轴向拉伸和压缩习题集及讲解

1、第二章 轴向拉伸和压缩第一节 轴向拉压杆的内力1.1 工程实际中的轴向受拉杆和轴向受压杆在工程实际中，经常有承受轴向拉伸荷载或轴向压缩荷载的等直杆。例如图2-1a所示桁架的竖杆、斜杆和上、下弦杆，图2-1b所示起重机构架的各杆及起吊重物的钢索，图2-1c所示的钢筋混凝土电杆上支承架空电缆的横担结构，BC、AB杆，此外，千斤顶的螺杆，连接气缸的螺栓及活塞连杆等都是轴间拉压杆。1.2 轴向拉压杆的内力轴力和轴力图为设计轴向拉压杆，需首先研究杆件的内力，为了显示杆中存在的内力和计算其大小，我们采用在上章中介绍过的截面法。（如图2-2a）所示等直杆，假想地用一截面m-m将杆分割为I和II两部分。取其中

2、的任一部分（例如I）为脱离体，并将另一部分（例如II）对脱离体部分的作用，用在截开面上的内力的合力N来代替（图2-2b），则可由静力学平衡条件：求得内力同样，若以部分II为脱离体（图2-2c），也可求得代表部分I对部分II作用的内力为NP，它与代表部分II对部分I的作用的内力等值而反向，因内力N的作用线通过截面形心 即沿杆轴线作用，故称为轴力。轴力量纲为力，在国际单位制中常用的单位是N（牛）或kN（千牛）。为区别拉伸和压缩，并使同一截面内力符号一致，我们规定：轴力的指向离开截面时为正号轴力；指向朝向截面时为负号轴力。即拉力符号为正，压力符号为负。据此规定，图2-2所示m-m截面的轴力无论取左脱

3、离体还是右脱离体，其符号均为正。1.3 轴力图当杆受多个轴向外力作用时，杆不同截面上的轴力各不相同。为了形象表示轴力沿杆轴线的变化情况，以便于对杆进行强度计算，需要作出轴力图，通常用平行于杆轴线的坐标表示截面位置，用垂直杆轴线的坐标表示截面上轴力大小，从而给出表示轴力沿截面位置关系的图例，即为轴力图。下面用例题说明轴力的计算与轴力图的作法。例题2-1：变截面杆受力情况如图2-3所示，试求杆各段轴力并作轴力图。解：（1）先求支反力固定端只有水平反力，设为XA，由整个杆平衡条件，XA+53+20，XA5+234kN（2）求杆各段轴力力作用点为分段的交界点，该题应分成AB、BD和DE三段。在AB段内

4、用任一横截面1-1将杆截开后，研究左段杆的平衡。在截面上假设轴力N1为拉力（如图2-3(b)）。由平衡条件得N1XA0，N14kN。结果为正，说明原假设拉力是正确的。在BC及CD段，横截面积虽有改变，但平衡方程式与截面大小无关，故只取一段。如在BD段用任一截面2-2将杆截开，研究左段杆的平衡。在截面上轴力N2仍设为拉力（如图2-3（c）。由平衡条件，N2+540，N21kN。结果为负，说明实际方向与原假设的N2方向相反，即为压力。同理在DE段，用任一截面3-3将杆截开，研究右段杆的平衡，因为该杆段的外力较少，计算简例，假设轴力N3为拉力（如图2-3（d），由，得N32kN。（3）作轴力图取一直

5、角坐标系，以与杆轴平行的坐标轴x表示截面位置，对齐原题图下方画出坐标轴。然后，选定比例尺，纵坐标N表示各段轴力大小。根据各截面轴力的大小和正负号画出杆轴力图，如图2-3（e）。由轴力图可看出，最大轴力Nmax4kN，发生在AB段内。例题2-2：图2-4a表示一等直木柱，若此柱在横截面A和B的中心受有轴向荷载P1P2100kN，如图中所示，试求柱中的轴力并作出轴力图。解：（1）用截面法确定各杆段（通常是以轴向荷载作用处为界）的轴力数值假设在AB段内的任一横截面1-1处将杆截开，取上段为脱离体，并用轴力N1（一般是先假设它为拉力，即其指向离开所作用的截面）代替下段对上段的作用。根据上段杆（图2-4

6、b）的平衡方程 N1+P10可得 N1P1100kN算得的结果带有负号，表示轴力N1的实际指向应与假设的指向相反，即N1实际上是压力。因在AB段无其它外荷载作用，故在此段内所有各截面上的轴力都相等，即都为N1100kN。同样，假设在BC段内用一横截面2-2将杆截开，并用轴力N2代替下段的作用，根据上段杆（图2-4c）的平衡方程，N2+P1+P20可得N2P1P2100100200kN算得结果为负，表示轴力N2实际上是压力，同样，在BC段内所有各截面上的轴力都是N2200kN（2）作轴力图取直角坐标系，以与杆轴线平行的坐标为x轴，表示截面位置，与杆轴线垂直的坐标轴为N轴，表示横截面上轴力的大小。

