第二章 系统的数学模型.ppt

1、控制工程基础,机械与汽车工程学院 测控技术教研室,2012.2,A g,控制系统数学模型,物理系统微分方程,线性系统的传递函数,Laplace变换,方框图模型,控制系统数学模型,第二章 控制系统的数学模型,Mathematical Models of Control System,描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式。,静态数学模型,一、控制系统的数学模型,描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程,动态数学模型,静态模型反映系统在恒定载荷或缓变载荷作用下或在系统平衡状态下的特性。 动态模型研究系统在迅变载荷作用下或在系统不平衡状态下的特性。,图1.2.2 机器与隔振垫系统,二、

2、静态与动态模型,三、动态数学模型的形式,微分方程,传递函数,频率特性,差分方程,状态变量矩阵,结构图,信号流图,机械工程控制基础第三讲,控制系统的数学模型,1.微分方程的建立 2.Laplace变换,解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。,四、建立数学模型的方法,实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,一、建立系统微分方程的一般步骤,2.1 系统的微分方程,2,3,1,划分环节,列环节方程式,消中间变量 化标准形,将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量、输出量。,找出联系

3、输出量与输入量的的物理规律。,与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。,质量 M,二、典型元件所遵循的物理定律,2.1 系统的微分方程,弹簧 K,二、典型元件所遵循的物理定律,2.1 系统的微分方程,阻尼 B,二、典型元件所遵循的物理定律,2.1 系统的微分方程,机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理,阻尼 B,二、典型元件所遵循的物理定律,2.1 系统的微分方程,机械运动系统的三要素,电阻 R,电容 C,电感 L,电学基本定理或定律：欧姆定理、基尔霍夫定理。,二、典型元件所遵循的物理定律,2.1 系统的微分方程,电气系统三元件,Ex

4、ample 1 机械平移系统,1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量,静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。,三、系统微分方程列写示例,解：1.系统的输入量f (t)，输出量x (t)。,2.列写微分方程： 根据牛顿定律有,式中f 1(t) 为阻尼器的阻尼力,式中f 2(t) 为弹性力,3.整理得：,2.1 系统的微分方程,3. 消去中间变量并整理得：,Example 2 电气网络系统,解：1.系统的输入量u (t)，输出为电容器的电量q (t)。,2.列写微分方程： 根据欧姆定律有,三、系统微分方程列写示例,2.1 系统的微分方程,相似系统：能用相同形

5、式的数学模型表示的系统，称为相似系统。 相似量： 在相似系统的数学模型中，占据相同位置的物理量。,机械系统,RLC网络,相似原理,输入为,输出为,输入为,输出为电容器的电量,相似量,mL C R K 1/C,相似物理系统,Example 3 两级RC网络,三、系统微分方程列写示例,解：1.系统的输入量u1 (t)，输出为u2 (t) 。,2.列写微分方程： 根据欧姆定律与基尔霍夫定律有,3. 消去中间变量并整理得：,2.1 系统的微分方程,Example 4 电枢控制式直流电机,直流电动机工作原理,直流电动机结构示意图,解：1.系统的输入量： ua 和ML(t)， 输出量：w 。,负载转矩,控

6、制电压,输出转速,2.1 系统的微分方程,三、系统微分方程列写示例,M,2.列写微分方程：,3. 消去中间变量并整理得：,电枢回路：基尔霍夫电压定律,楞次定律,力矩平衡 牛顿定律,电磁力矩 安培定律,2.1 系统的微分方程,若电机处于平衡态，有：,设平衡点为,偏离平衡时,2.1 系统的微分方程,静态模型,增量方程,实际坐标方程,以上方程对比讨论： 增量方程与实际坐标方程形式相同。 当平衡点为坐标原点时，二者等价。否则二者不能等价。,2.1 系统的微分方程,课堂练习,(a) （b),C,解（a）：,（3） 整理得：,课堂练习,根据牛顿第二定律，列写原始方程式，有：,2、对M作受力分析如图，,1、

7、输入为Fi (t)，输出为 xo (t)。,1、输入为xi(t)，输出为 xo(t) 。,3、 消中间变量、整理得：,课堂练习,2、列写原始方程式。,Fc为阻尼力：,FK1为K1弹力：,FK2为K2弹力：,解（b)：,A点受力分析如图，由F=0有：,若 f（t）为实变量 t 的函数，且t0 时 f（t）0， 则函数f（t）的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）定义如下：,L为拉拉氏变换符号； s=+j称为算子； F(s)为 f（t）的变换函数或象函数； f（t）为F(s)的原函数。,2.2 拉普拉斯变换,1、拉氏变换的定义,若函数 f（t）满足 (1) 在t 0时， f（t）0 (2) f（t）的不连

