高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 苏教版

1、9.4直线与圆、圆与圆的位置关系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系. 相交； 相切； 相离.,知识梳理,(2)代数法：,dr,dr,dr,相交,相切,相离,2.圆与圆的位置关系 设圆o1：(xa1)2(yb1)2 (r10)， 圆o2：(xa2)2(yb2)2 (r20).,dr1r2,无解,dr1r2,一组实数解,|r1r2|dr1r2,d|r1r2|,0d|r1r2|,两组不同的实数解,一组实数解,无解,1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2y2r2

2、上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a) (xa)(y0b)(yb)r2. (3)过圆x2y2r2外一点m(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0 xy0yr2.,2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条. (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两

3、圆外切.() (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.() (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.() (4)过圆o：x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程是x0 xy0yr2.() (5)过圆o：x2y2r2外一点p(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为a，b，则o，p，a，b四点共圆且直线ab的方程是x0 xy0yr2.(),考点自测,1.(2017南京月考)直线xay10与圆x2(y1)24的位置关系是_.,答案,解析,相交,直线xay10必过定点(1,0)， 因为(1)2(01)24， 所以点(1,0)在圆x2(y1)

4、24的内部， 所以直线xay10与圆x2(y1)24相交.,2.(2016全国甲卷改编)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy1 0的距离为1，则a_.,答案,解析,由圆的方程x2y22x8y130， 得圆心坐标为(1,4)， 由点到直线的距离公式得,解得a .,3.(2016盐城模拟)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,3,1,由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 ，,即|a1|2，解得3a1.,几何画板展示,4.圆c1：x2y22x6y260与圆c2：(x2)2y21的位置关系是_.,圆c1的标准方程为(x1)2(y3)236. 其圆心

5、坐标为c1(1,3)，半径r16； 圆c2的圆心坐标为c2(2,0)，半径r21. 5r1r2，圆c2在圆c1的内部.,答案,解析,内含,5.已知圆c1：(xa)2(y2)24与圆c2：(xb)2(y2)21外切， 则ab的最大值为_.,答案,解析,由两圆外切可得圆心(a，2)，(b，2)间的距离等于两圆半径之和， 即(ab)2(21)2， 即9a2b22ab4ab，,所以ab ，,当且仅当ab时取等号，,即ab的最大值是 .,题型分类深度剖析,题型一直线与圆的位置关系的判断 例1(1)已知点m(a，b)在圆o：x2y21外，则直线axby1与圆o的位置关系是_.,答案,解析,相交,因为m(a

6、，b)在圆o：x2y21外， 所以a2b21， 而圆心o到直线axby1的距离,所以直线与圆相交.,(2)(2016南京月考)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tr)的位置关系为_.,答案,解析,相交,直线2txy22t0恒过点(1，2)， 12(2)2214(2)50， 点(1，2)在圆x2y22x4y0内. 直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交.,判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系

7、法适用于动直线问题.,思维升华,跟踪训练1过点a( ，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.,答案,解析,设直线l的方程为y1k(x )，则圆心到直线l的距离d,因为直线l与圆x2y21有公共点，所以d1，,题型二圆与圆的位置关系 例2(1)(2016山东改编)已知圆m：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是 ，则圆m与圆n：(x1)2(y1)21的位置关系是_.,答案,解析,相交,圆m：x2(ya)2a2(a0)，,圆心坐标为m(0，a)，半径r1为a，,圆心m到直线xy0的距离d ，,由勾股定理得 a2，解得a2.,又圆n的圆心坐标n(1,1)，半

8、径r21，,m(0,2)，r12.,mn ，r1r23，r1r21.,r1r2mnr1r2，两圆相交.,(2)如果圆c：x2y22ax2ay2a240与圆o：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_.,圆c的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.,答案,解析,依题意得0 22，,0|a| .,a( ，0)(0, ).,判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长. (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|. (3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论.,思维升华,跟踪训练2已知两圆x2y2

9、2x6y10和x2y210 x12ym0. (1)m取何值时两圆外切；,解答,两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211， (x5)2(y6)261m， 圆心分别为m(1,3)，n(5,6)，半径分别为 和 . 当两圆外切时，,解得m25 .,(2)m取何值时两圆内切；,解答,当两圆内切时， 因为定圆的半径 小于两圆圆心间距离5， 故只有 5， 解得m25 .,(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.,解答,两圆的公共弦所在直线方程为 (x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0， 即4x3y230， 所以公共弦长为,题型三直线与圆的综合问题 命题点1求弦长问题 例

