高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.5 椭圆课件 理

1、9.5椭圆,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.椭圆的概念 平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若 ，则集合p为椭圆； (2)若 ，则集合p为线段； (3)若 ，则集合p为空集.,知识梳理,椭圆,焦点,焦距,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质,2a,2b,2c,a2b2c2,点p(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点p(x0，y0)在椭圆内 (2)点p(x

2、0，y0)在椭圆上 (3)点p(x0，y0)在椭圆外,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. () (2)椭圆上一点p与两焦点f1，f2构成pf1f2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).() (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.() (4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.(),1.(教材改编)椭圆 的焦距为4，则m等于 a.4 b.8 c.4或8 d.12,考点自测,答案,解析,解得m4或m8.,2.(2015广东)已知椭圆 的左焦点为f1(4,0)，则m等于 a.

3、2 b.3 c.4 d.9,答案,解析,由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.,3.(2016全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为,答案,解析,4.如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_.,答案,解析,(0,1),即k0，所以0k1.,5.(教材改编)已知点p是椭圆 1上y轴右侧的一点，且以点p及焦点f1，f2为顶点的三角形的面积等于1，则点p的坐标为 _.,答案,解析,设p(x，y)，由题意知c2a2b2541， 所以c1，则f1(1,0)，f2(1,0)，由题意可得点p到x轴的距离为

4、1，,题型分类深度剖析,例1 (2016济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为o，f是圆内一定点，m是圆周上一动点，把纸片折叠使m与f重合，然后抹平纸片，折痕为cd，设cd与om交于点p，则点p的轨迹是 a.椭圆 b.双曲线 c.抛物线 d.圆,题型一椭圆的定义及标准方程,命题点1利用定义求轨迹,答案,解析,几何画板展示,由条件知|pm|pf|. |po|pf|po|pm|om|r|of|. p点的轨迹是以o，f为焦点的椭圆.,命题点2利用待定系数法求椭圆方程,例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且 过点p(3,0)，则椭圆的方程为_.,答案,解析,答案,解析,设椭圆

5、方程为mx2ny21(m0，n0且mn). 椭圆经过点p1，p2，点p1，p2的坐标适合椭圆方程.,命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题,答案,解析,3,设|pf1|r1，|pf2|r2，,4a24c24b2， 又 r1r2 b29，b3.,引申探究,1.在例3中增加条件“pf1f2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程.,由原题得b2a2c29， 又2a2c18， 所以ac1，解得a5，,解答,解答,|pf1|pf2|2a，又f1pf260， 所以|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60|f1f2|2， 即(|pf1|pf2|)23|pf1|pf2|4c2， 所以3|

6、pf1|pf2|4a24c24b2，,所以b3.,思维升华,(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|f1f2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式. (3)当p在椭圆上时，与椭圆的两焦点f1，f2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|pf1|pf2|；通过整体代入可求其面积等.,跟踪训练

7、1(1)已知两圆c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，动圆在圆c1内部且和圆c1相内切，和圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为,答案,解析,几何画板展示,设圆m的半径为r， 则|mc1|mc2|(13r)(3r)168|c1c2|， 所以m的轨迹是以c1，c2为焦点的椭圆， 且 2a16,2c8，,答案,解析,pf1pf2，f1pf290. 设|pf1|m，|pf2|n， 则mn4，m2n212,2mn4，,例4(1)已知点f1，f2是椭圆x22y22的左，右焦点，点p是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是,题型二椭圆的几何性质,a.0 b.1 c.2 d.2,答案,解析,(2)

8、(2016全国丙卷)已知o为坐标原点，f是椭圆c： (ab0)的左焦点，a，b分别为椭圆c的左，右顶点.p为c上一点，且pfx轴.过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点，则c的离心率为,答案,解析,(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系. 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路