7、根据各横截面上轴力的大小和正负号（拉力为正，压力为负）画出杆的轴力图，如图2-4d所示。注意轴力图上要标明正负号，以及数字大小和单位。由作出轴力图可容易看到，在木柱中的最大轴力Nmax200kN（压力），发生在BC段内的各截面上。而且在B截面处发生了由100kN到200kN的突变。这是因为B截面上作用有集中力P2100kN，故B截面上、下两侧轴力就不同了。第二节 轴向拉压杆的应力在工程设计中，已知截面上轴力还不能判断杆件在外力作用下是否会因强度不足而破坏，例如两根材料相同而粗细不同的拉杆，在相同拉力P作用下，两杆截面上轴力NP，都相同，但当P增大时，细杆可能被拉断而粗杆却不会同时断裂。这是因为

8、杆横截面上的内力的分布集度不同即应力不同。细杆的横截面积小，故应力比粗杆的应力大，因而细杆先破坏。2.1 横截面上的应力已知杆横截面上内力的大小和指向以后，还必须知道内力在杆横截面上的分布规律才能求得横截面上的应力。为了找出内力在杆横截面上的分布规律，常用的方法是先根据由实验中观察到的变形现象，作出关于变形分布规律的假设，然后据以推导出应力的计算公式。下面，我们就用这种方法来建立轴向受拉（压）杆横截面上正应力的计算公式。为了观察轴向受拉杆的变形现象，取如图2-5a所示的等直杆。在未加力以前，先在杆的表面上描画出一些表示杆横截面的周边线ab、cd等，以及平行于杆轴线的纵向直线ef、gh等。加轴向

9、拉力P后，杆发生变形，在杆的表面上可观察到如下的现象：（1）周边线ab、cd等分别移到了、等位置，但仍保持为直线，且仍互相平行及垂直于杆轴线。（2）纵向直线ef、gh等分别移到了、等位置，但仍保持与杆轴线平行。根据以上表面变形现象，为推求横截面内部变形可能性，可作出一重要假设，即：杆在变形以前的横截面，在变形以后仍保持为平面且仍与杆轴线垂直。通常把这个假定叫做平面假设。根据平面假设，可把杆看作是由许多纵向“纤维”所组成，当杆受拉时，所有的纵向纤维都均匀地伸长，即在杆横截面上各点处的变形都相同。因内力是伴随着变形一同产生的，故在杆横截面上的内力也一定是均匀分布的。由此可知，在杆横截面上各点处有相

10、同的内力分布集度或相同的正应力（图2-5b、c）。已知正应力在杆横截面上的均匀分布规律以后，即不难由横截面上的内力N确定正应力的数值。由图2-5b可见，作用在微面积dA上的微内力是dN=dA通过积分可求得作用在杆横截面上的内力因在横截面上各点处的正应力相等，即为常量，故上式又可改写为从而有（2-2-1a）这就是轴向受拉杆横截面上正应力的计算公式。显然，在这里NP，故上式也可写为（2-2-1b）在上章中已指出，应力的量纲是，在国际单位制中常用的单位是Pa，在工程单位制中常用的单位是kg/cm2和t/m2。对于轴向受压杆，式（2-2-1）同样适用。为了区别拉伸和压缩，我们对正应力所作的正负号规定是

11、：正应力的指向离开所作用的截面时为正号的正应力，也称为拉应力；指向朝向所作用的截面时为负号的正应力，也称为压应力。例题2-3：若例题2-2中等直木柱的横截面为边长为200mm的正方形，试求在杆上、下两段横截面上的应力。解：柱的横截面积A0.20.20.04m24102m2，在例题2-2中已求得柱的AB、BC两段中的轴力分别为N1100kN1105N，N2200kN2105N，代入公式，可得在AB段内任一横截面上的应力在BC段内任一横截面上的应力例题2-4：图2-6表示用两根钢丝绳起吊一扇平板闸门。若每根钢丝绳上所受的力为20kN，钢丝绳圆截面的直径d20mm，试求钢丝绳横截面上的应力。解：钢丝

12、绳的轴力NP20kN2104N钢丝绳的横截面积，由公式可求得钢丝绳横截面上的应力为2.2 斜截面上的应力为了全面了解轴向受拉（压）杆中各处的应力情况，在研究了其横截面上的应力以后，还有必要进一步研究其斜截面上的应力。图2-7表示一轴向受拉杆，假设用一与其横截面mk成角的斜截面mn（简称为截面）将其分成为I、II两部分，并取部分I为脱离体（图2-7c），由静力学平衡方程，可求得截面上的内力在截面上的应力为，其指向与杆轴线平行。由上节已知，杆的所有纵向“纤维”具有相同的纵向伸长，故应力在整个截面上也是均匀分布的（图2-7c）。内力即截面上应力的合力。若以与A分别表示截面mn与横截面mk的面积，则由

13、图2-7可知将式（a）、（c）代入式（b），即可求得截面上的应力为（2-2-2）式中的为横截面mk上的正应力（图2-7b）。为了研究方便，通常将分解为两个分量，即沿截面法线方向（或垂直于截面）的分量与沿截面切线方向（或平行于截面）的分量。前者是正应力，在图2-7d中，为拉应力，它趋向于使杆在它作用的截面处被拉断；后者是剪应力，它趋向于使杆在它作用的截面处被剪断。由图2-7d可知将式（2-2）代入，则（2-2-3）同样由图2-7d可知（2-2-4）式（2-2-3）、（2-2-4）表达出轴向受拉杆斜截面上一点处的和的数值随斜截面位置（以角表示）而变化的规律。同样它们也适用于轴向受压杆。关于角度和应

