高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.4 平行关系课件 理 北师大版

1、8.4平行关系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.直线与平面平行的判定与性质,知识梳理,a,a，b ， ab,a,a，a， b,a,ab,2.面面平行的判定与性质,a，b，abp，a，b,，a，b,重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.() (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面

2、内的任一条直线.() (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(),(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.() (5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.() (6)若，直线a，则a.(),1.(教材改编)下列命题中正确的是 a.若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面 b.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行 c.平行于同一条直线的两个平面平行 d.若直线a，b和平面满足ab，a， b ，则b,考点自测,答案,解析,a中，a可以在过b的平面内； b中，a与内的直线可能异面； c中，两平面可相交； d中，由直

3、线与平面平行的判定定理知，b，正确.,2.设l，m为直线，为平面，且l，m，则“lm”是“”的 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件d.既不充分也不必要条件,答案,解析,当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“lm”是“”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，lm是的必要不充分条件.,3.(2016济南模拟)平面平面的一个充分条件是 a.存在一条直线a，a，a b.存在一条直线a，a，a c.存在两条平行直线a，b，a，b，a，b d.存在两条异面直线a，b，a，b，a，b,答案,解析,若l，al，a ，a ，则a，a，故排除a. 若l，a，al

4、，则a，故排除b. 若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除c. 故选d.,4.(教材改编)如图，正方体abcda1b1c1d1中，e为dd1的中点，则bd1与平面aec的位置关系为_.,答案,解析,平行,连接bd，设bdaco，连接eo，在bdd1中，o为bd的中点，所以eo为bdd1的中位线，则bd1eo，而bd1 平面ace，eo平面ace，所以bd1平面ace.,5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形efgh为截面，则四边形efgh的形状为_.,答案,解析,平行四边形,平面abfe平面dcgh， 又平面efgh平面abfeef，平面efgh平面dcghhg， efhg.同理e

5、hfg， 四边形efgh的形状是平行四边形.,题型分类深度剖析,例1如图，四棱锥pabcd中，adbc，abbc ad，e，f，h分别为线段ad，pc，cd的中点，ac与be交于o点，g是线段of上一点. (1)求证：ap平面bef；,题型一直线与平面平行的判定与性质,命题点1直线与平面平行的判定,证明,连接ec， adbc，bc ad， bc綊ae， 四边形abce是平行四边形， o为ac的中点. 又f是pc的中点，foap， fo平面bef，ap 平面bef，ap平面bef.,(2)求证：gh平面pad.,证明,连接fh，oh，f，h分别是pc，cd的中点， fhpd，fh平面pad. 又

6、o是be的中点，h是cd的中点， ohad，oh平面pad. 又fhohh，平面ohf平面pad. 又gh平面ohf，gh平面pad.,例2(2016长沙模拟)如图，四棱锥pabcd的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2 .点g，e，f，h分别是棱pb，ab，cd，pc上共面的四点，平面gefh平面abcd，bc平面gefh. (1)证明：ghef；,命题点2直线与平面平行的性质,证明,因为bc平面gefh，bc平面pbc， 且平面pbc平面gefhgh， 所以ghbc. 同理可证efbc，因此ghef.,(2)若eb2，求四边形gefh的面积.,解答,如图，连接ac，bd交于点o，bd交

7、ef于点k，连接op，gk. 因为papc，o是ac的中点，所以poac， 同理可得pobd. 又bdaco，且ac，bd都在底面内， 所以po底面abcd. 又因为平面gefh平面abcd， 且po 平面gefh，所以po平面gefh. 因为平面pbd平面gefhgk， 所以pogk，且gk底面abcd，,从而gkef. 所以gk是梯形gefh的高. 由ab8，eb2得ebabkbdb14，,所以gk3.,思维升华,判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理( ，b，aba)； (3)利用面面平行的性质定理(，aa)； (4)利用面面平

8、行的性质(，a ，a ，aa).,跟踪训练1如图所示，cd，ab均与平面efgh平行，e，f，g，h分别在bd，bc，ac，ad上，且cdab.求证：四边形efgh是矩形.,证明,cd平面efgh， 而平面efgh平面bcdef， cdef. 同理hgcd，efhg. 同理hegf， 四边形efgh为平行四边形. cdef，heab， hef为异面直线cd和ab所成的角或其补角. 又cdab，heef. 平行四边形efgh为矩形.,题型二平面与平面平行的判定与性质,例3如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，e，f，g，h分别是ab，ac，a1b1，a1c1的中点，求证： (1)b，c，h，g