8、续点是有限的，并且能够找到适当的s=+j的值使,2、拉氏变换的条件,2.2 拉普拉斯变换,1. 单位阶跃函数:1(t),3、典型函数的拉氏变换,2.2 拉普拉斯变换,单位脉冲函数定义：,且：,2.2 拉普拉斯变换,2. 单位脉冲函数:,单位速度函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,3. 单位速度（斜坡）函数: t,3、典型函数的拉氏变换,4. 指数函数,2.2 拉普拉斯变换,3、典型函数的拉氏变换,5. 正弦函数,2.2 拉普拉斯变换,3、典型函数的拉氏变换,6. 幂函数,2.2 拉普拉斯变换,应记住的一些简单函数拉氏变换,原函数,象函数,3、典型函数的拉氏变换,原函数,象函数,

9、2.2 拉普拉斯变换,4、 拉氏变换的定理,若、是任意两个复常数， 且Lf（t）= F1（s），Lf2（t）= F2（s）则：,原函数和的拉氏变换等于原函数拉氏变换之和；若有常数乘以时间函数，则经拉氏变换后，常数可以提到拉氏变换符号外面。,（1） 线性定理,2.2 拉普拉斯变换,若：,证明：,则：,f(0)是 t =0 时的 f(t) 值,同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：,2.2 拉普拉斯变换,（2） 微分定理,4、 拉氏变换的定理,式中，f（0），f(0),，f (n-1)（0）为函数f（t）及其各阶导数在t0时的值。,4、 拉氏变换的定理,（2） 微分定理,2.2 拉普拉斯变换,若L f

10、（t）= F（s），则：,f（0），f (-1)(0),，f (-n)（0）为函数f（t）的各重积分在t0时的值,4、 拉氏变换的定理,（3） 积分定理,2.2 拉普拉斯变换,若L f（t）= F（s），则,终值定理用来确定系统或元件的稳态度，即在t时，f（t）稳定在一定值的数值。,若L f（t）= F（s），则,初值定理只有f(0)存在时才能应用，它用来确定系统或元件的初始值。,4、 拉氏变换的定理,（4） 终值定理,（5）初值定理,2.2 拉普拉斯变换,拉氏变换的主要运算定理,线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理,2.2 拉普拉斯变换,应记住的一些

11、简单函数拉氏变换,原函数,象函数,3、典型函数的拉氏变换,原函数,象函数,2.2 拉普拉斯变换,拉氏变换的主要运算定理,线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理,2.2 拉普拉斯变换,函数拉氏变换练习,求 f(0)，f()。,1 已知 f(t)，求 F(s),2.2 拉普拉斯变换,函数拉氏变换练习参考答案 1,2.2 拉普拉斯变换,1、（1）,1、（2）,1、（3）,将F(s)写成标准形式,函数拉氏变换练习参考答案 2,2.2 拉普拉斯变换,2、,微分方程拉氏变换练习及答案,2.2 拉普拉斯变换,机械工程控制基础第四讲,控制系统的数学模型,1.Laplac

12、e反变换 2.控制系统的传递函数,应记住的一些简单函数拉氏变换,原函数,象函数,3、典型函数的拉氏变换,原函数,象函数,2.2 拉普拉斯变换,拉氏变换的主要运算定理,线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理,2.2 拉普拉斯变换,如果f（t）的拉氏变换F（s）可以分解成一些分式之和： F（s）F1（s）F2（s）Fn（s） 而F1（s）,F2（s）,Fn（s）的拉氏反变换由拉氏变换表查得; f（t）L-1F（s）L-1F1（s）L-1F2（s） f1（t）f2（t）fn（t）,5、 拉氏反变换定义,2.2 拉普拉斯变换,分解定理,F(s)与f (t)间的相

13、互转换,2.2 拉普拉斯变换,2.2 拉普拉斯变换,5、 拉氏反变换求法,其中m和n为正整数，且nm。,1.F2(s)有n个单根: p1、p2、pn ，则F(s)展开为：,式中k1、k2、k3、kn 为待定系数。,或,2.2 拉普拉斯变换,5、 拉氏反变换求法,例,在线性系统中，当初始条件为零时，系统输出的Laplace变换象函数与输入的Laplace变换象函数之比，称为系统的传递函数。,2.3 系统的传递函数,（1）输入在t0 以后才作用于系统，即在t0 时，系统的输入量及各阶导数均为零。 （2）在输入作用加入前，系统是相对静止的。因此，系统的输出量及其各阶导数在t0 时，也均为零。,一、

14、定义,二、求法,2.3 系统的传递函数,解：根据传递函数的定义，系统的传递函数为：,1、利用一定输入下的响应求得。,设线性定常系统（或环节）微分方程的一般表达式为：,2.3 系统的传递函数,二、 求法,系统传递函数的一般形式。,初始条件为零时作拉氏变换,2、利用微分方程经拉氏变换求得。,N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输入的比值。,2.3 系统的传递函数,三、 特征方程,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根 s=zi(

