微分中值定理与导数的应用.ppt

1、第三章微分中值定理与导数的应用,第一节 中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒 ( Taylor )公式 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值最小值 第六节 函数图形的描绘,一、罗尔( Rolle )定理,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,费马 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f

2、 ( a ) = f ( b ),使,证:,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 则,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,则由费马引理得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,使,2) 定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在 ( a , b ) 内可导, 且,在( a , b ) 内至少存在一点,证明提示: 设,证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证

3、明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理

4、结论成立 .,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推论:,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证: 在 I 上任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数 .,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、柯西(Cauchy)中值

5、定理,分析:,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,要证,柯西 目录 上页 下页 返回 结束,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,第三章,一、,存

6、在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 在 x , a 之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,存在 (或为 ),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解:,原式,思考: 如何求,( n 为正整

7、数) ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,证:,仅就极限,存在的情形加以证明 .,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1),的情形,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2),的情形.,取常数,可用 1) 中结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3),时, 结论仍然成立. ( 证明略 ),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: (1) n 为正整数的情形.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,

8、(2) n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数 k , 使当 x 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,例4.,说明:,1) 例3 , 例4 表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例如,而,用洛必达法则,2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 若,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例5. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,例6. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,

9、例7. 求,解:,利用 例5,例5 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例8. 求,解:,注意到,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,第三章,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x 的一次多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉

10、格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,泰勒 目录 上页 下页 返回 结束,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,* 可以证明:, 式成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特例:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束,由此

11、得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可得,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知,其中,类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0 , x 的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;,2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;,3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.,机动 目录 上页 下页 返回

12、结束,已知,例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后 6 位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 用近似公式,计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时, 由给定的近似公

13、式计算的结果,能准确到 0.005 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 利用泰勒公式求极限,例3. 求,解:,由于,用洛必塔法则不方便 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 利用泰勒公式证明不等式,例4. 证明,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泰勒多项式逼近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泰勒多项式逼近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、函数单调性的判定法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、 函数单调性的判定法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证: 无

14、妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 证明,时, 成立不等式,证: 令,从而,因此,且,证,证明 目录 上页 下页 返回 结束,* 证明,令,则,从而,即,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有

15、,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明 (1) 成立;,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,在区间I 上有二阶导数,证毕,例3. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或

16、不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极值与,最大值最小值,第三章,一、

17、函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 (P146例4),为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,点击图中任意处动画播放暂停,例1. 求

18、函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,证: (1),存在,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3 (判别法的推广),则:,数 , 且,1) 当 为偶数时,是

19、极小点 ;,是极大点 .,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点 .,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,利用 在 点的泰勒公式 ,可得,例如 , 例2中,极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .,例如:,为极大值 ,但不满足定理1, 定理3 的条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,机动 目录 上页 下

20、页 返回 结束,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例3. 求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同 ,由于,令,( 自己练习 ),在闭区间,上的最大值和最小值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( k 为某一常数 ),例4

21、. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,Km ,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 ,

22、所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第六节,一、 曲线的渐近线,二、 函数图形的描绘,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数图形的描绘,第三章,无渐近线 .,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线,定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1. 求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为垂

23、直渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 斜渐近线,斜渐近线,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( P75 题13),例2. 求曲线,的渐近线 .,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要内容:,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲率及其计算公式,在光滑弧