浙江专版2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3抛物线及其性质学案

1、10.3抛物线及其性质考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142015201620171.抛物线的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.掌握15,4分22(文),约5分22(文),约5分9,4分19(1)(文),6分15,约4分2.抛物线的几何性质1.掌握抛物线的简单几何性质.2.理解数形结合的思想.掌握22(文),约5分22(文),约6分5,5分20(文),约7分19(2)(文),9分15,约6分分析解读1.考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质.2.考查直线与抛物线的位置关系

2、,以及与抛物线有关的综合问题.3.预计2019年高考中,抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考查.五年高考考点一抛物线的定义和标准方程 1.(2013课标全国,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案C2.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案93.(2017课标全国理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM

3、的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案64.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案25.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.答案1+考点二抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C.D.答案A2.(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两

4、点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案B3.(2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=x4.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取

5、值范围.解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-.所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线得=,于是m=.所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).5.(2014浙江文,22,14分)

6、已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若|=3,求点M的坐标;(2)求ABP面积的最大值.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,

7、2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由0,k20,得-f,所以,当m=时, f(m)取到最大值,此时k=.所以,ABP面积的最大值为.6.(2013浙江文,22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2

8、=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标xM=.同理点N的横坐标xN=.所以|MN|=|xM-xN|=8=.令4k-3=t,t0,则k=.当t0时,|MN|=22.当t0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题

9、意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从

10、而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)教师用书专用(910)9.(2013安徽,13,5分)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为.答案1,+)10.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.答案6三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一抛物线的定义和标准方程 1.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),4)

11、设抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,若抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=()A.4B.4或-4C. -2D.-2或2答案D2.(2017浙江杭州二模(4月),7)设倾斜角为的直线经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴下方.若=m,则cos 的值为()A.B.C.D.答案A3.(2018浙江名校协作体期初,15)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若=,则|=.答案54.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),11)已知抛物线y2=-2px过点M(-2,2),则p=,准线方程是.

12、答案1;x=5.(2018浙江镇海中学期中,19)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py的焦点为F(0,1),过O作斜率为k(k0)的直线l交抛物线于A(异于O点),已知D(0,5),直线AD交抛物线于另一点B.(1)求抛物线C的方程;(2)若OABF,求k的值.解析(1)由题意知,=1,所以p=2,所以抛物线C:x2=4y.(6分)(2)由题意知,直线OA:y=kx,将其代入抛物线方程:x2=4y中,消去y,得x2-4kx=0,则A(4k,4k2).(8分)直线AB:y=x+5,直线BF:y=-x+1,(10分)联立可解得B. (12分)又因为B在抛物线C上,则=4,(13分)

13、得(4k2+3)(4k2-5)=0,得k=.(15分)考点二抛物线的几何性质6.(2018浙江镇海中学期中,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为原点,若M是抛物线上的动点,则的最大值为()A.B.C.D.答案C7.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),12)已知抛物线x2=4y,则该抛物线的焦点坐标是;过焦点斜率为1的直线与抛物线交于P,Q两点,则|PQ|=.答案(0,1);88.(2016浙江宁波二模,19)在“2016”的Logo设计中,有这样一个图案:.其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成.对其进行代数化的分析,如图建系,发现:圆C方程为(x-4)2+y2=16,抛物线弧E:y2=2

14、px(p0,y0,0x8),若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点,线段l所在的直线恰为抛物线y2=2px的准线.(1)求p的值及线段l所在的直线方程;(2)P为圆C上的任意一点,过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点,问是否存在这样的点P,使得弦AB在l上的投影的长度与圆C的直径之比为43?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由题意易得p=8,线段l所在直线方程为x=-4.(5分)(2)假设存在这样的P点,设P(x0,y0)(0x08),则切线方程为(x0-4)(x-4)+y0y=16,(7分)将其与抛物线方程y2=16x联立,显然x04,y00.整理得y2+y0y-4x0=

