高等工程力学杆弹塑性解.ppt

1、1,1、材料拉伸和压缩时的应变应变曲线 （1）低碳钢拉伸试验曲线：,3.1 力学模型的简化,2,（4）包辛格效应(反向屈服效应): 具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。 通常 且 若 称为理想包辛格效应。,（5）真实应力应变曲线讨论：,A0：试件初始截面积,:为名义应力,A：试件变形后截面积,:为真实应力,利用体积不可压缩假设：,则,3,4,作图： 故有,5,2、弹塑性力学中常用的简化力学模型,(2)、线性强化弹塑性力学模型,(1)、理想弹塑性模型：,6,(3)、幂强化力学模型：,(4)、刚塑性力学模

2、型（理想塑性模型） 在应力到达屈服极限之前应变为零。,7,理想弹塑性材料：,1.弹性极限扭矩,ts,弹性解：,屈服条件：,3.2 圆轴的弹塑性分析,2. 弹塑性阶段,ts,3. 塑性极限扭矩,ts,rp,4. 残余应力：当扭矩加至 Mp 后再卸载至零，在圆轴中产生的应力。,Mp :,卸去的应力： （按弹性计算）,残余应力：,1、问题的提出：,当作用在梁上的载荷增加时。将进入弹塑性变形。,小变形：,2、基本假设：,应力：,平面假设。,3.3 梁的弹塑性分析,不计剪力影响,3、极限弯矩,弹性极限,当,当,极限弯矩,均布载荷简支梁,1、弹性分析：,由于,弹性极限载荷,2、弹性极限载荷:,中间弯矩：,

3、随着载荷q的增大,梁中间截面上下两点首先进入屈服.,由于,3、弹塑性分析：,随着q的增大，塑性区将自梁中间上下两边开始对称地扩大。弹塑区的分界面随x的不同而不同。,中间截面：,应力对中性轴的矩：,中间截面：,截面上应力对中性轴的矩：,刚进入屈服时：,全部进入屈服时：,塑性铰: 当截面全部进入塑性状态之前,梁的挠度受弹性区约束，变形仍处于弹性变形量级,即处于弹塑性小挠度状态。,极限载荷分析:,全塑性截面:,截面弯矩:,从而有:,当中间截面进入全塑状态时,截面上应力对中性轴的矩：,在任一 x 截面，,塑性区:,则有：,可整理成：,或写成：,记：,上式为一双曲线方程，说明弹、塑性区交界线为一双曲线。

4、,在任一 x 截面，,上式为一双曲线方程，说明弹、塑性区交界线为一双曲线。,渐近线:,即 p = 1,渐近线方程,渐近线方程,为弹性极限,为全塑截面,p 的范围:弹性极限,由方程,即,全塑截面,得,由方程,即,考虑,的截面位置:,例 简支梁受集中载荷 P 的作用,弹性极限,故弹性极限:,弹塑性状态:,有:,或:,即:弹塑性分界线为一抛物线。,iii极限分析：,中央塑性铰形成时，有：,iv塑性铰范围,考虑 的截面位置：,可得：,代入：,一、基本概念 1 、极限分析的任务和假设： 结构的极限状态：当外载荷一旦达到某一极限值时，结构变成几何可变结构。这时变形将无限制地增长，而使结构失去承载能力将无限

5、制地增长。 极限分析又称破损分析（破坏分析）,结构极限分析理论：,弹塑性理论只解决少数简单问题。,弹塑性理论：,确定弹塑性的极限承载能力的两类方法：,3.4 结构的塑性极限载荷分析,极限分析的任务： 求出结构极限的载荷 研究在极限载荷作用下结构中的应力分布规律 找出结构在极限状态下的破损机构。,基本假设： 材料是理想刚塑性的。即采用刚塑性材料模型，不考虑材料的弹性性质和强化反应。 变形足够小。变形前后都能使用同一平衡方程，而且材料的几何关系是线性的。 在获得极限载荷前，结构不失去稳定性。 所有外载荷都按同一比例增加，即满足简单加载（或称比例加载）的条件。,2、极限分析的基本原理和方法 静力容许