10、3(2016全国丙卷)已知直线l：mxy3m 0与圆x2y212交于a，b两点，过a，b分别做l的垂线与x轴交于c，d两点，若ab ，则cd_.,4,答案,解析,设ab的中点为m，由题意知，圆的半径r ，ab ，,所以om3，解得m ，,解得a(3， )，b(0， )，,则ac的直线方程为y (x3)，,bd的直线方程为y ，,令y0，解得c(2,0)，d(2,0)，所以cd4.,命题点2直线与圆相交求参数范围 例4(2015课标全国)已知过点a(0,1)且斜率为k的直线l与圆c：(x2)2(y3)21交于m，n两点. (1)求k的取值范围；,解答,由题设，可知直线l的方程为ykx1，,因为l

11、与c交于两点，所以 1.,解得 k .,所以k的取值范围为 .,(2)若 12，其中o为坐标原点，求mn.,解答,设m(x1，y1)，n(x2，y2). 将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70.,所以x1x2 ，x1x2 .,x1x2y1y2,(1k2)x1x2k(x1x2)1, 8.,由题设可得 812，解得k1，,故圆心c在l上，所以mn2.,所以l的方程为yx1.,命题点3直线与圆相切的问题 例5已知圆c：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l1：xy40平行；,解答,设切线方程为xyb0，,切线方程为xy1 0

12、.,(2)与直线l2：x2y40垂直；,解答,设切线方程为2xym0，,切线方程为2xy 0.,过切点a(4，1)的切线斜率为3， 过切点a(4，1)的切线方程为y13(x4)， 即3xy110.,解答,(3)过切点a(4，1).,直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.,思维升华,跟踪训练3(1)(2015课标全国改编)过三点a(1,3)，b(4,2)，c(1，7)的圆交y轴于m、n两点，则mn_.,答案,解析,由已知，得 (3，1

13、)， (3，9)，,则 3(3)(1)(9)0，,所以 ，即abbc，,故过三点a、b、c的圆以ac为直径， 令x0，得(y2)224，,得其方程为(x1)2(y2)225，,解得y12 ，y22 ，,所以mn|y1y2| .,(2)若直线xcos ysin 10与圆(x1)2(ysin )2 相切，且为 锐角，则该直线的斜率是_.,答案,解析,依题意得，圆心到直线的距离等于半径，,即|cos sin21| ，|cos cos2| ，,所以cos cos2 或cos cos2 (不符合题意，舍去).,由cos cos2 ，得cos ，,又为锐角，所以sin ，,故该直线的斜率是 .,考点分析与

14、圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.,高考中与圆交汇问题的求解,高频小考点7,一、与圆有关的最值问题 典例1(1)(2015湖南改编)已知点a，b，c在圆x2y21上运动，且abbc.若点p的坐标为(2,0)，则 的最大值为_.,7,答案,解析,a，b，c在圆x2y21上，且abbc，,ac为圆的直径，故 (4,0)，,

15、设b(x，y)，则x2y21且x1,1， (x2，y)，, (x6，y).,当x1时有最大值 7.,(2)过点( ，0)引直线l与曲线y 相交于a，b两点，o为坐标 原点，当aob的面积取最大值时，直线l的斜率等于_.,答案,解析,saob oaobsinaob sinaob .,当aob 时，aob面积最大.,此时o到ab的距离d .,即kxy 0.,设ab方程为yk(x )(k0)，,由d ，得k .,(或ktanoph ).,二、直线与圆的综合问题 典例2(1)(2015重庆改编)已知直线l：xay10(ar)是圆c：x2y24x2y10的对称轴，过点a(4，a)作圆c的一条切线，切点为

16、b，则ab_.,答案,解析,6,由于直线xay10是圆c：x2y24x2y10的对称轴， 圆心c(2,1)在直线xay10上， 2a10，a1，a(4，1). ac236440.又r2，ab240436， ab6.,(2)在平面直角坐标系中，a，b分别是x轴和y轴上的动点，若以ab为直径 的圆c与直线2xy40相切，则圆c面积的最小值为_.,aob90，点o在圆c上. 设直线2xy40与圆c相切于点d， 则点c与点o间的距离等于它到直线2xy40的距离， 点c在以o为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上， 当且仅当o，c，d共线时，圆的直径最小为od. 圆c面积的最小值为,答案,解析,课时作

