求二次函数的关系式

1、九年四班 江秋英,二次函数的三种解析及求法,诗人眼里的二次函数：,数学家眼里的二次函数：,同学们眼里的二次函数：,难,数 ，图像,优美而舒张的抛物线，犹如人生的轨迹，年少时的努力攀升，力争到达人生的巅峰，但岁月无情的流逝，转而向下,1、会用待定系数法求二次函数解析式 2、经历待定系数法应用过程，体验数形结合，具体感知数形结合思想在二次函数中的应用 。 3.重点：用待定系数法求函数解析式。 4.难点：根据不同的条件选择恰当的解析式 从而用待定系数法求函数解析式。,学习目标,二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方

2、程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。 因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。,一、二次函数常用的三种解析式的确定,已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。,已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。,已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴，选择交点式。,1、一般式,2、顶点式,3、交点式,y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k,y=a(x-x1)(x-x2),y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,y=a(x-x1)(x-x2),直线x= h,直线x=,( h, k),直线x=,二.待定系

3、数法求二次函数解析式,已知一次函数的图像经过点A(0,-3) 点(2,-1)，求一次函数的解析式,解：,点A(0,-3)点B(2,-1)在所求的一次函数y=kx+b的图象上。,所以,解得：,所以所求的一次函数解析式为y=x-3,设所求的一次函数的解析式y=kx+b为（k0）,回忆：,例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。,解法一： 一般式,设解析式为,顶点C（1，4），,对称轴为直线： x=1.,A(-1,0)关于 x=1对称，,B（3，0）。,A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上，,即：,三、应用举例,例1、已知二次函数的图像如图所示， 求其解析式。,解法二：顶

4、点式,设解析式为,顶点C（1，4）,又A(-1,0)在抛物线上，, a = -1, h=1, k=4.,三、应用举例,解法三：交点式,设解析式为, y = a (x+1) (x- 3),又 C（1，4）在抛物线上, 4 = a (1+1) (1-3), a = -1, y = - ( x+1) (x-3),即：,例1、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。,三、应用举例,顶点C（1，4），,对称轴为直线： x=1.,A(-1,0)关于 x=1对称，,B（3，0）。,刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。我们应该一题多思、一题多解，从不同角度

5、，不同思维，用不同的解题方法做题。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。,近年来，中考数学命题趋势，越来越贴近生活，我们应该联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。,例1、已知二次函数 的x,y对应值如下表所示，求其解析式。,例2已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式,分析:根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为yax2bxc的形式,例2已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式,解: 设二次函数关系式yax2bxc ， 由已知，这个函数的图象过（0，-1

6、）， 可以得到c= -1又由于其图象过点（1，0）、 （-1，2）两点，可以得到,解这个方程组，得 a=2，b= -1 所以，所求二次函数的关系式是y2x2x1,例3已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式.,分析:根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为ya(x1)23，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；,例3已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式,解:因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数的关系式为ya(x1)23，又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到 1a(01)23 解得 a4 所以

7、，所求二次函数的关系式是y4(x1)23 即 y4x28x1,例4已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，求它的解析式,分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式为ya(x3)22，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入 ya(x3)22，即可求出a的值,例5已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、N(5，0)， 且与y轴交于点P(0，-3)求它的解析式,方法1:因为已知抛物线上三个点，所以可设函数关系式为一般式yax2bxc，把三个点的坐标代入后求出a、b、c，就可得抛物

8、线的解析式。 方法2:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为 ya(x3)(x5)，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；,分析:,例5：有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式,解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，,根据题意可知抛物线经过(0，0) (20，16)和(40，0)三点,可得方程组,通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式过程较繁杂。,评价,例5：有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里

9、(如图所示)，求抛物线的解析式,解：设抛物线为y=a(x-20)216,根据题意可知 :点(0，0)在抛物线上，,通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活 。,评价, 所求抛物线解析式为,=400a+16,例5：有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式,解：设抛物线为y=ax(x-40 ）,根据题意可知,点(20，16)在抛物线上,选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷,评价,16=20a(20 40),四、小结,1、二次函数常用解析式,.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。,.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。,.已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2通常选择交点式。,3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地