14、力、的正负号规定如下：角以自横截面的外向法线量起，到所求斜截面的外向法线为止，是反时针转时为正，是顺时针转时为负；正应仍以拉应力为正，压应力为负；剪应力以它对所研究的脱离体内任一点（例如C）的力矩的转向是顺时针转时为正，是反对时针转时为负（参看图2-8）。例题2-5 有一受轴向拉力P100kN的拉杆（图2-9a），其横截面面积A1000mm2。试分别计算0、90及45各截面上的和的数值。解：（a）0的截面即杆的横截面（如图2-9中的截面1-1）。由式（2-3）和（2-4）可分别算得：（b）90的截面为与杆轴线平行的纵截面（如图2-9a中的截面2-2），同样可算得：（c）45时，同样可算得：将上

15、面算得的正应力和剪应力分别表示在它们所作用的截面上，如图2-9b、c、d所示。分析例题2-5的答案，可得出如下结论，即：在轴向受拉（压）杆的横截面上，只有正应力；在与杆轴线平行的纵截面上，既不存在正应力，也不存在剪应力；在所有的斜截面上，即有正应力，又有剪应力；当在090之间变动时，最大正应力产生在0的横截面上且等于，即，而最大剪应力产生在45的斜截面上，其数值等于最大正应力的一半，即。由此可见，根据其材料抗拉能力和抗剪能力的强弱，轴向受拉（压）杆在轴力较大时，可能沿横截面发生拉断破坏，也可能沿45斜截面发生剪断破坏。第三节 轴向拉压杆的变形 胡克定律3.1 轴向受拉（压）杆的变形轴向受拉杆的

16、变形主要是轴向伸长。除此以外，杆的横向尺寸也有所缩小（见图2-5a）。至于轴向受压杆，其主要变形为轴向缩短，同时其横向尺寸也有所增大。下面先以轴向受拉杆的变形情况为例，介绍一些有关的基本概念。设有一原长为l的等直杆，受到一对轴向拉力P作用后，其长度增大为l1，如图2-10所示，则杆的轴向伸长为 (a)它给出杆的总伸长量为进一步了解杆的变形程度，在杆各部分都为均匀伸长的情况下，可求出每单位长度杆的轴向伸长，即轴向线应变为 （2-3-1）从式（a）知为正值，故轴向受拉杆的亦为正值。下面再研究轴向受拉杆的横向变形，设杆的原有横向尺寸为d，受力变形后缩小为d1（图2-10），故其横向缩小为 （b）而与

17、其相应的横向线应变为 （c）从式（b）可知，受拉杆的为负值，故亦为负值，它与轴向线应变有相反的正负号。上面介绍的这些基本概念同样适用于轴向受压杆，但受压杆的纵向线应变为负值，而横向线应变则为正值。3.2 胡克定律由工程中常用材料（例如低碳钢、合金钢等）所制成的轴向受拉（压）杆，已经过一系列的实践证明：当杆所受的外力不超过某一限度时，杆的伸长（缩短）与杆所受的外力P、杆的原长l以及杆的横截面面积A之间有如下的比例关系引进比例常数E，则有 （2-3-2a）由于PN，此式又可改写为 （2-3-2b）式（2-3-2a、b）所表达的关系，是英国科学家胡克在一六七八年首先发现的，故称为胡克定律。式中的比例

18、常数E称为弹性模量，它表示材料在拉伸（压缩）时抵抗弹性变形的能力，其量纲为，在国际单位制中的常用单位是Pa。E的数值随材料而异，是通过试验测定的。将杆的外力P或轴力N代入式（2-3-2）即可计算出杆的伸长（缩短）。式（2-3-2）中的EA称为杆的抗拉（压）刚度，显然对于长度l相等、轴力N相同的受拉（压）杆，其抗拉（压）刚度EA越大，则所发生的伸长（缩短）变形越小。有时我们还把式（2-3-2）简写为，其中的称为杆的相对刚度或刚度系数，它表示杆在单位荷载（即P1）作用下的伸长（或缩短）变形。若将式（2-3-2）改写为，并以轴向应力及轴向线应变代入，则可得出胡定律的另一表达式为 （2-3-3）故胡克

19、定律也可简述为：当杆内应力不超过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比的最高限应力）时，应力与应变成正比。3.3 横向变形系数实验结果还表明，当受拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变与轴向线应变之比的绝对值为一常数，即 （d）通常把称为横向变形系数或泊松（S.D.Poisson）比。显然，是一无量纲的量，其数值也随材料而异，需要通过试验测定。考虑到与的正负号恒相反，故有 （2-3-4）弹性模量E和泊松比都是表示材料弹性性质的常数。在表2-1中给出了一些常用材料的E和的约值。例题2-6：用低碳钢试件作拉伸试验。当拉力达到20kN时，试件中间部分A、B两点间距离由50mm变为50.

