求曲线方程的常用方法

1、.求曲线方程的一般方法求曲线方程的方法是解析几何的重要内容和高等院校考试的常点.在求曲线方程时，必须根据曲线的背景、结构特点，选择不同的思路和方法，才能简单而明快地解决问题.1 .定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，可以根据问题设定条件和图形的特征，恰当地使用平面几何的知识求其数量关系，由曲线定义直接写出方程式，这种方法称为定义法如图1所示，点a是与圆形纸片内的圆心c不同的定点，动点m在圆周上折叠纸片，使点m与点a重合，将折痕m的交线CM设为点n(1)证明曲线e为椭圆，写出a=2时椭圆的标准方程式(2)将直线l通过的点c和椭圆e的上顶点b、点a相对于直线l的对称点设为点q，如果

2、是椭圆e的离心率e -，则求出点q的纵坐标的可取值的范围.在解(1)题意中，直线m是线段AM的垂直平分线|NA|=|NM|。数学运算符| |数学运算符|=|数学运算符|=2a 2，n的轨迹以c、a为焦点，长轴长为2a，焦距长度为2的椭圆。在a=2的情况下，长轴长度为2a=4，焦距长度为2c=2，b2=a2-c2=3。椭圆的标准方程式是=1(2)设椭圆的标准方程式为=1 (ab0)。从(1)可以看出，a2-b2=1.另外，c (-1，0，0 )、B(0，b )、直线l的方程式是=1，即bx-y b=0。使Q(x，y )、点q和点a (1，0 )关于直线l对称，删除x得到y=。离心率e -e 2，

3、即a 24。b214，即b、仅在y=2、b=1的情况下取等号。另外，在b=的时候，y=； 在b=的情况下，y=.y2。点q的纵轴可取值的范围为，2。2 .直接法在问题设定条件有明显的等量关系的情况下，或者如果能够使用平面几何的知识导出等量关系，则可以通过“建系、设置点、列式、简化、检查”5个步骤求出直接出动点的轨迹方程式，该“五步法”可以称为直接法例2直线l1:2x-3y 2=0、l2:3x-2y 3=0.有运动的圆m (圆的中心和半径都变动)和l1、l2相交，l1、l2是圆内的两条线段的分解图是将M(x，y )、圆的半径设为r、将从m到l1、l2的距离分别设为d1、d2，d 132=r2，d

4、 122=r2，d-d=25，即，2-2=25，在圆心m简并性的轨迹方程式是(x 1)2-y2=65。如果动点运动定律是几何量的等量关系，常用直接法求解。 也就是说，只要将这些个的关系直接转换为包含动点坐标x、y的方程式即可。3 .保留系数法如果知道曲线(轨迹)的形状，则在求曲线(轨迹)的方程式时，可以用保留系数法求解例3以椭圆对称轴为坐标轴，以o为坐标原点，以f为焦点，以a为顶点，如果椭圆的长轴长为6，且cosOFA=，则可以求出椭圆的方程式.解椭圆的长轴长为6，cosOFA=、点a不是长轴的顶点，而是短轴的顶点关闭|=c，|AF|=a=3、=、c=2、b2=32-22=5，椭圆的方程是=1

5、或=14 .相关点法(或代入法)如果已知点p的运动轨迹或存在的曲线，则能够在点p和点q的坐标之间建立某种关系，根据点p的运动轨迹能够得到点q的运动轨迹如例4图所示，从双曲线x2-y2=1上的点q引出直线l:x y=2的垂线，以脚为n，求出线段QN的中点p的轨迹方程式。分析设为P(x，y )，p是QN的中点，因此只要用p点的坐标表示q点的坐标并将其代入双曲线方程式即可。设p点的坐标为(x，y )，双曲线上的点q的坐标为(x0，y0)，点p是线段QN的中点，n点的坐标为(2x-x 0，2 y-y0)。另外，点n在直线x y=2以上，2x-x0 2y-y0=2，即x0 y0=2x 2y-2.另外，Q

6、Nl、kQN=1，即x0-y0=x-y.从得到x0=(3x y-2 )、y0=(x 3y-2 )。另外，点q在双曲线上(3x y-2)2-(x 3y-2)2=1。简化，2-2=。线段QN中点p的轨迹方程式2-2=.本问题中的动点p与点q相关，为了做评估q点的轨迹确定，解决这种问题的关键是找出p、q两点坐标之间的关系，用相关点法解决5 .残奥仪表法求出动点满足的几何条件并不容易，也没有明显的相关点，但是该动点的运动常常受到其他变量(角度、倾斜度、比、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x，y )中的x已知例5点p在直线x=2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点a (1，0 )及点p的直线m和直线l与点q相交，求出点q的轨迹方程式.如图解所示，将OP的倾斜度设为k，p (2，2 k ).k0时，直线l的方程式： y=-x； 直