旋转对称系统的高斯光学.ppt

1、电子光学，第三章旋转对称系统的高斯光学，31旋转对称场的电子运动，轨迹方程的电子光学需要研究和解决的问题是粒子电荷的运动规律，从上一章的内容我们得到了描述三个粒子电荷运动规律的方法，他们分别用牛顿运动方程，拉格朗日方程和最小作用原理， 在从运动方程式获得以位置坐标为z的变量的差分方程时，前两个方程式描述了差分方程，并且最后描述称为轨迹方程式，其等价于最小作用原理。 本章采用的记述方法是从运动方程式通过数学变换，将方程式中的时间坐标变换为位置坐标，得到轨迹方程式。 描述粒子电荷运动的基本方程是牛顿运动方程式，是以时间为变量的二次差分方程。 本章所述的方法是一般教科书中常用的方法。31旋转对称场中

2、电子的运动、垂直角坐标的运动方法的三个成分式分别利用垂直角坐标的轨迹方程式、31旋转对称场中的电子的运动、能量守恒规则，针对位置坐标变量z，分别求出相对于时间t的一次微分、31旋转对称场中的电子的运动、坐标x， 31旋转对称场中的电子的运动，代替上式中的z对时间的微分，并代入运动方程式的左端而得到，进而，如果将z的微分代入上式，则x方向的轨迹方程式得到成分方程式，右端项表示31旋转对称场中的电子的运动，31旋转对称场中的电子的运动， 2 .旋转对称系统中通常使用的柱面坐标表示，从前述章节获得，并且通过坐标变换从垂直角坐标的运动方程式获得的柱面坐标的运动方程式的三个分量方程式是，31旋转对称场中

3、的电子的运动，并且类似于前述章节，通过用位置坐标的导数来替换方程式中的时间导数来获得柱面坐标的轨迹方程式。 电子在和、31度旋转对称场中的运动可以首先通过利用上面的第二方程获得动量矩守恒定律，从而获得旋转动量矩。 其中，上式的第二式表示旋转方向的成分运动，将得到的角速度代入其他两个式，得到用柱面坐标表示的运动方程式的r和z方向的两个成分式，31旋转对称场中的电子的运动、3 .动量矩保存和旋转角速度(313 )式表示旋转方向成分方程式， 代替磁感应强度b，磁向量a二进制位、式是在、31旋转对称场的电子的运动，除去式中、式是、方程式是、31旋转对称场的电子的运动，所以，要进行、积分而获得的、31旋

4、转对称场的电子的运动、动量矩上式左端项表示动量矩，右端项的第一项表示初始动量矩，第二项表示磁通的增量。 说明了粒子电荷的任意点的动量矩是由初期动量矩以及粒子运动过程中的磁通量的变化、31旋转对称场中的电子的运动等的变化引起的，如果是粒子运动中，磁力线上的动量矩不变。 如果表示磁通函数，则动量矩的变化是磁通、不变、或者始终两点相同，(2)利用角速度、布徐定理得到粒子旋转运动角速度，其中，31旋转对称场中的电子的运动代入后，不考虑旋转方向如果将通过式得到的角速度代入柱面坐标的第一和第三方程式，则不包含旋转方向的分量，关于r方向的第一方程式代入、31旋转对称场中的电子的运动，右端项代入=、第二方程式

5、、31旋转对称场中的电子的运动，得到柱面坐标的运动方程式形式，即角速度、旋转子午面， 表示31旋转对称场中的电子的运动、4 .由约化电位表示的运动方程式、由磁势产生的运动、方程式的表现不简便，如果得到的运动方程式乘以由电位产生的称为运动、的上述第一式，乘以第二式，然后加上两个方程式31旋转对称场中的电子运动，右端项是粒子向子午面方向运动的动能，总能量是对旋转运动的动能加上子午面方向的动能。 与静电场的电位的意义不同，可以看出约化电位与磁场分布有关，与粒子初期状态有关，即、有关。 的双曲馀弦值。 这表示发射点会在有磁场的位置影响粒子的运动。 31旋转对称场中电子的运动，6 .柱面坐标的轨迹方程式