20、01mm（图2-11）。试求该试件的相对伸长、在试件中产生的最大正应力和最大剪应力。已知低碳钢的E2.1105MPa。解：在拉力P20kN时，试件上A、B两点间一段的绝对伸长为50.1500.01mm相对伸长为轴向拉伸时，最大正应力发生在试件的横截面上，将E和代入公式可得轴向拉伸时，最大剪应力发生在试件中45的斜截面上，其值等于最大正应力的一半，即表2-1 弹性模量与横向变形系数的约值材料名称牌号E（GPa）低碳钢Q2352002100.240.28中碳钢35，45号2052090.260.30低合金钢16Mn2000.250.30合金热强钢40CrNiMoA2100.280.32合金预应力钢

21、筋45MnSiV2200.230.25灰口铸铁601620.230.27球墨铸铁1501800.240.27铝合金LY12720.33铜合金1001100.310.36硬质合金3800.250.28混凝土C30C4518380.160.20木材（顺纹）912木材（横纹）0.51.0岩石石灰岩类690.160.22砖瓦红、青砖瓦2.73.50.140.21橡胶工业P型橡胶板0.0080.470.50GPa代表吉帕，G为109，即1GPa109Pa例题2-7 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱，由下下I、II两段组成。其各段的长度、横截面尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹性模量E0.0310

22、5MPa，外力P50kN。试求砖柱顶面的位移。解：假设砖柱的基础没有沉陷，则砖柱顶面A下降的位移等于全柱的缩短。由于柱上、下两段的截面尺寸和轴力都不相等，故应用公式（2-3-2）分段计算，即例题2-8 在图2-3所示的结构中，杆AB为钢杆，横截面为圆形，其直径d34mm；杆BC为木杆，横截面为正方形，其边长a170mm。二杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E12.1105MPa，木材顺纹的弹性模量E20.1105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P40kN时，点B的水平位移及铅直位移。解：（1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表示AB及BC二杆的内力（图2-3b）。运用平衡方程，由，可得（拉

23、力）由，可得N2N1cos3069.3kN（压力）（2）根据式（2-3-2）求各杆的变形（3）由变形的几何条件求点B的位移：根据结构的实际组成情况，AB、BC二杆在变形后仍应连接在一起，若杆AB在变形后使点B移到点B1，杆BC变形后使点B移到点B2，则在二杆变形后仍能保持在点B连接的几何条件应是：先以点A为圆心，AB1为半径画一圆弧，再以点C为圆心、CB2为半径画一圆弧，这两圆弧的交点即为点B位移后的位置。由于杆的变形都很小，根据小变形假定，可近似地用垂直线来代替圆弧，即可自点B1作AB1的垂直线，自点B2作CB2的垂直线，并认为它们的交点B3即为点B位移后的位置。将表示此变形几何关系的图形放

24、大如图2-13c所示，就容易看到水平位移为0.24mm铅直位移为第四节 材料在拉伸和压缩时的力学性质4.1 概述我们研究了轴向拉（压）杆中的内力、应力、变形，知道杆截面上任一点的应力与截面上的内力大小和截面尺寸大小都有关系，且杆中产生的最大工作应力必须有个限度，否则杆就会发生破坏。不同的材料有着不同的应力限度，这就需要研究各种材料本身固有的力学性质（或机械性质）。材料的力学性质不但是为构件进行强度计算、刚度计算或选择恰当材料的重要依据，也是指导研制新材料和制定加工工艺技术指标的重要依据。在工程实际中，通常是采用试验的方法来研究材料的力学性质。在各种工程建设中，常用的建筑材料有金属（主要是钢铁）

25、、木材和圬工材料（主要是砖、石和混凝土）等。这些材料用于工程中后，由于结构物所处的环境可能是常温、高温或低温下；它们所承受的荷载可能是静荷载、动荷载或交变荷载等等；它们所产生的变形可能是拉伸、压缩、剪切、扭转和弯曲等简单变形，也可能是兼有几种简单变形的组合变形。因此必须根据各种不同的情况分别进行试验，才能确定各种材料在不同情况下的力学性质。在此，我们只着重介绍材料在常温、静荷载条件下承受拉伸或压缩时的试验，但将对材料从开始受力到最后破坏的整个过程中所表现的力学性质，作比较详细的叙述。为了进行材料的力学试验，至少要用到二类试验设备。第一类是在试件上加力的试验机，例如拉力试验机、压力试验机、扭转试

26、验机和可作拉伸、压缩、剪切、弯曲等试验的万能试验机。试验机所能施加的力可从几十牛顿到几兆牛顿甚至几百兆牛顿。第二类是量测试件变形的仪器。一般试验时用的有杠杆式引伸仪、镜式引伸仪、千分表等，其量测的准确度可达毫米以上；进行精密测量的有电阻应变仪，其量测的准确度可达以上。材料力学试验机、量测仪器等的构造原理和使用方法，可参看专门介绍材料力学试验的书籍。许多材料在拉伸试验时，能较充分地显示出它们的力学性质，故拉伸试验是一种被广泛采用的基本试验。通常采用两类典型材料，以低碳钢为代表的塑性材料和以铸铁为代表的脆性材料。4.2 钢材的拉伸试验根据国家颁布的测试规范，在做拉伸试验时，应将材料做成标准试件，使

27、其几何形状和受力条件都能符合轴向拉伸的要求。图2-14表示一般金属材料试件的形式。在试验以前，要在试件中部的等截面直杆部分用与试件轴线垂直的二细线（或圆环线）标出一工作段，并称其长度为标距l。为便于比较不同精细试件的工作段在拉断后的变形程度，通常将圆截面标准试件的标距l与横截面直径d的比例规定为l10d或l5d将矩形截面标准试件的标距l与横截面面积A的比例规定为 或 做轴向拉伸试验时，首先应将试件两端牢牢地夹在试验机的上、下夹头中（图2-15），然后再开动试验机给试件施加拉力，使其发生伸长变形，直至最后拉断。在试验过程中，拉力P的大小可由试验机上示力盘的指针指示出来，而试件标距l的总伸长的大小

