高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 抛物线课件 理 北师大版

1、9.6抛物线,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.抛物线的概念 平面内与一个定点f和一条定直线l(l不过f)的距离 的点的集合叫作抛物线.点f叫作抛物线的 ，直线l叫作抛物线的 .,知识梳理,相等,准线,焦点,2.抛物线的标准方程与几何性质,(3)以弦ab为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(),(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(),1.(2016四川)抛物线y

2、24x的焦点坐标是 a.(0,2) b.(0,1) c.(2,0) d.(1,0),考点自测,答案,解析,对于y24x，焦点坐标为(1,0).,2.(2016张掖一诊)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|pq|等于 a.9 b.8 c.7 d.6,答案,解析,抛物线y24x的焦点为f(1,0)， 准线方程为x1. 根据题意，可得|pq|pf|qf|x11x21x1x228.,3.设抛物线y28x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是,答案,解析,q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)

3、，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20， 由(4k28)24k24k264(1k2)0， 解得1k1.,4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点p(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,y28x或x2y,设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0).将p(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.,答案,解析,圆x2y26x70，即(x3)2y216， 则圆心为(3,0)，半径为4. 又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，,5.(2017合肥月考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的

4、值为_.,答案,解析,2,题型分类深度剖析,例1设p是抛物线y24x上的一个动点，若b(3,2)，则|pb|pf|的最小值为_.,题型一抛物线的定义及应用,答 案,解析,4,如图，过点b作bq垂直准线于点q， 交抛物线于点p1， 则|p1q|p1f|.则有|pb|pf|p1b|p1q|bq|4. 即|pb|pf|的最小值为4.,引申探究,1.若将本例中的b点坐标改为(3,4)，试求|pb|pf|的最小值.,解答,由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. |pb|pf|的最小值即为b，f两点间的距离，,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点p

5、到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.,解答,由题意知，抛物线的焦点为f(1,0). 点p到y轴的距离d1|pf|1， 所以d1d2d2|pf|1.,思维升华,与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.,跟踪训练1 (2016西安市铁一中学模拟)已知点p是抛物线y28x上一点，设p到此抛物线准线的距离是d1，到直线xy100的距离是d2，则d1d2的最小值是,抛物线方程是y28x， 抛物线的焦点为f(2,0)，准线

6、方程是x2(如图)， d1d2的最小值是焦点f到直线xy100的距离，,答案,解析,题型二抛物线的标准方程和几何性质,答案,解析,命题点1求抛物线的标准方程,p8.故c2的方程为x216y.,命题点2抛物线的几何性质,证明,则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.,证明,证明,(3)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.,设ab的中点为m(x0，y0)，分别过a，b作准线的垂线，垂足为c，d，过m作准线的垂线，垂足为n，,所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.,思维升华,(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，

7、由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,答案,解析,a.2 b.4 c.6 d.8,不妨设抛物线c：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，,点a(x0 ,2 )在抛物线y22px上，82px0， ,联立，解得p4，即c的焦点到准线的距离为p4，故选b.,答案,解析,设|af|a，|bf|b，分别过a、b作准线的垂线，垂足分别为q、p， 由抛物线的定义知，|af|aq|，|bf|bp|， 在梯形abpq中，2|mn

8、|aq|bp|ab. |ab|2a2b22abcos 120 a2b2ab(ab)2ab.,题型三直线与抛物线的综合问题,例4已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a、b两点.若 0，则k_.,命题点1直线与抛物线的交点问题,2,答案,解析,抛物线c的焦点为f(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点a(x1，y1)，b(x2，y2).,y1y2k2x1x22(x1x2)416.,(x12)(x22)(y12)(y22) x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80， 将上面各个量代入，化简得

9、k24k40，所以k2.,命题点2与抛物线弦的中点有关的问题,例5(2016全国丙卷)已知抛物线c：y22x的焦点为f，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交c于a，b两点，交c的准线于p，q两点. (1)若f在线段ab上，r是pq的中点，证明：arfq；,证明,记过a，b两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. 由于f在线段ab上，故1ab0. 记ar的斜率为k1，fq的斜率为k2，,所以arfq.,(2)若pqf的面积是abf的面积的两倍，求ab中点的轨迹方程.,解答,设过ab的直线为l，设l与x轴的交点为d(x1,0)，,设满足条件的ab的中点为e(x，y).,当ab与x轴垂直时

10、，e与d重合，此时e点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y2x1(x1).,思维升华,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,跟踪训练3(2016北京东城区质检)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，直线y4与y轴的交点为p