9、 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.,思维升华,答案,解析,解得b，c两点坐标为,又因为b2a2c2.,题型三直线与椭圆,解答,又a2c2b23，所以c21，因此a24.,(2)设过点a的直线l与椭圆交于点b(b不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点m，与y轴交于点h.若bfhf，且moamao，求直线l的斜率的取值范围.,解答,设直线l的斜率为k(k0)， 则直线l的方程为yk(x2).,整理得(4k23)x216k2x16k2120.,由(1)知，f(1,0)，设h(0，yh)，,在mao中，

10、moamao|ma|mo|，,思维升华,(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.,提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,解答,则4x25y280与yx4联立，,解答,(2)如果bmn的重心恰好为椭圆的右焦点f，求直线l方程的一般式.,椭圆右焦点f的坐标为(2,0)， 设线段mn的中点为q(x0，y0)， 由三角形重心的性质知,又b(0,4)，(2，4)2(x02，y0)， 故得x03，y02， 即q的

11、坐标为(3，2). 设m(x1，y1)，n(x2，y2)， 则x1x26，y1y24，,即6x5y280.,高考中求椭圆的离心率问题,高频小考点8,离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.,考点分析,典例1(2015福建)已知椭圆e： (ab0)的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x4y0交椭圆e于a

12、，b两点.若|af|bf|4，点m到直线l的距离不小于 ，则椭圆e的离心率的取值范围是,答案,解析,左焦点f0，连接f0a，f0b，则四边形afbf0为平行四边形. |af|bf|4， |af|af0|4， a2.,典例2 ( 12分) (2016浙江)如图，设椭圆 y21(a1). (1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；,解答,设直线ykx1被椭圆截得的线段为am，,(2)若任意以点a(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.,解答,假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点p，q，满足|ap|aq|. 记直线ap，aq

13、的斜率分别为k1，k2， 且k10，k20，k1k2. 5分,因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a .,因此，任意以点a(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a ， 10分,课时作业,1.(2016湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以c1，,解得a2，b2a2c23，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当94k0，即4k5时，

14、a3，c29(4k)5k，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,c2k5，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点p变轨进入以月球球心f为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在p点第二次变轨进入仍以f为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c

15、1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1c1a2c2；a1c1a2c2； ；c1a2a1c2. 其中正确式子的序号是 a. b. c. d.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|pf|，即式正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为,答案,解析,设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 依题意知，当

16、三角形的高为b时面积最大，,(当且仅当bc1时取等号)，故选d.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a1(a,0)，a2(a,0)，,y2axx20，0xa.,整理得(b2a2)x2a3xa2b20，其在(0，a)上有解， 令f(x)(b2a2)x2a3xa2b2， f(0)a2b20，f(a)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，(a3)24(b2a2)(a2b2) a2(a44a2b24b4) a2(a22b2)20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.若椭圆 (a0，b0)的焦点在x轴上

17、，过点(2,1)作圆x2y24的切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 则椭圆方程为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设切点坐标为(m，n)，,即m2n2n2m0. m2n24，2mn40， 即直线ab的方程为2xy40. 直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 2c40，b40，解得c2，b4， a2b2c220，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知p为椭圆 上的一点，m，n分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|p

18、m|pn|的最小值为_.,答案,解析,7,由题意知椭圆的两个焦点f1，f2分别是两圆的圆心，且|pf1|pf2|10，从而|pm|pn|的最小值为|pf1|pf2|127.,9.(2017石家庄质检)椭圆 y21的左，右焦点分别为f1，f2，点p为椭圆上一动点，若f1pf2为钝角，则点p的横坐标的取值范围是 _.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设椭圆上一点p的坐标为(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1

19、1,12,13,aop是等腰三角形，a(a,0)，p(0，a).,(x0，y0a)2(ax0，y0).,解答,4a24b25a2 ,4a24(a2c2)5a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆c于p，q两点，opoq，求直线l的方程及椭圆c的方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设p(x1，y1)，q(x2，y2)， 直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.,得x24(2x2)24b20， 即17x232x164b20. 3221617(b24)0，解得b .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0， 5x1x24(x1x2)40.,解答,又因为b(0，b)，f(c,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6