28、则可用变形仪表量测出来。根据观测到的这些试验数据，即可绘出整个试验过程中试件工作段的伸长与所受轴向拉力P之间的关系曲线。习惯上把这种曲线图称为试件的拉伸图。图2-16表示的即为低碳钢试件的拉伸图。试件在拉伸过程的每一阶段中的伸长变形情况如图中I、II、III、IV所示。 由于拉伸图与试件尺寸有关，为消除尺寸对材料本身的力学性质的影响，需对拉伸图进行整理，通常是将试件拉伸图中的拉力P除以试件的原有截面面积A求得试件中的正应力，将伸长除以标距l求得试件的轴向线应变；然后根据求得的值和值画出材料的应力应变曲线（曲线）。图2-17所示为低碳钢的应力应变曲线。但应指出，应力应变曲线的纵坐标实质上是名义应

29、力。因过了屈服阶段以后，试件的横截面面积即有较显著的缩小，此时，仍用原面积A除荷载而求得的应力已不能代表试件横截面上的真正应力。同样，该曲线的横坐标实质上也是名义应变。因过了屈服阶段以后，试件的长度即较显著地增加，而在计算试件的真正应变时，应考虑每一瞬时试件的长度，故用原长l求得的应变并不能代表试件的真正应变。从低碳钢的应力应变曲线可以看到，在整个拉伸试验过程中，与拉伸图中所示的I、II、III、IV四个阶段相对应，应力与应变之间的关系也大致可分为如下的四个阶段：（1）弹性阶段，即OB直线段。当应力未超过点B所示的数值以前，若将所加的荷载去掉，试件的变形可全部消失，使试件完全恢复到原有的形状和

30、大小。如前所述，我们称材料的这种性质为弹性，将能随着外力去掉而消失的变形叫做弹性变形，故这一阶段称为弹性阶段。由图中还可看到OA段为一直线，这表示应力与应变成正比关系（即线性关系）。超过点A以后，这种正比关系即不存在了，故我们将相应于点A的应力叫做材料的比例极限，并用符号表示，而将相应于弹性阶段最高点B的应力叫做材料的弹性极限，并用符号表示。材料的弹性变形一般很小，比例极限和弹性极限的数值也非常接近，故有时也将它们混同起来统称为弹性极限。在工程实用中一般并不需要测定材料的这两个极限应力。（2）屈服阶段。当荷载继续增加，使应力接近点C所示的应力值时，应变的增长将比应力的增长要快一些，且在过点C以

31、后一直到点D时，几乎应力保持不变而应变却继续不断地迅速增加，这种现象称为材料的屈服（或流动）。这时，在试件表面上将会出现大约与试件的轴线成45方向的条纹（图2-16），它们是因试件显著变形时在材料的微小晶粒之间发生了相互滑移所引起的，通常称为滑移线（或剪切线）。我们把与点C相对应的应力叫做材料的屈服极限（或流动极限），并用符号表示，故这一阶段称为屈服阶段（或流动阶段）。材料在屈服阶段内所产生的变形是塑性变形，在外力去掉后不能消失。材料能产生塑性变形的这种特性称为塑性。试验证明，低碳钢在屈服阶段内所产生的应变可达到比例极限所有应变的1015倍。考虑到低强度钢材在屈服时会发生较大的塑性变形，使构件

32、不能正常地工作，故在进行构件设计时，一般应将构件的最大工作应力限制在屈服极限以内。是衡量钢材强度的一个重要指标。（3）强化阶段。经过屈服阶段以后，钢材因塑性变形使其内部的晶体结构得到了调整，抵抗能力有所增强，故如图2-17中DE段曲线所示，应力又逐渐升高，这个阶段称为强化阶段。与曲线最高点E相对应的应力是材料在被拉断前所能承受的最大应力，叫做材料的强度极限（或极限强度），用符号表示，它也是衡量材料强度的一个重要指标。（4）颈缩阶段。当应力超过强度极限以后，试件的变形开始集中在某一小段内，使此小段的横截面面积显著地缩小，出现如图2-16c所示的颈缩现象。由于这时试件的横截面面积缩小得非常迅速，使

33、施加于试件的拉力不但加不上去，反而会自动地降下来一些，一直到试件被拉断，如图2-17中EF段曲线所示。这一阶段称为颈缩阶段（或局部变形阶段）。试件断裂后，其弹性变形就消失了（与这种弹性变形相应的弹性应变如图2-17中的线段HG所示），只剩下塑性变形（与这种塑性变形相应的塑性应变如图2-17中线段OH所示）。在图2-17中的直线HF与OA接近平行。显然，根据低碳钢的应力应变曲线可确定低碳钢的一些主要力学性质，例如：屈服极限、强度极限是衡量其强度的两个重要指标，而塑性应变是恒量其塑性的一个重要指标。作为衡量材料塑性的重要指标，其值常用百分数表示，称为伸长率（或延伸率），并用符号表示，即 （2-4-

