换f的变换阵为A与B，则称A与B相似，且B=P-1AP，,平移,坐标XYZ，记为A，沿X轴和Y轴分别平移Px和Py,生成NOA，记为B，向量V在两坐标系中的表达为：,平移变换特点,坐标系A与B具有相同的方位姿态，即两坐标系单位向量方向相同。但两坐标系原点不重合。,平移变换矩阵表示,平移变换矩阵,一般映射,坐标系A和B的原点和方向都不重合。,一般映射,先规定一个过渡坐标系C其原点和B的原点重合。而方位与A相同。显然旋转矩阵CBR=ABR。因而CP=CBRBP=ABRBP。

13、AP=CP+APCORG=ABRBP+APBORG,一般映射矩阵表示,由AP=CP+APCORG=ABRBP+APBORG可得,齐次变换矩阵，它综合表示了平移变换和旋转变换的复合,齐次变换矩阵,齐次变换矩阵的特点是最后一行元素为0 0 0 1,齐次旋转变换矩阵表示,表示原点坐标重合，用符号R(K,)表示,齐次平移变换矩阵表示,表示坐标系方向不变,用符号Trans(px,py,pz)表示,齐次坐标,空间点P的直角坐标为,它的齐次坐标,规定：列向量a,b,c,0T表示空间无穷远的点，即该列向量是方向向量如： 1,0,0,0T表示X轴上的无穷远点； ,0,0T表示Y轴上的无穷远点； ,0,0T表示Z

14、轴上的无穷远点0,0,0,1T表示空间坐标原点，而0,0,0,0T无意义列向量a,b,c,1T表示空间一点,齐次变换阵的物理解释,齐次变换矩阵描述了坐标系B相对于的位置和方位。其第列矢量描述的坐标原点相对于的位置；其它个矢量分别代表的三个坐标轴相对于的方向。例如：齐次变换阵描述相对于的位姿。可解释如下：的原点相对于的位置是1 -3 4 1TB的X轴与A的Y轴同向0 1 0 0TB的Y轴与A的Z轴同向0 0 1 0TB的Z轴与A的X轴同向1 0 0 0T,一般映射的变换解释,一般映射的齐次变换阵为可解释如下：A先平移生成 C，再绕当前坐标系旋转成B（当前轴右乘）即：也可以是A先绕当前坐标旋转生成

15、C，再沿APBORG平移成B(固定轴左乘）,例2.2（P21),一般映射的齐次变换阵为,变换矩阵的逆,已知ABT，求BAT 。 AP= ABTBP BP=BATAP BP=（ABT）-1AP BAT= （ABT）-1 如何求变换矩阵的逆？,变换矩阵的逆,求逆阵的步骤：,1、计算矩阵的行列式； 2、将矩阵转置； 3、将转置矩阵的每个元素用它的子行列式（伴随矩阵）代替； 4、用转换后的矩阵除以行列式,即,变换矩阵的逆,求矩阵 的逆阵 解：,变换矩阵的逆,对增广阵（A|I）进行矩阵初等行变换，即可求得逆阵A-1,齐次矩阵的逆,变换矩阵的逆,对于4X4齐次变换矩阵，可以将矩阵分成两部分求逆。其旋转部分

16、，只需要简单的转置；矩阵的位置部分是向量P分别与n、o、a向量点积的取反。,即,的逆阵为,例2.5（P27),一般映射的齐次变换阵为,考题,已知齐次变换阵为(1)求(2) 当 求AP,变换方程,图中坐标系D的描述有两种方式,一种是 UDT=UATADT， 另一种是 UDT=UBTBCTCDT, 因此 UATADT=UBTBCTCDT， 那么， BCT=(UBT)-1UATADT(CDT)-1, 同理， CDT=(BCT)-1(UBT)-1UATADT,变换方程(例2.6）P29,已知BTT， BST， SGT，求TGT 解： BGT =BSTSGT， BGT =BTTTGT, 因此 BSTSG

17、T = BTTTGT ， 那么， TGT=(BTT)-1 BSTSGT,机器人坐标系标准命名,基坐标系B:固定在机器人的静止部位 工作台坐标系S:机器人所有的运动都是相对于它来执行的，有时称之为任务坐标系，世界坐标系或通用坐标系。工作台坐标系通常根据基坐标系确定，即BST 腕部坐标系W：固连在机器人末端连杆。 工具坐标系T:附于机器人所夹持工具的末端。通常根据腕部坐标系确定。 目标坐标系G:是机器人移动工具所到位置的描述。通常根据工作台坐标系来确定。,考题,简述机器人坐标系标准命名,齐次变换通式（习题2.14）,假定单位矢量K=(kx,ky,kz),通过点P=(px,py,pz)。坐标系C的原

18、点在P点处，方向与坐标系A重合。 ACT=Trans(P), CAT=Trans(-P),(CAT)-1= ACT=Trans(P) 在C中绕K旋转为RK()，那么根据相似原理， ABT= (CAT)-1 RK() CAT= Trans(P) RK() Trans(-P),根据齐次变换通式解例2.9,由已知得： kx=ky=0.707,kz=0,1-cos30=1-0.866=0.134,cos30=0.866,sin30=0.5 代入公式（2-80）得：,自由矢量的变换,速度矢量，力矩矢量是自由矢量，力矢量则不是。 自由矢量变换时，不考虑位置。,习题2.12）,解：由于速度矢量是自由矢量，所以其变换与位置无关，因此,圆柱坐标 ( 习题2.17 ),如图所示，在圆柱坐标中确定机械手的位置是沿x轴平移r，接着绕z轴旋转，最后沿着z轴平移z。（均为固定轴，左乘） Cyl(z,r)=Trans(0,0,z)Rot(z, ) Trans