第2章 两自由度机械系统动力学.ppt

1、1,第3章 二自由度机械系统动力学,2,第3章 二自由度机械系统动力学,本章内容 3.1 引言力学的发展过程 3.2 自由度与广义坐标 3.3 虚位移原理与广义力 3.4 拉格朗日方程（重点） 3.5 二自由度机械系统动力学方程 3.6 二自由度机械手动力学问题,3,前一章主要内容：1 单自由度系统等效力学模型,4,2 数值解法,一般情况下都是非线性的。,常用四阶龙格-库塔法。,5,3.1 引言力学的发展过程,在有些情况下，需要应用二自由度或更多自由度的机械系统，如差动轮系、倒立摆（2自由度）、机器手等装置（多自由度）。,6,7,8,9,本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动

2、力学不采用等效力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握一些重要的概念，如广义坐标、广义力、虚位移等。首先了解一些科学史观，培养科学精神。,10,3.2 自由度与广义坐标,广义坐标： 能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。,11,广义坐标,12,设系统广义坐标为： 则任一点位置矢量可表示为： 也可以写成投影形式：,（3-1）,13,将位置矢量对时间求导，即可得到质点的速度表达式：,其中， 叫广义速度。,（3-2）,14,对单摆系统，有：,对双摆系统，有

3、：,15,关于约束,对系统的运动在几何位置上的限制称为约束。如单摆的约束方程为：,球摆的约束方程为：,16,约束分类： 1 几何约束与速度约束 约束方程中只含有质点的坐标而不含有质点的速度时为几何约束；约束方程中含有质点的速度时为速度约束。 2 定常约束与非定常约束 约束方程中不含时间t时为定常约束；约束方程中含有时间t时为非定常约束。,17,另外，可以积分的速度约束也是完整约束。例如：直线纯滚动的圆盘，速度满足如下约束关系：,为速度约束，但可以积分，因此还是完整约束。,本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情况。,18,非完整约束 (Nonholonomic constraint)为：

4、含有速度的约束且约束方程不可积分。 本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情况。,19,3.3 虚位移原理与广义力,3.3.1 虚位移原理 在理想约束条件下，系统平衡的充分必要条件是所有的主动力在虚位移上作的元功之和为零，即,（3-3）,20,也可以写成分解形式，即,（3-4）,21,说明： （1）虚位移也叫可能位移，是在约束允许 的条件下可能实现的无限小位移。与时间无关，可用变分符号表示。变分与微分很相似，但对时间冻结。 （2）力在虚位移上作的功叫虚功，因此虚位移原理也叫虚功原理。 （3）理想约束的约束力在虚位移上不做功，所以约束力不在方程中出现。,22,3.3.2 虚位移原理的广义坐

5、标形式,求变分得 代入虚功方程,（3-5）,（3-1）,（3-3）,23,得：,24,另外，,叫广义力。,（3-6）,25,则有：,（3-7）,26,由于广义坐标是相互独立的，广义虚位移是任意的，所以有,即，在理想约束下，系统平衡的充分必要条件是所有的广义力为零。,27,3.3.3 广义力计算,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,问题：如果在肘关节处加一控制电机，其力矩为T，则情况如何？,38,3.4 拉格朗日方程（第二类）,39,40,41,42,43,44,用拉格郎日方程建立系统运动微分方程的步骤可简述如下： （1）确定系统自由度数，选取广义坐标； （2）计算系统动

6、能E; （3）计算系统的广义力Q； （4）将动能和广义力代入拉格郎日方程，得系统运动微分方程； （5）求解方程。,45,46,47,48,49,50,4）代入拉格朗日方程,51,52,53,54,55,例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。,56,57,作业3：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。,58,例：拉格朗日方程的应用。,59,广义力为,60,61,整理可得：,62,63,64,65,66,例：证明，对于单自由度机械系统，拉格朗日方程与等效力学模型是统一的。,证明：,67,68,69,70,3.5 二自由度机械系统动力学方程,71,72,3.5.1 系统动能的确定,73,74,75,76,77,78,79,80,3.5.2 广义力的确定,81,3.5.3 运动微分方程,82,83,3.5.4 运动微分方程的求解,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,施加控制力：,126,127,3.6 二自由度机械手动力学问题,128,129,130,131,132,133