34、1）式中的l1是试件断裂后标矩段的总长度（试验完后需测出的），是试件断裂后标矩段的总伸长。在工程实际中，通常将发生显著塑性变形（）以后才断裂的材料称为塑性材料，而将在没有发生显著变形以前（5）即断裂的材料称为脆性材料。例如低碳钢，其约为2030（参看表4-1），就是一种典型的塑性材料。衡量材料塑性的另一指标，称为面积收缩率，即 （2-4-2）式中的A1是试件断裂后在断口处的横截面面积。由应力应变曲线中直线段OA的斜率还可确定材料的弹性模量E，即 （2-4-3）另外，在拉伸图与应力应变图中曲线下的面积也都有一定的物理意义。拉伸图中曲线下的全部面积代表拉断试件所需消耗的总功，即 （2-4-4）应力

35、应变图中曲线下的面积代表拉断试件对每单位体积材料所必须消耗的功，称为比功，即 （2-4-5）它表征材料在断裂前吸收能量的能力，故材料的比功值愈大，则承受冲击荷载的能力愈好。例题2-9：用低碳钢圆截面试件（参看图2-14a）做拉伸试验。已知试件圆截面的直径d10mm，工作段的长度l100mm，当加拉力至P10kN时，量测得工作段的伸长，低碳钢的比例极限（实验平均数值）200MPa，试求此时钢试件横截面上的正应力，工作段的应变以及低碳钢的弹性模量E各为多少？解：首先算出钢试件的横截面面积将其代入式（2-2-1）求得试件横截面上的正应力再由式（2-3-1）算出试件工作段的应变6.07104因上而求得

36、的正应力小于低碳钢的比例极限，故可将、值代入表示胡克定律的公式（2-3-3）中，求得低碳钢的弹性模量例题2-10：若将横截面为346.5mm2狭长矩形的低碳钢试件（参看图2-14b）作拉伸试验。当拉力为2kN时，用电阻应变仪量测得试件的平均轴向应变为85106，平均横向应变为23.8106，试求低碳钢的横向变形系数。解：由式（2-8）可知将量测得的和代入，即可求得低碳钢的横向变形系数4.3 钢材的冷作硬化和钢筋的冷拉加工若对试件预先施加轴向拉力，使其进入强化阶段（如图2-18中的点K），随即卸载，则在卸载时的应力与应变之间，将保持直线关系如图中的KO所示，且KO与弹性阶段内的直线OA接近平行，

37、图中的OO表示钢材在卸载后所殊留下的塑性变形。若在卸载后又立即重新加载，则应力应变曲线将沿O/K上升，且在到达点K后转向原曲线KEF，最后到达点F。这表示，若使钢材先产生一定的塑性变形，则其比例极限屈服极限可得到提高（即由原来的点A、C所对应的、提高到点K所对应的），但其塑性变形将减少（即由原来的OH减少为）。通常把钢材的这种特性称为冷作硬化。在冷作硬化后，钢材的屈服极限和强度极限的数值并不稳定，例如在卸载后经过相当长的时间再加载，则钢材的应力应变曲线将沿发展，在到达新的屈服点以前，应力与应变仍成正比，这时屈服极限增加到与点对应的数值。钢材在冷作硬化后随时间增加强度的这种现象叫做时效。利用钢材

38、的冷作硬化特性，我们通过可在常温情况下将钢筋预先拉长一定数量的办法来提高钢筋的屈服极限。这种办法称为冷拉（或冷拔）。实践证明，按照规定的办法冷拉钢筋，一般可节约钢材1020。但钢筋经过冷拉以后，其强度虽有所提高，塑性却减少了，这对承受冲击和振动荷载是非常不利的。故在工程实际中，凡是承受冲击或振动荷载作用的结构部位，一般都不使用冷拉钢筋。另外，钢筋在冷拉后并不能提高它的抗压强度，故在工程结构的受压部位，一般也不使用冷拉钢筋。4.4 其他材料在拉伸时的力学性质对其它工程材料，也可通过应力应变曲线了解它们的力学性质。例如在图2-19中绘出了几种塑性材料在拉伸时的应力应变曲线。将图2-19中的曲线与图

39、2-17中的低碳钢应力应变曲线比较，可以看出：除16锰钢与低碳钢的应力应变曲线完全相似外，铝合金和塑料都没有明显的屈服阶段，但其弹性阶段、强化阶段、和颈缩阶段，仍比较明显；锰钒钢则只有弹性阶段和强化阶段，没有屈服阶段和颈缩阶段。对没有明显屈服阶段的工程材料，一般规定以产生0.2的残余变形时所对应的应力值作为条件屈服极限，并用符号表示。图2-20中表示了决定条件屈服极限的方法：即在轴上取的一点，过此点作与图上直线部分平行的直线，它交曲线于点C，点C的纵坐标即代表。从图2-19中还可看出，锰钒钢、16锰钢、-球墨铸铁、铝合金和塑料都与低碳钢有一共同的特点，即表示材料变形能力的伸长率都较大，都在10

40、以上，有的甚至超过了30。在图2-21中绘出了铸铁在拉伸时的应力应变曲线。可以看出，作为脆性材料典型代表的铸铁，在拉伸断裂以前所能发生的变形是很小的，仅为0.4左右。一般来说，脆性材料在受拉过程中没有屈服阶段，也不会发生颈缩现象。故通常是以其在断裂时的强度极限作为拉伸极限强度。从铸铁的应力应变图还可看出，即使应力很小时也无明显的直线段，但在一定的应力范围内（例如规定试件产生不超过0.1的相对变形时所需的应力值范围内），我们可近似地用割线OA（图49）代替原来的曲线，并认为在这一阶段中，材料的弹性模量是常数，可应用胡克定律。铸铁的弹性模量E为（0.61.62）105MPa，横向变形系数为0.23

