高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 理 苏教版

1、3.1导数的概念及运算,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.导数与导函数的概念 (1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时， 比值 无限趋近于一个常数a，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数a为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作 . (2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.,知识梳理,f(x0),2.导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲

2、线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k . 3.基本初等函数的导数公式,f(x0),0,x1,cos x,sin x,ex,axln a,4.导数的运算法则 若f(x)，g(x)存在，则有 (1)f(x)g(x) ； (2)f(x)g(x) ； (3) (g(x)0). 5.复合函数的导数 若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 3.af(x)bg(x)af(x)bg(x). 4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬

3、时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.() (2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同.() (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.() (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.() (5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x.(),考点自测,1.(教材改编)若f(x)xex，则f(1) .,答案,解析,2e,f(x)exxex，f(1)2e.,1,因为(cos x)sin x

4、，所以错误；,答案,解析,3.(教材改编)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为 .,答案,解析,5xy20,因为y|x05e05， 所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)， 即5xy20.,4.(教材改编)若过曲线y 上一点p的切线的斜率为4，则点p的坐标 为 .,答案,解析,5.(教材改编)函数f(x)x3的斜率等于1的切线有 条.,答案,解析,2,y3x2，设切点为(x0，y0)，,题型分类深度剖析,题型一导数的计算 例1求下列函数的导数. (1)yx2sin x； (2)yln x ；,解答,y(x2)sin xx2.(sin x) 2xsin xx2cos x.,

5、解答,(3)y ；,解答,(4)ysin(2x )；,解答,(5)yln(2x5).,解答,令u2x5，则yln u，,(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量. (2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.,思维升华,跟踪训练1 (1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0 .,答案,解析,f(x)2 016ln xx 2 017ln x， 故由f(x0)2 017，得2 017ln x02

6、017， 则ln x00，解得x01.,1,(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1) .,答案,解析,2,f(x)4ax32bx， f(x)为奇函数且f(1)2， f(1)2.,题型二导数的几何意义 命题点1求切线方程 例2(1)(2016南通一调)在平面直角坐标系xoy中，直线l与曲线yx2(x0) 和yx3(x0)均相切，切点分别为a(x1，y1)和b(x2，y2)，则 的值为 .,答案,解析,(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 .,答案,解析,xy10,点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为

7、(x0，y0).,解得x01，y00.,切点为(1，0)，f(1)1ln 11. 直线l的方程为yx1，即xy10.,命题点2求参数的值 例3(1)(2016徐州模拟)函数yex的切线方程为ymx，则m .,答案,解析,e,设切点坐标为p(x0，y0)，由yex，,得 ，,从而切线方程为 ，,又切线过定点(0，0)，从而 ，,解得x01，则me.,几何画板展示,(2)(2016苏州暑假测试)已知函数f(x)x1 ，若直线l：ykx1与曲线yf(x)相切，则实数k .,答案,解析,则f(x0)k，即1 k，且kx01x01 ，,1e,几何画板展示,命题点3导数与函数图象的关系 例4 如图，点a(

8、2，1)，b(3，0)，e(x，0)(x0)，过点e作ob的垂线l.记aob在直线l左侧部分的面积为s，则函数sf(x)的图象为右图中的 .,答案,解析,函数的定义域为0，)，当x0，2时， 在单位长度变化量x内面积变化量s大于0且越来越大， 即斜率f(x)在0，2内大于0且越来越大， 因此，函数sf(x)的图象是上升的且图象是下凸的； 当x(2，3)时，在单位长度变化量x内面积变化量s大于0且越来越小， 即斜率f(x)在(2，3)内大于0且越来越小， 因此，函数sf(x)的图象是上升的且图象是上凸的； 当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量s为0， 即斜率f(x)在3，)内为常数0，

9、此时，函数图象为平行于x轴的射线.,导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点a(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0). (2)已知斜率k，求切点a(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k. (3)若求过点p(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由 求解即可. (4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处 的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.,思维升华,答案,解析,3,设切点的横坐标为x0，,解得x03或x02(舍去，不符合题意)，,即切点的横坐标为3.,答案,解析,1,典例若存

10、在过点o(0，0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.,求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.,错解展示,求曲线的切线方程,现场纠错系列3,现场纠错,纠错心得,几何画板展示,返回,解易知点o(0，0)在曲线yx33x22x上. (1)当o(0，0)是切点时， 由y3x26x2，得y|x02， 即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x. 依题意44a0，得a1.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.(2016天津)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为 .,答案

11、,解析,3,因为f(x)(2x1)ex， 所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex， 所以f(0)3e03.,14,15,16,2.已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为 .,答案,解析,因为切线过点(0，0)，所以ln x01，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.若直线yx是曲线yx33x2px的切线，则实数p的值为 .,答案,解析,y3x26xp，设切点为p(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.若f(x)2xf(1)x2，则f(0) .,答案,解析,4,f(x)2f

12、(1)2x， 令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2， 所以f(0)2f(1)04.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2016江苏扬州中学期中)若x轴是曲线f(x)ln xkx3的一条切线，则k .,答案,解析,e2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设点m(x0，y0)是曲线f(x)上的一点， 则曲线f(x)ln xkx3在点m处的切线方程为,x轴是曲线f(x)ln xkx3的一条切线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,由题意可知f(

13、x) ，g(x) ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a .,答案,解析,1,f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2. 所以函数在(1，f(1)处的切线方程为y(a2)(13a)(x1). 将(2，7)代入切线方程，得7(a2)13a， 解得a1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2016南京模拟)曲线ylog2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形 的面积等于 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,

14、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.若函数f(x) x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围 是 .,答案,解析,2，),f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,*10.已知曲线f(x)xn1(nn*)与直线x1交于点p，设曲线yf(x)在点p处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为 .,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)(n1)xn

15、，kf(1)n1， 点p(1，1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，,x1x2x2 015,则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015 log2 016(x1x2x2 015)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.,1,答案,解析,f(1)2f(1)1，则f(

16、1)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.,0,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知f(3)1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21 (x1，2)上一

17、点p作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大 的普通梯形，则这一点的坐标为_,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求曲线在点p(2，4)处的切线方程；,解答,在点p(2，4)处的切线的斜率为y|x24. 曲线在点p(2，4)处的切线方程为y44(x2)， 即4xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求曲线过点p(2，4)的切线方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(x01)(x02)20，,解得x01或x02，,故所求的切线方程为xy20或4xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.设函数f(x)ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y 120. (1)求f(x)的解析式；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15