课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的倾斜角与斜率直线的方程学案理

1、9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲展示1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式2掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系考点1直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴_时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l的倾斜角的取值范围是_答案：(1)向上方向平行或重合(2)0，)2直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角不是90，则斜率k_.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直

2、线不垂直于x轴，则k.答案：(1)tan 斜率与倾斜角的两个易错点：斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围(1)当a3时，直线ax(a3)y10的倾斜角为_答案：90解析：当a3时，直线ax(a3)y10可化为3x10，其倾斜角为90.(2)直线xcos y20的倾斜角的范围是_答案： 解析：设直线的倾斜角为.依题意知，斜率kcos .cos 1,1，k1,1，即tan 1,1又0，)， .求斜率或倾斜角：公式法已知直线l经过A(cos ，sin2)，B(0,1)两个不同的点，则直线l的斜率为_，倾斜角的取值范围是_答案：cos 解析：当cos 0时，sin21cos21，此时A，B两点重合，c

3、os 0，斜率kcos 1,0)(0,1，因此倾斜角的取值范围是 .典题1(1)设直线l的方程为xycos 30(R)，则直线l的倾斜角的取值范围是()A0，) B.C. D.答案C解析当cos 0时，方程变为x30，其倾斜角；当cos 0时，由直线方程可得斜率ktan .cos 1,1且cos 0，k(，11，)，即tan (，11，)，又0，)，.综上知，倾斜角的取值范围是，故选C.(2)若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_答案，0)解析当时，tan 1，k1.当时，tan 0，即k0.k，0)(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点

4、，则直线l斜率的取值范围为_答案(， 1，)解析如图所示，kAP1，kBP，直线l斜率的取值范围为(， 1，)题点发散1若将本例(3)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解：P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.题点发散2若将本例(3)的条件改为“经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角的取值范围解：解法一：如图所示，kPA1，kPB1，由图可得，直线l的倾斜角的取值范围是.解法二：由题意知，直线l存在斜率设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y1kx

5、，即kxy10.A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上(k21)(2k11)0，即2(k1)(k1)0.1k1.直线l的倾斜角的取值范围是.点石成金求倾斜角的取值范围的两个步骤及一个注意点(1)两个步骤：求出斜率ktan 的取值范围；利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围(2)一个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在考点2直线方程直线方程的五种形式答案：yy0k(xx0)ykxbAxByC0(A2B20)(1)教材习题改编直线l的倾斜角为60，且在x轴上的截距为，则直线l的方程为_答案：3xy10解析： 由题意可知，直线l的斜率为，且该直线过 ，直线l的方程为

6、y，即3xy10.(2)教材习题改编若方程AxByC0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是_答案：A0且B0解析：直线AxByC0与x轴相交，即方程组 有唯一解，所以A0.同理，直线AxByC0与y轴相交时，有B0.直线方程的易错点：方程形式的变形及转化(1)给出下列直线方程：x3y6；2x3y0；axbyc，其中一定能化为截距式方程的是_答案：解析：(1)x3y6化为截距式方程为1；2x3y0不能化为截距式方程；当a，b，c中有1个或2个为0时，axbyc不能化为截距式方程(2)过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_答案：4x3y0或xy10解析

7、：若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为1，即xya，则a3(4)1，所以直线方程为xy10.综上，所求直线方程为4x3y0或xy10.典题2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (00，b0，故ab(ab)2224，当且仅当ab时等号成立，故ab的最小值为4.角度二与导数的几何意义相结合的问题典题4设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的

8、切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()A. B1,0C0,1 D.答案A解析由题意知，y2x2，设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0k1，即02x021，故1x0.角度三与圆相结合求直线方程问题典题5在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过点H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是_答案xy10解析直线OA的方程为yx，代入半圆方程，得A(1,1)，所以H(1,0)，直线HB的方程为yx1，代入半圆方程，得B.所以直线AB的方

9、程为，即xy10.点石成金处理直线方程综合应用的两大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程(1)证明：直线l的方程可变形为k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(2)解：由直线l的方程知

10、，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线l不经过第四象限，则必须有解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意故k0，即k的取值范围是0，)(3)解：由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，等号成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.方法技巧1.直线的斜率k与倾斜角之间的关系009090900不存在k02.求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而

11、求出直线方程易错防范1.利用两点式计算斜率时，易忽视x1x2时斜率k不存在的情况2用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误3直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式4由一般式AxByC0确定斜率k时易忽视判断B是否为0的情况，当B0时，k不存在；当B0时，k. 真题演练集训 2015新课标全国卷在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解：(1)由题设，可得M(2，a)，N(2，

12、a)或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，则C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0；y在x2处的导数值为，则C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意 课外拓展阅读 忽视斜率不存在而致误分析典例已知圆C：(x1)2(y2)24，则过点P(1,1)的圆的切线方程为_审题视角首先验证过P(1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切，然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解解析(1)当直线的斜率不存在时，方程为x1.此时圆心C(1，2)到直线x1的距离d|11|2，故该直线为圆的切线(2)当直线的斜率