41、0.27。4.5 材料在压缩时的力学性质（1）钢材的压缩试验钢材的压缩试件通常做成圆柱体，其高度为直径的1.52倍（图2-22）。试验时将试件放在试验机的二压座间，施加轴向压力。由试验绘出的压力P与缩短之间的关系曲线称为试件的压缩图。象拉伸试验那样，若使，也可将压缩图整理为钢材在压缩时的应力应变曲线。图2-23中的实线即为低碳钢在压缩时的应力应变曲线。为了比较低碳钢在拉伸时和压缩时的力学性质，在图2-23中还用虚线绘出了低碳钢在拉伸时的应力应变曲线。从这两条曲线可以看出：在屈服阶段以前，它们基本上是重合的，这说明低碳钢在压缩时的比例极限、屈服极限和弹性模量都与拉伸时相同。但在超过屈服极限以后，

42、因低碳钢试件被压成鼓形（图2-22），受压面积越来越大，不可能产生断裂，也无法测定材料的压缩强度极限。故一般说来，钢材的力学性质主要是用拉伸试验来确定。 （2）铸铁的压缩试验作为脆性材料典型代表的铸铁在受压时的应力应变曲线如图2-24a所示。试验证明，铸铁试件在压缩变形很小时即会突然破裂，故只能求得其强度极限。铸铁的抗压性能较好，它在受压时的强度极限比受拉时的要高45倍。由于破坏面间磨擦力的影响，铸铁试件破坏时，是沿与试件轴线大约成3935的斜面上发生剪断破坏（图2-24b），这表明铸铁的抗剪能力比其抗压能力差，故只适合于用作受压的构件。4.6 工程中常用材料的力学性质的比较在工程实际中，通常

43、是根据材料在破坏前变形的大小，将材料划分为塑性材料和脆性材料。例如低碳钢是一种典型的塑性材料，而铸铁是一种典型的脆性材料。在图2-25中以相同的比例尺绘出了低碳钢和铸铁的应力应变曲线，可更形象地表现出它们的区别。但对材料性质的进一步研究，发现即使是同一种材料，在不同外界因素（例如加载的速度，温度的高低、受力的状态等）的影响下，它既可表现为塑性性质，也可表现为脆性性质。例如：低碳钢经过淬火，可提高其硬度和增加脆性性质，铸铁在三向受压的情况下则会显示出发生较大变形后仍不破坏的塑性性质。故严格说来，材料的塑性性质和脆性性质并非绝对不变的，它们还会受到外界条件的影响。我们通常所习用的塑性材料和脆性材料

44、这两个名词，只是指在常温、静荷载下具有塑性性质或脆性性质的材料。为合理地使用材料，分清材料的塑性和脆性特点非常重要。下面我们再以低碳钢和铸铁为代表，对其力学性质的特点加以说明：（1）在拉伸时，塑性材料的强度极限远大于脆性材料的强度极限，故受拉构件一般应采用塑性材料。（2）脆性材料的抗压强度远大于其抗拉强度，故脆性材料适合于用在抗压的地方。（3）塑性材料在破坏以前的变形较大，其抵抗冲击的能力比脆性材料要大得多，故对承受冲击或振动的构件一般要用塑性材料。（4）试验证明，塑性材料或脆性材料对应力集中现象即在变截面处发生应力急骤增大的现象（参见第七节）的反映也是大不相同的。例如图2-26a所示具有小孔

45、的轴向受拉杆，若是用脆性材料制成，则当小孔边缘处的最大局部应力值达到材料的强度极限（即）时，虽在横截面上其它各处的应力还比较小（图2-26a），杆就会立即在小孔边缘处出现裂纹而破坏。但若这种杆是由塑性材料制成，则当小孔边缘处的最大局部应力达到屈服极限（即）后，即使继续增加荷截，由于塑性材料具有屈服的特性，在该处的应力暂时保持为不再升高，而变形则继续增加，这样就可将所增加的荷载，传递给相邻部分的材料去承担，并使其应力也达到屈服极限（图2-26b），直到在整个横截面上形成一等于屈服极限的平均应力区（图2-26c）时，杆的承载能力才算完全用尽。这种应力重分布的现象，实际上起着防止杆发生突然破坏的缓冲

46、作用，它不仅减少了应力集中的危害性，并可使杆横截面上各个部分材料的抗拉强度都得到比较充分的应用。表2-2 部分常用材料在拉伸和压缩时的主要力学性能指标（常温，静载下）材料名称牌号屈服极限（MPa）强度极限（MPa）伸长率（）拉伸压缩普通碳素钢Q23524038040025272123优质结构钢35号3155292016优质结构钢45号3535001614低合金钢16Mn28034047051019211618合金钢40CrNiMoA83098012灰口铸铁98390640100020铝合金LY1237045015聚碳酸脂玻璃钢含玻璃纤维3012016068环氧玻璃钢490混凝土C30C402.

