课标通用2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.7函数的图象学案理

1、2.7函数的图象考纲展示1.理解点的坐标与函数图象的关系2会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象3会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题考点1作函数的图象1.描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)(3)描点，连线2图象变换(1)平移变换：yf(x)的图象y_的图象；yf(x)的图象y_的图象(2)对称变换：yf(x)的图象y_的图象；yf(x)的图象y_的图象；yf(x)的图象y_的

2、图象；yax(a0且a1)的图象ylogax(a0且a1)的图象(3)伸缩变换：yf(x)的图象y_的图象；yf(x)的图象y_的图象(4)翻转变换：yf(x)的图象y_的图象；yf(x)的图象y_的图象答案：(1)f(xa)f(x)b(2)f(x)f(x)f(x)(3)f(ax)af(x)(4)|f(x)|f(|x|)(1)教材习题改编对于函数f(x)有下列三个说法：图象是一个点和一条直线(去掉点(0,0)；图象是两条直线；图象是一个点和两条射线其中正确的说法是_(填序号)答案：解析：当x0时，图象是一条直线去掉点(0,0)，当x0时，图象是一个点(2)教材习题改编为了得到函数ylog3(x

3、3)2的图象，只需把函数ylog3x的图象上所有的点向_平移_个单位长度，再向_平移_个单位长度答案：左3下2图象变换中的误区：平移的方向；平移的大小(1)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数_的图象答案：yf(x1)解析：将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数yf(x1)f(x1)的图象(注意平移方向)(2)把函数yf(2x)的图象向右平移_个单位长度得到函数yf(2x3)的图象答案：解析：本题易理解为向右平移3个单位长度，事实上把函数yf(2x)的图象向右平移3个单位长度后得到的是函数yf(2(x3)f(2x6)的图象.典题1分别画出下列函数的图象：(1)y|lg

4、(x1)|；(2)y2x11；(3)yx2|x|2；(4)y；(5)y10|lg x|.解(1)首先作出ylg x的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到ylg(x1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y|lg(x1)|.如图所示(实线部分) (2)y2x11的图象可由y2x的图象向左平移1个单位，得y2x1的图象，再向下平移一个单位得到，如图所示(3)yx2|x|2其图象如图所示 (4)y2.可由函数y向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图所示(5)y10|lg x|如图所示点石成金函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达

5、式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响考点2识图与辨图考情聚焦高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中主要有以下几个命题角度：角度一借助实际问题情境探究函数图象典题22017云南昆明模拟如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行

6、走时间x的函数yf(x)的图象若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是()A BC D答案D解析由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小点石成金解决此类问题的关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域角度二借助动点探究函数图象典题32015新课标全国卷如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()A BC D答案B解析排除法排除错误选项当x时，f(x)ta

7、n x，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x时，ff1，f2. 21， fff，从而排除D，故选B.点石成金解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而作出选择角度三同一坐标系下辨析不同函数的图象典题4(1)在同一坐标系中画出函数ylogax，yax，yxa的图象，可能正确的是()ABCD答案D解析当a1时，A中的直线位置错误，排除A，D中的三个函数图象都正确；当0a0时，f(x)0，故函数f(x)x3ax2cx在(0，)上单调递增，但图象中函数f(x)在(0，)上不具有单调性，排除C.故选B.点石成

8、金解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查角度四函数图象与解析式对应关系的识别典题5(1)2017湖南师大附中月考函数f(x)cos x的图象的大致形状是()ABCD答案D解析因为f(x)f(x)，所以函数yf(x)是奇函数，且当x时，f(x)0，故选D.(2)2017山东潍坊模拟已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)2f(x)当x0,2时，f(x)则函数yf(x)在2,4上的大致图象是() A B C D答案A解析当2x3时，0x21，又f(x2)2f(x)，所以f(x)2f(x2)2x4，当3x4时，1x22，又f(x2

9、)2f(x)，所以f(x)2f(x2)2(x2)24(x2)2x212x16，所以f(x)故选A.点石成金此类问题往往从以下几方面判断：(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项角度五考查图象变换问题典题6已知定义在区间0,4上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(1x)的图象为()ABCD答案D解析解法一：把函数yf(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到yf(x1)的图象，再把所得的图