9、四点共面；,证明,g，h分别是a1b1，a1c1的中点， gh是a1b1c1的中位线，ghb1c1. 又b1c1bc，ghbc， b，c，h，g四点共面.,(2)平面efa1平面bchg.,证明,e，f分别是ab，ac的中点， efbc. ef 平面bchg，bc平面bchg， ef平面bchg. a1g綊eb，四边形a1ebg是平行四边形， a1egb. a1e 平面bchg，gb平面bchg， a1e平面bchg. a1eefe， 平面efa1平面bchg.,引申探究,1.在本例条件下，若d为bc1的中点，求证：hd平面a1b1ba.,证明,如图所示，连接hd，a1b， d为bc1的中点，

10、h为a1c1的中点， hda1b， 又hd 平面a1b1ba， a1b平面a1b1ba， hd平面a1b1ba.,2.在本例条件下，若d1，d分别为b1c1，bc的中点，求证：平面a1bd1平面ac1d.,证明,如图所示，连接a1c交ac1于点m， 四边形a1acc1是平行四边形， m是a1c的中点，连接md， d为bc的中点， a1bdm. a1b平面a1bd1， dm 平面a1bd1， dm平面a1bd1. 又由三棱柱的性质知，d1c1綊bd， 四边形bdc1d1为平行四边形，,dc1bd1. 又dc1 平面a1bd1，bd1平面a1bd1， dc1平面a1bd1， 又dc1dmd，dc1

11、，dm平面ac1d， 平面a1bd1平面ac1d.,思维升华,证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.,跟踪训练2(2016许昌三校第三次考试)如图所示，四边形abcd与四边形adef都为平行四边形，m，n，g分别是ab，ad，ef的中点.求证： (1)be平面dmf；,证明,如图所示，设df与gn交于点o，连接ae，则ae必过点o，

12、 连接mo，则mo为abe的中位线，所以bemo. 因为be 平面dmf，mo平面dmf， 所以be平面dmf.,(2)平面bde平面mng.,证明,因为n，g分别为平行四边形adef的边ad，ef的中点，所以degn. 因为de 平面mng，gn平面mng， 所以de平面mng. 因为m为ab的中点， 所以mn为abd的中位线， 所以bdmn. 因为bd 平面mng，mn平面mng， 所以bd平面mng. 因为de与bd为平面bde内的两条相交直线， 所以平面bde平面mng.,题型三平行关系的综合应用,例4如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，d是棱cc1的中点，问在棱ab上是否存在一点

13、e，使de平面ab1c1？若存在，请确定点e的位置；若不存在，请说明理由.,解答,方法一存在点e，且e为ab的中点时，de平面ab1c1. 下面给出证明： 如图，取bb1的中点f，连接df， 则dfb1c1， ab的中点为e，连接ef，ed， 则efab1，b1c1ab1b1， 平面def平面ab1c1. 而de平面def， de平面ab1c1.,方法二假设在棱ab上存在点e， 使得de平面ab1c1， 如图，取bb1的中点f，连接df，ef，ed，则dfb1c1， 又df 平面ab1c1， b1c1平面ab1c1， df平面ab1c1， 又de平面ab1c1， dedfd， 平面def平面a

14、b1c1， ef平面def，ef平面ab1c1，,又ef平面abb1，平面abb1平面ab1c1ab1， efab1， 点f是bb1的中点，点e是ab的中点. 即当点e是ab的中点时，de平面ab1c1.,思维升华,利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.,跟踪训练3如图所示，在四面体abcd中，截面efgh平行于对棱ab和cd，试问截面在什么位置时其截面面积最大？,解答,几何画板展示,ab平面efgh， 平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg，eh. abfg，abeh， fgeh，同理可证efgh

15、， 截面efgh是平行四边形. 设aba，cdb，fgh (即为异面直线ab和cd所成的角或其补角).,x0，ax0且x(ax)a为定值，,即当截面efgh的顶点e、f、g、h分别为棱ad、ac、bc、bd的中点时截面面积最大.,sefghfgghsin ,典例(12分)如图，在四棱锥sabcd中，已知底面abcd为直角梯形，其中adbc，bad90，sa底面abcd，saabbc2，tansda . (1)求四棱锥sabcd的体积； (2)在棱sd上找一点e，使ce平面sab，并证明.,立体几何中的探索性问题,答题模板系列5,规范解答,答题模板,解(1)sa底面abcd，tansda ，sa