6、柱面坐标中的运动方程式，可以通过坐标变换得到轨迹方程式。 因为以下的变换：获得了柱坐标的能量关系式：31个旋转对称场中的电子的运动，所以z对t的微分形式可以表示为：t的导数可以表示为：r的二阶导数为、31个旋转对称场中的电子的运动通过代入和获得的31个旋转对称场中电子的运动可根据运动方程获得轨迹方程，因为由7 .限制的电位表示的轨迹方程简单和便利。 关于z的方程式，关于r的方程式可获得31个旋转对称场中的电子的运动，并可从能量守恒式获得，代入上式，31个旋转对称场中的电子的运动，仅在电场的情况下，方程式，在成为旋转的电子光学所研究解决的粒子电荷的运动规则中，轴附近的电子的运动， 即接近轴，倾斜

7、度小的电子轨迹更多地感兴趣，该部分的粒子电荷具有聚集成像的特性，研究该部分的轨迹特性称为近轴光学或近轴光学。 (2)傍轴运动方程式的傍轴轨迹方程式也同样可以从运动方程式中得到。已知32傍轴轨迹方程式、垂直角坐标的牛顿运动方程式是：在旋转对称电磁场中，傍轴区域的电位和表示磁感应强度的近似式是：32傍轴轨迹方程式，如果将其代入牛顿运动方程式，则能够得到垂直角坐标的傍轴运动方程式是：的32近轴轨迹方程式， 旋转坐标与该时间的微分和垂直角坐标的关系是：32近轴轨迹方程式，对时间再次求出导函数，、轨迹方程式代入将上述运动方程式的第一式乘以、相加而得到的正交坐标系的方程式是，32近轴轨迹方程式，另外，根据

8、假定的旋转坐标条件， 可被引入为方程(32 )的傍轴轨迹方程是由一个统一方程表示的傍轴轨迹方程是：纯电场中的傍轴轨迹方程是：纯磁场中的傍轴轨迹方程是： 由于是针对32傍轴轨迹方程式、旋转角速度、傍轴区域的1次微分，所以如果使用分离变量，将、32傍轴轨迹方程式内投射到傍轴轨迹方程式中，则能够将、中的1次项设为0，即，解1次差分方程设为：32傍轴轨迹方程式，所以能够得到33理想聚焦系统、(1)。 傍轴轨迹解的形式傍轴轨迹方程式是一个二次一次线性常微分方程，假定它具有两个线性无关的特解，当通常可以表示为两个特解的线性组合的粒子电荷在差分方程的解中通过该初始点时，可以表示为32个近轴的轨迹方程式，根据

9、上述的初始条件， 可以确定方程式的两个常数，通过将这些个的两个系数代入解的式，可以得到方程式的解，两个成分方程式的解分别具有：上式具有相同的起点，的所有粒子电荷，在上述轨迹通过另外一点时，如果下式成立，即，第二式为0，则为两个两个特性解相关的关系代表代入解中所获得的、即最终，在这种情况下，从满足邻近轴的轨迹方程的粒子电荷开始，最终将其运动的轨迹聚焦于从点开始的、被称作、的图像上，以便被称为物点。 (2)横向放大率能被定义，并且是横向放大率，其表示物体图像间的尺寸关系。 横向放大率是常数，仅与物体像的z坐标有关，不过与x、y坐标无关，来自物体点坐标的横界面的放射性射线轨迹全部位于像点坐标横截面上