15、i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点。,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点。,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,2.3 系统的传递函数,四、 零点与极点,传递函数的零、极点分布图： 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。 零点用“O”表示 极点用“”表示,2.3 系统的传递函数,五、 零点与极点,2.3 系统的传递函数,零、极点分布图,五、 零点与极点,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节,延迟环节,纯微分环节,2.3 系

16、统的传递函数,六、典型环节的传递函数,各典型环节名称,系统的传递函数往往是高阶的，高阶传递函数一般可以化为低阶，（零阶、一阶、二阶）典型环节。（比例、惯性、积分、微分、振荡等）的组合。,1、比例环节（放大环节）,输出量与输入量成正比，不失真也不延时的环节。,动力学方程式：,传递函数：,2.3 系统的传递函数,六、典型环节的传递函数,环节的放大系数,例如,K,系统的输入量发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化的环节。,2、惯性环节,2.3 系统的传递函数,六、典型环节的传递函数,动力学方程式：,传递函数：,K:环节的放大系数,T:环节的时间常数,T,3、微分环节,2.3 系统的传递函

17、数,六、典型环节的传递函数,动力学方程式：,传递函数：,系统的输出量与输入量的导数成比例的环节。,输入的倾斜度为一定时,输入的倾斜度变化时,反映输入的变化趋势,4、积分环节,2.3 系统的传递函数,六、典型环节的传递函数,系统的输入量为定值时，输出量与时间成正比的环节。,动力学方程式：,传递函数：,T:环节的时间常数,xo (t),xi (t),积分环节输入输出的关系,特点,1、输出的累加特性,2、输出的滞后作用,3、记忆功能,存在储存或累积特点的元件,K环节的放大系数 T 环节的时间常数 环节的阻尼比,5、振荡环节,2.3 系统的传递函数,六、典型环节的传递函数,传递函数：,n 系统的无阻尼

18、振荡的自然振荡频率；n1/T,当输入信号为恒定值时，系统的输出往往产生衰减振荡。 含有两种不同形式的储能元件，能够将储存的能量相互转换，在能量的储存和交换的过程中，可能出现振荡。,1,6、延时环节,2.3 系统的传递函数,六、典型环节的传递函数,动力学方程式：,传递函数：,环节的输出和输入相同而仅延迟一时间。,延迟环节与惯性环节的区别,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。 延迟环节从输入开始之初，在0 时间内没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。,:环节的时间常数,typical links and Transfer function,输出

19、量延迟时间后，复现输入量。,Delay,含有两种储能元件，所储能量相互转换。,Oscillating,输出量与输入量的导数成正比,Differentiating,输出量为输入量对时间的积累,Integrating,输出的变化落后于输入的变化,Inertia,输出量立即复现输入量的变化,G(s)K,Proportion,Characteristics,Transfer function,Link name,2.3 系统的传递函数,变换法求传递函数,对于比较复杂的系统，首先将系统分成若干个环节，采用直接法求出各个环节的传递函数，然后利用方块图的等效变换，得出整个系统的传递函数。,2.4 系统传递函

20、数方框图,2.4 系统传递函数方框图,一、函数方框图,函数方框图的结构要素,结构方框图,任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。,脱离了物理系统的模型,系统数学模型的图解形式。,求和点,函数方块,引出线,函数方块,信号线,2.4 系统传递函数方框图,二、系统方框图,函数方块具有运算功能！,形象直观地描述系统中各元件间的相互关系其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。,将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，并将相应的变量按信息流向连接起来，就构成系统的传递函数方框图。,机械工程控制基础第五讲,1、传递函数方框图的化简 2、第二章总结,2.4 系统传递函数方框图,

21、三、系统方框图的建立方法,1、列写原始微分方程。,2、对上述各方程在零初始条件下，分别进行Laplace变换。,3、根据因果关系，将各个Laplace变换的结果表示成传递函数方框图的形式。（各环节的传动函数方框图）,4、按信号的传递与变换过程，依次连接上述各个方框图，构成整个系统的传递函数方框图，一般将给定输入放在左边，输出放在右边。,2.4 系统传递函数方框图,四、系统方框图建立示例,1、列写微分方程：,2、Laplace变换：,2.4 系统传递函数方框图,四、系统方框图建立示例,3、画各环节传递函数框图,2.4 系统传递函数方框图,四、系统方框图建立示例,4、按信号的流向联接各图,2.4 系统传递函数方框图,五、方框图的等效变换,2.4 系统传递函数方框图,3、反馈运算规则,系统方块图等效变换的原则: 保持变换前后相应的输入量、输出量不变。,2.4 系统传递函数方框图,3、反馈运算规则,2.4 系统传递函数方框图,2.4 系统传递函数方框图,4、分支点的移动规则,分支点前移,分支点后移,2.4 系统传递函数方框图,5、相加点的移动规则,相加点后移,相加点前移,2.4 系统传递函数方框图,由方框图求系统传递函数的基本思路,2.4 系统传递函数方框图,六、方框图的化简,利用等效变换法则，移动比较点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。