15、0,(9分)设点A、B在l上的投影分别为M,N.由题意可得|MN|=|yA-yB|=,解得x0=1(x0=16舍去).此时P(1,),则yA,B=(2),(11分)因为抛物线弧的右上端点坐标为(8,8),且(+2)8,故此时的P不满足条件,即这样的P点不存在.(15分)B组20162018年模拟提升题组一、选择题 1.(2017浙江绍兴质量调测(3月),7)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点M(p,0)的直线交抛物线于A,B两点,若=2,则=()A.2B.C.D.与p有关答案B二、填空题2.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,13)设抛物线y2=4x的焦点为F,P,R为抛物线上

16、的点,若|PF|=4,则点P的坐标是;若直线RF与抛物线的另一交点为Q,且RQO(O为坐标原点)的重心在直线y=x上,则直线RF的斜率是.答案(3,2);2或13.(2017浙江台州4月调研卷(一模),15)过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=4,则|=.答案4.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,11)已知抛物线C:y2=2x,若C上的点M到焦点F的距离为,则OFM的面积是.答案1三、解答题5.(2018浙江名校协作体期初,21)如图,已知抛物线C1:x2=2py的焦点在抛物线C2:y=x2+1上,点P是抛物线C1上的动点.(1)求抛物线C1的方程

17、及其准线方程;(2)过点P作抛物线C2的两条切线,A、B为两个切点,求PAB面积的最小值.解析(1)C1的方程为x2=4y,(3分)其准线方程为y=-1.(5分)(2)设P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA的方程:y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-2+y1,又y1=+1,所以y=2x1x+2-y1,同理得切线PB的方程为y=2x2x+2-y2,又切线PA和PB都过P点,所以所以直线AB的方程为4tx-y+2-t2=0.(9分)联立得x2-4tx+t2-1=0,所以所以|AB|=|x1-x2|=.(11分)点P到直线AB的距离d=.(13分)所以PAB的面

18、积S=|AB|d=2(3t2+1)=2(3t2+1,所以当t=0时,S取得最小值,为2.即PAB面积的最小值为2.(15分)6.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,21)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,直线l过点F,且与C交于M,N两点.(1)当l与y轴垂直时,OMN的面积为2(O为坐标原点),求此时抛物线C的方程;(2)过M,N分别作抛物线C的两条切线交于点P,当直线l变化时,证明:P点在一条定直线上,并且以MP为直径的圆过定点.解析(1)当直线l与y轴垂直时,|MN|=2p,SOMN=2p=2,因此p=2,所以此时抛物线C的方程为x2=4y.(4分)(2)证明:由题意知,直

19、线l的斜率必存在,设l的方程为y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),P(xP,yP).由x2=2py,得y=x2,所以y=x,所以切线PM的斜率为x1,PM的方程为y-y1=x1(x-x1),即x1x=p(y1+y).同理,PN的方程为x2x=p(y2+y).联立消去x,得y=-,故点P的纵坐标为定值,所以点P在定直线y=-,即抛物线的准线上.(12分)把yP=-代入x1x=p(y1+y),得xP=pk,所以P,又因为F,所以kPF=-.于是PFMN,亦即PFM=90,所以以PM为直径的圆过定点F.(15分)C组20162018年模拟方法题组方法1抛物线的定义和标准方程的解题策略 1.(2017浙江名校协作体期初,9)双曲线C:-y2=1的渐近线方程是;若抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合,则p=.答案y=x;42.(2016浙江嘉兴第一中学能力测试,20)已知抛物线x2=2py(p0)与直线3x-2y+1=0交于A,B两点,|AB|=,点M在抛物线上,MAMB.(1)求p的值;(2)求点M的坐标.解析(1)将y=x+代入x2=2py,得x2-3px-p=0,由|AB|=及p0得p=.(2)由(1)得A(1,2),B,抛物线方程为y=2x2.设点M(x0,y0),由MAMB得=0,即(x0-1)+(y0-2)=0,将