6、的应力场：凡是满足平衡条件和力的边界条件，并且不破坏极限条件的应力场称为静力容许的应力场。 * 当结构处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的，但静力容许的应力场并不一定是极限状态时的真实应力场。 机动容许的位移场：凡是满足几何约束条件、并使外力做正功的位移场，称为机动容许的位移场。 * 极限状态时的位移场必定是机动容许的位移场，而机动容许的位移场不一定是真实的极限位移场。 下限定理：在所有的与静力容许的应力场所对应的载荷中，最大的载荷为极限载荷。 上限定理：在所有的与机动容许的位移场所对应 的载荷中 ，最小的载荷为极限载荷。,讨论： 由下限定理，如果整个结构满足平衡条件，并且不破坏极限

7、条件，结构将不破坏，由此可以得到极限载荷的下限。 由上限定理，如果结构按某一形式破坏，即存在着内力功不大于外力功的状态，由于此时结构已经破坏，可以得到极限载荷的上限。 根据极限分析的上下限定理，可以有两种计算极限载荷的方法，即静力法和机动法： 静力法：根据静力容许的应力场求极限载荷的下限值，取其中最大者。 机动法：假定破坏机构求极限载荷的上限值，取其中最小者。 完全解：既是上限又是下限的解，即为真实的的极限载荷。,二、 杆系结构的塑性极限载荷分析简例,1、屈服条件：, 桁架：截面上应力均匀分布。 时屈服, 梁：截面上应力分布为：,弹塑性状态梁截面上应力的合力为：,弯矩,弹性极限弯矩（=h）：,

8、塑性极限弯矩（=0）：,讨论：,塑性极限承载能力比弹性极限承载能力大50%。, 以上结论以矩形梁截面为参考，由此得到矩形梁截面形状系数为1.50。按类似的方法，可知圆截面梁的形状系数为1.70，而工字梁的形状系数约为1.151.17。,2、几个简例：, 承受集中力作用的静定梁：,中央截面弯矩,随着 P 的增加，弹性极限,弹性极限载荷,塑性极限载荷,考察梁中间塑性铰形成时的弹塑性区分界：,由,塑性铰形成时，梁中央处,此时,则可得,机动法：形成塑性铰时，,内力功,外力功,静力法：,由此可得完全解为：,讨论：塑性铰与结构铰链的区别： （1）一般情况下真实铰不承受力矩作用，塑性铰受定值弯矩Mp. （2

9、）塑性铰是单向铰，反向时消失。 （3）完全解的三个条件： 平衡； MMp； 形成破坏机构：r=n+1. 其中 n 为静不定次数，r 为塑性铰个数。, 承受集中力作用的超静定梁：,（1）一端固定、一端简支梁：,弹塑性分析法：,此时,由于处形成塑性铰，成为静定梁，当,当处再形成塑性铰时，,塑性极限载荷为,根据弯矩图，当 时，,静力法：、处形成塑性铰，,平衡方程：,解出：,机动法：,外力功,内力功,解出：,完全解为：,由,（2）两端固定梁：n=2，r=3,静力法：,解出：,机动法：,外力功,内力功,解出：,完全解为：,由,显然,*讨论：两端固定梁受均布载荷：, 一端固定、一端简支梁受均布载荷作用：,静不定次数 n=1，需塑性铰个数 r=2,A 处形成塑性铰后，系统静定。,考虑C处弯矩：,若C处形成塑性铰，即有：,41,考虑C处弯矩：,若C处形成塑性铰，即有：,或,考虑到弯矩二次曲线在C处取极值，应有：,可解出：,*讨论用机动法求解, 三杆桁架的塑性极限载荷分析：,静力法：,得,屈服时：,有,破坏机构为：2杆屈服，1、3杆同时屈服，只有一种可能。,故有：,*讨论：静不定次数1，塑性铰2，若1、2杆屈服，3杆也屈服；若只有1、3杆屈服，2杆不屈服，结构不破坏；若只有2杆屈服，1、3杆不屈服，结构不破坏。,机动法：,1端固定，5端简支,消去H、R，可得, 单跨刚架的塑性极限载荷分析