11、，与c的交点为q，且|qf| |pq|. (1)求c的方程；,解答,解得p2(舍去)或p2. 所以c的方程为y24x.,(2)过f的直线l与c相交于a、b两点，若ab的垂直平分线l与c相交于m、n两点，且a、m、b、n四点在同一圆上，求l的方程.,解答,依题意知l与坐标轴不垂直， 故可设l的方程为xmy1(m0). 代入y24x，得y24my40. 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24m，y1y24. 故ab的中点为d(2m21,2m)，,设m(x3，y3)，n(x4，y4)，,由于mn垂直平分ab，故a，m，b，n四点在同一圆上等价于|ae|be| |mn|，,化简得m210，

12、解得m1或m1. 所求直线l的方程为xy10或xy10.,直线与圆锥曲线问题的求解策略,答题模板系列7,思维点拨,规范解答,答题模板,典例(12分)已知抛物线c：ymx2(m0)，焦点为f，直线2xy20交抛物线c于a，b两点，p是线段ab的中点，过p作x轴的垂线交抛物线c于点q. (1)求抛物线c的焦点坐标； (2)若抛物线c上有一点r(xr，2)到焦点f的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,消去y得mx22x20，,若存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形，,返回,存在实数m2，使abq

13、是以q为直角顶点的直角三角形.12分,解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.(2017昆明质检)已知抛物线c的顶点是原点o，焦点f在x轴的正半轴上，经过f的直线与抛物线c交于a、b两点，如果 12，那么抛物线c的方程为 a.x28y b.x24y c.y28

14、x d.y24x,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，,即抛物线c的方程为y28x.,2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 a.x1 b.x1 c.x2 d.x2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,即y22pyp20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，,抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

15、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016上饶四校联考)设抛物线c：y23px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则抛物线c的方程为 a.y24x或y28x b.y22x或y28x c.y24x或y216x d.y22x或y216x,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以mf为直径的圆过点(0,2)，设a(0,2)，连接af，am，可得afam，,根据抛物线的定义，得直线ao切以mf为直径的圆于点a， oafamf，,可得在rtamf中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1

16、1,12,13,c的方程为y24x或y216x.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a.4 b.4 c.p2 d.p2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若焦点弦abx轴，,y1p，y2p，y1y2p2，,若焦点弦ab不垂直于x轴，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016江西南昌第一次模拟)已知抛物线c：y28x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是线段pf与c的一个交点，若|fp|3|qf|，则|qf|等于,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图所示，过

17、点q作qml，设l与x轴交于点k， 由抛物线定义知，|mq|qf|， 由pmqpkf， 得|mq|：|kf|pq|pf|23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,抛物线y24x的准线方程为x1， 如图，过p作pn垂直直线x1于n， 由抛物线的定义可知|pf|pn|，连接pa，,即pan最小，即paf最大， 此时，pa为抛物线的切线，设pa的方程为yk(x1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以(2k24)24k40， 解得k1，所以pafnpa45，,7.设f为抛物

18、线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，则|ab|_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知抛物线c：y22px(p0)的准线为l，过m(1,0)且斜率为 的直线与l相交于点a，与c的一个交点为b，若 ，则p_.,答案,解析,2,如图， 由ab的斜率为 ，,m为ab的中点. 过点b作bp垂直准线l于点p， 则abp60，bap30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3

19、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.已知椭圆e的中心在坐标原点，离心率为 ,e的右焦点与抛物线c： y28x的焦点重合，a，b是c的准线与e的两个交点，则|ab|_.,答案,解析,6,可得a4，b216412.,抛物线y28x的焦点为(2,0)， 准线方程为x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,把x2代入椭圆方程，解得y3. 从而|ab|6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.设直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点m，且m为线段ab的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取

20、值范围是_.,(2,4),答案,解析,两式相减，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2). 当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条. 当k存在时，x1x2，,如图，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又y1y22y0，所以y0k2.,即y0k5x0，因此25x0，x03， 即m必在直线x3上.将x3代入y24x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,因为点m在圆上，,所以4r216，即2r4.,11.(2016沈阳模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线

21、于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1x2)两点，且|ab|9. (1)求该抛物线的方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以p4，从而抛物线方程为y28x.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由于p4，则4x25pxp20， 即x25x40，从而x11，x24，,整理得(21)241， 解得0或2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.设p，q是抛物线y22px(p0)上相异两点，p，q到y轴的距离的积为4，且 0. (1)求该抛物线的标准方程；,解答,设p(x1，y1)，q(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,y1y24p2，,又|x1x2|4， 4p24，p1， 抛物线的标准方程