10、。 (3)由于图像旋转角采用了我们的旋转坐标，所以物点、方位角之差、即图像旋转角可以表示为在与像点之间，即，在方位角方向上也具有聚焦作用，即，其聚焦作用不仅存在于r方向上，也存在于旋转方向上(5)两个特殊轨迹的求解与物体像之间的关系和轨迹的具体路径无关，并且只是初始位置和最终位置相关，因此，为了简化求解，可以将从光轴入射的两个合适的轨迹聚焦为特殊轨迹，一个聚焦为倾斜角45，另一个聚焦为平行于z轴入射的两个轨迹选择两个轨迹后，可以从方程式的解分别求出系数、 每个轨迹都可以表示为，从、轴选择入射轨迹时、平面的初始位置、倾斜度。 例如，在、平行入射的轨迹可表示为、代入式中、四个系数，在、代入式中、共

11、轭平面的位置可表示的磁场中，电位按电子光学系的傍轴轨迹的方向，差分方程的理论，差分方程的两个特性是从、到、 条件，可以得到的上式的解是、其中，说明的(7)圆电磁透镜是什么，旋转对称电，在磁场的傍轴区域，对倾斜小、r小的粒子电荷束具有理想的聚焦特性，把该旋转对称电磁场称为圆电磁透镜。 圆电磁透镜的聚焦成像特性如下： (a )实现从物平面向像平面的图像转换，形成电子或络离子像，(b )聚焦电子或络离子，(c )线倍率与角倍率的关系-亥姆霍兹定理，在电子像的转换中除了要求一定尺寸的聚焦光束以外的双曲馀弦值。 这种关系可以从旁轴轨迹方程式中得出。 差分方程的两个特解，分别是傍轴轨迹方程式：第一式乘法、

12、第二式乘法、得到，然后减法，上式是一个全微分形式，写出全微分形式，积分后，表示假定满足所选的两个特殊轨迹的初期的角的倍率。 上式是雷格林焦耳-亥姆霍兹定理，也可以是：上式表示如果给定物体像平面的电位，则角度放大率与线放大率成反比，即线放大率被放大，收敛角减少。 已知34基点和基本关系式、1透镜的条件和作用在旋转对称场中、和磁场对粒子电荷具有聚焦作用，我们称之为圆电磁透镜。 同时，将用于粒子电荷的电场和磁场短的区域内，即物理平面和像平面都集中在场外的情况称为短透镜，这种透镜的性质类似于光学透镜，并且可应用光学透镜方法来研究。 3 .研究方法可以利用两种特殊的轨迹。 一个是出自物平面的轴，与轴的夹

13、角为45的轨迹。 另一个是从与物体垂直的平面出发，与轴平行的轨迹。 通过这两个轨迹可以研究镜头和轨迹的特性。 4 .基点，一个圆透镜是短透镜，物体和像侧空间是无场空间，粒子轨迹是直线，粒子轨迹作用于场发生弯曲，被称为焦点。 研究聚焦特性可以利用上述两种特殊轨迹。 一个是平行入射轨迹，物体侧空间是直线，(1)像侧焦点：同样，像侧平行入射的轨迹全部与物体侧相交，物体侧平行入射轨迹在像侧与轴相交，这两条直线的延长线与一点相交，将这一点称为像侧主点，将通过该点与轴垂直的平面称为像侧主平面。物方焦点：这一点称为物方焦点。 (3)主点：可以证明物体侧平行入射的所有轨迹的主点都在一个平面上。 如果存在两个轨

14、迹，则同样将像侧平行入射轨迹和物侧通过焦点轨迹的延长线的升交点称为物侧主点，将通过该点并与轴相交的平面称为物侧主平面。 可分别用、和、升交点、主平面和焦点的距离表示，证明两式相等，主平面重合。 (4)焦距长度：焦点与主平面之间的距离称为焦距长度，在此，定义为轨迹在像侧的倾斜。 上式称为像侧焦距长度，同样能够得到物侧焦距长度的焦点和主点总称为基点。 5 .光线光学作图法，(1)对目的、短透镜，使用光学作图方法，不考虑透镜区域内的轨迹的具体形状，仅考虑透镜区域外的轨迹的直线段规则，就可以获得从基点开始的物像间的关系，只要知道透镜的残奥仪表就无需每次求出轨迹。 (2)首先求出2个轨迹，根据这些个的2个轨迹决定透镜的4个基点的作图