16、2， ad3. 2分 由题意知四棱锥sabcd的底面为直角梯形，且saabbc2，,(2)当点e位于棱sd上靠近d的三等分点处时，可使ce平面sab. 8分,证明如下： 取sd上靠近d的三等分点为e，取sa上靠近a的三等分点为f，连接ce，ef，bf，,bc綊ef，cebf.10分 又bf平面sab，ce 平面sab， ce平面sab.12分,返回,解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案； 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.,返回,课时作业,1.(2016保定模拟)有下列命题： 若直线l平行于平面内的

17、无数条直线，则直线l； 若直线a在平面外，则a； 若直线ab，b，则a； 若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线. 其中真命题的个数是 a.1 b.2 c.3 d.4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,命题：l可以在平面内，不正确； 命题：直线a与平面可以是相交关系，不正确； 命题：a可以在平面内，不正确； 命题正确.故选a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016滨州模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，表示平面.若m，n，l1，l2，l1l2m，则的一

18、个充分条件是 a.m且l1 b.m且n c.m且nl2 d.ml1且nl2,答案,解析,由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项d可推知.故选d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是 a.若m，n，则mn b.若m，n，则mn c.若m，n，则mn d.若m，n，则mn,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,对a，直线m，n可能平行、异面或相交，故a错误； 对b，直线m与n可能平行，也可能异面，故b错误； 对c，m与n垂直而

19、非平行，故c错误； 对d，垂直于同一平面的两直线平行，故d正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.如图，l，m，n分别为正方体对应棱的中点，则平面lmn与平面pqr的位置关系是 a.垂直b.相交不垂直 c.平行d.重合,答案,解析,如图，分别取另三条棱的中点a，b，c，将平面lmn延展为平面正六边形ambncl，因为pqal，pram，且pq与pr相交，al与am相交，所以平面pqr平面ambncl，即平面lmn平面pqr.,5.(2016全国甲卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么； 如果m，n，那么mn； 如果，m，那么

20、m； 如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号),答案,解析,当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_.,答案,解析,或,由面面平行的性质定理可知，正确； 当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点， 所

21、以平行，正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.在正四棱柱abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，p是dd1的中点，设q是cc1上的点，则点q满足条件_时，有平面d1bq平面pao.,答案,解析,q为cc1的中点,假设q为cc1的中点. 因为p为dd1的中点， 所以qbpa. 连接db， 因为o是底面abcd的中心，所以d1bpo， 又d1b 平面pao，qb 平面pao，且papo于p， 所以d1b平面pao，qb平面pao， 又d1bqb于b，所以平面d1bq平面pao. 故q为cc1的中点时，有平面d1bq平面pao.,1,2,3,4,5,6,

22、7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两直线平行；平行于同一平面的两直线平行. 其中是“可换命题”的是_.(填命题的序号),答案,解析,由线面垂直的性质定理可知是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”； 因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是“可换命题”； 由公理4可知是真命题，且平行于同一平面的两

23、平面平行也是真命题，故是“可换命题”； 因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命题，故不是“可换命题”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如图，空间四边形abcd的两条对棱ac、bd的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形efgh在平移过程中，周长的取值范围是_.,答案,解析,(8,10),gh5k，eh4(1k)，周长82k. 又0k1，周长的取值范围为(8,10).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.在三棱锥sabc中，abc是边长为6的正三

24、角形，sasbsc15，平面defh分别与ab，bc，sc，sa交于点d，e，f，h.d，e分别是ab，bc的中点，如果直线sb平面defh，那么四边形defh的 面积为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，取ac的中点g， 连接sg，bg. 易知sgac，bgac，sgbgg， 故ac平面sgb， 所以acsb. 因为sb平面defh，sb平面sab，平面sab平面defhhd， 则sbhd.同理sbfe. 又d，e分别为ab，bc的中点， 则h，f也为as，sc的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以四边形defh为平行四边形. 又acsb，sbhd，deac， 所以dehd， 所以四边形defh为矩形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如图，e、f、g、h分别是正方体abcda1b1c1d1的棱bc、cc1、c1d1、aa1的中点.求证： (1)eg平面bb1d1d；,证明,取b1d1的中点o，连接go，ob， 易证四边形bego为平行四边形，故obeg， 由线面平行的判定定理即可证eg平面bb1d1d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)平面bdf平面b1d1h.,证明,由题意可知bdb1d1. 如图，连接