四、五章习题课.ppt

1、参 数 估 计,假 设 检 验,（复习.总结）,三、补充练习,一、内容小结,二、典例分析,一、内容小结,1. 基本概念,总体X，简单随机样本(X1,X2,Xn) ，样本值(x1,x2,xn) ，统计量。,点估计：矩估计；极大似然估计；估计量；估计值,样本数字特征：样本均值，样本方差，样本k阶矩。,假设检验：两类错误，显著性检验，显著性水平，双边检验，单边检验，检验统计量，接受域，拒绝域，临界值点，。,估计量的评选标准：无偏性；有效性；一致性,区间估计：置信水平，置信区间； 分位点，双侧分位点,2. 常用统计量的分布,三大统计分布,设总体 XN(0,1), (X1,X2，Xn)为样本,则,3）

2、设U 2(n1), V2(n2),且U与V相互独立,则,单个正态总体,设总体 XN(，2), (X1,X2，Xn)为样本, 则,两个正态总体,设总体XN(1,12),Y 2,22), 且X与Y相互独立, (X1 ,X2，Xn1), (Y1 ,Yn2)分别为取自总体X,Y的样本,则,1） 一般情况时有,3）,2） 当12= 22时,二、典例分析,例1 设总体X的概率密度为,解: 1) 的矩估计量.,其中-1是未知参数,X1,X2,Xn是来自X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.,由于总体X的数学期望为,令其等于样本均值,即,解得未知参数的矩估计量为,第13张,

3、2) 的极大似然估计量.,设(x1,xn)是样本(X1,Xn)的一个观测值,则参数的似然函数为,解之,得的极大似然估计值,从而得的极大似然估计量为,第14张,方法总结,矩估计：将要估计的总体参数表示成总体X的矩的函数，然 后用相应的样本矩代替总体矩的一种估计法。,方法步骤,2）用样本的k阶矩代替总体的k阶矩，即,1）计算总体的1阶矩（2解，k阶矩），计算的结果是参数 的函数；即：,第11张,3）从上述方程中解出，,极大似然估计：,步骤：,思想：,达到最大,1） 写出似然函数L(),2） 求似然函数L()的最大值点,其它方法,第12张,例2：投资的回收利润率常常用来衡量投资风险，随机地调查26个

4、年回收利润率(%),得样本标准差S=15(%),设回收利润率为正态分布，求它的方差的区间估计(置信度为0.95）,解： 选用统计量，,查自由度为26-1=25的2分布表得：,使得,于是得2的置信度为0.95的置信区间为,将S2=152,n=26代入得方差2的置信度为0.95的区间估计为 (138.39,428.73),标准差的置信度为0.95的区间估计为,区间估计：, 从已知条件出发，寻求一个含有（而不含有其它未知参数）的样本函数Z=Z(X1,X2,Xn,), 使得随机变量Z的分布为已知的（最好是常用的）分布；, 根据Z的分布的分位点，解出的置信区间。,方法步骤,例3：设总体X的密度函数为,其

5、中0是未知参数,(X1,X2,Xn)来自总体X的样本， Yn=max（X1,X2,Xn）,(1)证明： 和 都是的无偏估计量； (2)比较两个估计量，哪个更有效？,证: (1)因为,于是,又总体X的分布函数为,因此Yn的密度函数为,于是,所以 和 都是的无偏估计量,(2)由于方差越小，估计量越有效，因而只需要算出这两个估计量的方差即可。又，,同样求得,所以前者更有效。,例5 在70年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦 牙 干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA）。到了 80年代初期开发了一种新的麦牙干燥过程。下面给出分 别在新老两种过程中形成的NDMA含量（以10亿份中的分数计）。,分析

6、：这是两个正态总体均值关系的一个假设检验问题， 是一个单边检验，且两总体的方差未知但相等，该如何选取 统计量呢？ 仍选择T统计量。,解：,所以,这里,查表得,所以拒绝域为：,代入计算得,假设检验,基本步骤,（2）根据已知条件确定检验统计量。,（4）根据样本值作出拒绝还是接受H0的判断。,（1）根据实际问题的要求，提出原假设H0及备择假设H1；,通常只控制犯第一类（弃真）错误的概率,即只控制使适量地小, 而不考虑第二类（纳伪）错误的概率.,原则:,总结,1. 设总体X方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机 样本,测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似等 于0.95的置信区间为?,(4.802,5.196),2. 设来自正态总体XN(,0.92)容量为9的简单随机样本均值 为5,则未知参数的置信度为0.95的置信区间是?,(4.412,5.588),3. 设随机变量X与Y相互独立且都服从正态分布N(0,32) 而X1,X9和Y1Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量,服从 分布,参数为 .,t 9,三、补充练习,4. 设总