17、业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.(2015广东改编)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是_.,设所求直线方程为2xyc0， 依题有 ，解得c5， 所以所求直线方程为2xy50或2xy50.,答案,解析,2xy50或2xy50,圆c2的标准方程为(x3)2(y4)225m. 又圆c1：x2y21，c1c25. 又两圆外切， 51 ，解得m9.,2.若圆c1：x2y21与圆c2：x2y26x8ym0外切，则m_.,答案,解析,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016镇江模拟)已知集合m(x，y)|x3yx1

18、，np|pa ， a(1,0)，b(1,0)，则表示mn的图形面积等于_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,令p(x，y)，所以(x1)2y22(x1)2y2， 所以x26xy210，所以(x3)2y28， 所以点p的轨迹为以(3,0)为圆心的圆及圆的内部. 表示mn的图形如图中阴影部分所示， 由于直线yx3过圆心(3,0)，,圆心(3,0)到直线yx1的距离为 ，,直线yx1与圆的两个交点所对的圆心角为 ，,所以阴影部分面积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016泰州模拟)过点p(3,1)作圆c：(x1)2y21的

19、两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为_.,答案,解析,2xy30,如图所示：,由题意知：abpc，kpc ，,kab2， 直线ab的方程为y12(x1)， 即2xy30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.若直线l：ykx1(k0)与圆c：x24xy22y30相切，则直线l与圆d：(x2)2y23的位置关系是_.,答案,解析,相交,因为圆c的标准方程为(x2)2(y1)22，,所以其圆心坐标为(2,1)，半径为 ，,因为直线l与圆c相切.,所以 ，解得k1，,因为k0，所以k1，所以直线l的方程为xy10.,圆心d(2,0)到直线l的距离,所以直线l与圆

20、d相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016盐城一模)已知圆c：x2(y3)24，过a(1,0)的直线l与圆c相交于p，q两点，若pq ，则直线l的方程为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,x1或4x3y40,当直线l与x轴垂直时，易知x1，符合题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)， 由pq ，得圆心c到直线l的距离d 1，解得k ， 此时直线l的方程为y (x1). 故所求直线l的方程为x1或4x3y40.,7.(2016全国乙卷)设直线yx2a与圆c：x2y22ay20相交于a，b两点

21、，若ab ，则圆c的面积为_.,答案,解析,4,圆c：x2y22ay20， 即c：x2(ya)2a22，,圆心为c(0，a)，c到直线yx2a的距离d .,又由ab ，得 a22，,解得a22，所以圆的面积为(a22)4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016常州模拟)已知点a(1,1)，b(1,3)，圆c：(xa)2(ya2)24上存在点p，使pb2pa232，则圆心横坐标a的取值范围为_.,答案,解析,6,10,设p(x，y)，则pb2pa2(x1)2(y3)2(x1)2(y1)24y832，即y6， 由题意可得圆c与直线y6有公共点， 则|(2a)(

22、6)|2，即|a8|2，解得6a10， 故实数a的取值范围是6,10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2015山东)过点p(1， )作圆x2y21的两条切线，切点分别为a，b， 则 _.,答案,解析,由题意，圆心为o(0,0)，半径为1.如图所示，,p(1， )，pbx轴，papb .,poa为直角三角形，其中oa1，ap ，,则op2，opa30，apb60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.已知曲线c：x ，直线l：x6，若对于点a(m，0)，存在c上的点p和l上的点q使得 0，则m的取值范围为_.,曲线c：x ，是以原

23、点为圆心，2为半径的半圆， 并且xp2,0，对于点a(m,0)， 存在c上的点p和l上的点q使得 0， 说明a是pq的中点，q的横坐标为x6， m 2,3.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2,3,11.已知圆c：x2y22x4y10，o为坐标原点，动点p在圆c外，过p作圆c的切线，设切点为m. (1)若点p运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,把圆c的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24， 圆心为c(1,2)，半径r2. 当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1， c到l的距离d2

24、r，满足条件. 当l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为y3k(x1)，,则 2，解得k .,即kxy3k0，,l的方程为y3 (x1)，,即3x4y150.,综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求满足条件pmpo的点p的轨迹方程.,解答,设p(x，y)，则pm2pc2mc2 (x1)2(y2)24， po2x2y2，pmpo， (x1)2(y2)24x2y2， 整理得2x4y10， 点p的轨迹方程为2x4y10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.圆o1的方程为x2(y1)24，圆o2的圆心坐标为(2,1). (1)若圆o1与圆o2外切，求圆o2的方程；