10、象关于原点对称，即可得到yf(1x)的图象，故选D.解法二：取函数yf(x)的图象上的点(2,4)，则有f(2)4，因为f1(1)f(2)4，所以函数yf(1x)的图象过点(1，4)，排除A，B，C，故选D.解法三：把函数yf(x)的图象关于原点对称，得到yf(x)的图象，再把所得的图象上的所有的点向右平移1个单位长度，可得到yf(x1)f(1x)的图象点石成金本例中，已知函数yf(x)的图象，求变换后的函数yf(1x)的图象的易错点有两处：一是先作平移变换后作对称变换时，误以为函数yf(x)的图象上的所有的点向右平移1个单位长度，得到yf(x1)图象，误选C；二是先作对称变换后作平移变换时，

11、把函数yf(x)的图象关于原点对称，误选C.要避免此类错误，应熟练掌握图象的变换规律考点3函数图象的应用函数图象对称问题的误区：图象的自对称与互对称(1)函数ylog2(x21)的图象关于_对称答案：y轴解析：函数的定义域关于原点对称，且易知是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称这是图象的自对称问题，自对称函数的图象的对称轴一定垂直于x轴(2)函数yln x与yln x的图象关于_对称答案：x轴解析：函数yln x与yln x的图象关于x轴对称，这里涉及两个函数，是图象的互对称问题一般地，yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称，yf(x)与yf(x)的图象关于x轴对称考情聚焦函数图象的应用也是

12、高考命题的一个热点，题型多为选择题和填空题主要有以下几个命题角度：角度一利用图象研究函数的性质典题7已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)答案C解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值，得f(x)画出函数f(x)的图象，如图所示观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减点石成金利用函数图象可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质角度二利用图象研究方程的根或不等式求解

13、问题典题8(1)已知函数y的图象与函数ykx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_答案(0,1)(1,2)解析将函数y化成分段函数，并作出其图象如图所示利用图象可得，实数k的取值范围为(0,1)(1,2)(2)设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_答案1，)解析如图，要使f(x)g(x)恒成立，则a1，a1.(3)已知f(x)则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是_答案5解析方程2f2(x)3f(x)10的解为f(x)或1.作出yf(x)的图象，由图象知零点的个数为5.点石成金函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研

14、究函数性质：根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值从图象的对称性，分析函数的奇偶性从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.方法技巧1.识辨函数图象的方法(1)知式选图从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位

15、置从函数的单调性，判断图象的变化趋势从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的周期性，判断图象的循环往复(2)知图选式从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域从图象的变化趋势，观察函数的单调性从图象的对称性，观察函数的奇偶性从图象的循环往复，观察函数的周期性2常见结论(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0对称(2)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于坐标原点对称(3)如果函数yf(x)对于一切xR，都有f(ax)f(ax)，那么yf(x)的图象关于直线xa对称(4)如果函数yf(x)对于一切xR，都有f(ax)f(ax)0，那么yf(x)的图象关于点(a,0)对称易错防

16、范1.图象左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换2图象上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上加下减”进行操作但平时我们是对yf(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”3要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别 真题演练集训 12016新课标全国卷函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()A BC D答案：D解析：当x0时，令函数f(x)2x2ex，则f(x)4xex，易知f(x)在0，ln 4)上单调递增，在ln 4,2上单调递减，又f(0)10，f(1)4e0，

17、f(2)8e20，所以存在x0是函数f(x)的极小值点，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为D.22016新课标全国卷已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)()A0BmC2mD4m答案：B解析：因为f(x)f(x)2，y1，所以函数yf(x)与y的图象都关于点(0,1)对称，所以i0，i2m，故选B.32015安徽卷函数f(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0，b0，c0，

18、c0， b0.令f(x)0，得x，结合图象知0， a0，a1)的图象关于y轴对称，函数ylogax与ylogx(a0，a1)的图象关于x轴对称，原因是yxax，ylogxlogax.推广到一般，可以得到：函数f(x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称，函数f(x)的图象与函数f(x)的图象关于x轴对称2平移变换(1)左右平移变换一般地，函数图象左右平移变换时，当h0时，将函数f(x)的图象向右平移h个单位长度后，得到函数f(xh)的图象；向左平移h个单位长度后，得到函数f(xh)的图象(2)上下平移变换一般地，函数图象上下平移变换时，当h0时，将函数f(x)的图象向上平移h个单位长度后，得到函数f(x)h的图象；向下平移h个单位长度后，得到函数f(x)h的图象3翻折变换(1)画函数f(|x|)的图象时，先画出函数f(|x|)在y轴右侧的图象，再将此部分图象关于y轴翻折，即得函数f(|x|)在y轴左侧的图象(2)画函数|f(x)|的图象时，先画出函数f(x)的图象，再将x轴下方的图象关于x轴翻折，即得函数|f(x)|的图象典例1为了得到函数ylg 的图象，只需