47、63.83040松木（顺纹）9632.2注：代表L5d，代表L10d的标准试件的伸长率。4.7 材料强度的许用应力和安全系数通过材料的拉伸（压缩）试验，我们即可确定材料在位伸（压缩）下达到危险状态时应力的极限值（例如达到屈服极限时即会出现较大的塑性变形；达到强度极限时即会发生断裂破坏），这种应力的极限值称为材料的极限应力，并用符号表示。为保证构件能正常地工作和具有必要的安全储备，在设计时，必须使构件中的最大工作应力小于材料的许用应力。所谓许用应力是将极限应力除以安全系数而得到的，并用符号表示，即 （2-4-6）式中的K是安全系数，其数值恒大于1。如前所述，塑性材料通常是以屈服极限作为极限应力，

48、脆性材料通常是以强度极限作为极限应力，故上式又可分别写成：对塑性材料 （2-4-7）对脆性材料 （2-4-8）式中的Ks和Kb是相应于屈服极限和强度极限的安全系数。安全系数是表示构件所有安全储备大小的系数。正确地选择安全系数是个十分重要和比较复杂的问题。它不仅与许多技术上的因素有关，而且与整个国民经济有着密切的关系。显然，若安全系数选得过大，将造成工料的浪费；反之，若选得太小，则可能使结构或构件不能正常地工作甚至发生破坏性事故，使人民的生命和国家的财产受到重大损失。故在确定安全系数时，必须注意体现国基本建设方针和政策，慎重而全面地考虑到各方面的因素，例如荷载的性质，荷载数值的准确程度，计算方法

49、的准确程度，建筑物的使作性质、工作条件和重要性，施工方法和施工质量，地震影响和国防上的要求等等。通常，在静力荷载作用下，塑性材料的安全系数Ks，一般情况下可取为1.41.7，较好条件下可取为1.251.35，不利条件下则应取为1.52.5。对脆性材料，由于它们没有屈服极限，应力集中的影响较大，材料的均匀性也较差，其安全系数Kb一般取为2.53.0，有时可大到410。第五节 轴向受拉（压）压杆的强度计算5.1 受拉（压）杆的强度条件在工程实际中，由作用在轴向受拉（压）杆上的轴向荷载可求得杆内的最大轴力Nmax并为杆选择了横截面的形状和尺寸后，即可用式2-2-1计算出等直杆内的最大正应力通常把最大

50、轴力Nmax所在的截面称为危险截面，其上的正应力称为杆的最大工作应力。为了保证杆能正常地工作，不致破坏且有一定的安全储备，必须使其最大工作应力不超过材料在拉伸（压缩）时的许用应力，即 （2-5-1）这就是等截面受拉（压）杆的强度条件。式中的许用应力可由有关的设计规范和手册中查得。针对不同的具体情况，应用式（2-5-1），可解决三种不同类型的强度计算问题，即（1）校核杆的强度在已知杆的材料、尺寸（即已知和A）和所承受荷载（即已知内力Nmax）的情况下，可用式（2-5-1）检查和校核杆的强度是否能满足要求，即如有则表示杆的强度是足够的。否则即要加大杆的横截面面积A或减小其外荷载P。根据既要保证安全

51、又要节约材料的设计原则，在对杆进行强度校核时，还应注意一方面不使杆内的计算应力max小于许用应力太多，另一方面，在必要时也可容许计算应力max稍大于，但一般设计规范规定以不超过许用应力的5为限。（2）选择杆的截面在根据荷载算出了杆的内力和确定了所用的材料（即已知Nmax和）以后，根据强度条件即可求出所需的横截面面积A，此时式（2-5-1）应改写成为根据计算出来的A值选用截面的形状和尺寸时，也容许采用的A值稍小于其计算值，但仍应以计算应力不超过许用应力的5为限。（3）确定杆的容许荷载若已知杆的尺寸和材料（即已知A和），则可由式2-5-1确定容许杆所承受的最大轴力，并从而计算出容许它承担的最大荷载

52、。此时式（2-5-1）应改写为例题2-11 有一根由三号钢制成的拉杆。已知三号钢的许用应力170MPa，杆的横截面为直径d14mm的圆形。若杆受有轴向拉力P25kN，试校核此杆是否满足强度要求。解：已知：杆中的最大轴力NmaxP25kN杆的横截面机积三号钢的许用应力170MPa将它代入式（2-5-1）可得满足强度要求。例题2-12：如图2-27a所示的三角形托架，其杆AB是由两根等边角钢所组成。已知荷载P75kN，三号钢的许用应力160MPa，试选择等边角钢的型号。解：（1）计算杆AB的轴力取节点B为脱离体如图（b）所示，列出其静力学平衡方程 （1） （2）解方程组（1）、（2）得到（2）根据

53、强度条件确定杆AB的截面大小由式（2-5-1）（3）根据所需截面大小选择等边角钢型号由附录II型钢表查得边厚为3mm的4号等边角钢的横截面面积为2.359cm2235.9mm2。采用两个这样的角钢，其总横截面积为235.92471.8mm2A468.7mm2，便能满足设计要求。例题2-13：如图2-28a所示的起重机，其杆BC由钢丝绳AB拉住。已知钢丝绳的直径d24mm，许用拉应力为40MPa。试求容许该起重机吊起的最大荷载P的数值为若干？解：（1）计算钢丝绳AB能承受的最大轴力运用截面法用假想截面将钢丝绳AB截断，并取脱离体如图2-28b所示。由式（2-5-1）可算得（2）根据几何关系确定点

54、C到AB的垂距d（3）由平衡条件可列出静力学平衡方程P5NABd将已求得的NAB与d值代入，即可求得起重机的容许荷载4.2 考虑自重时受拉（压）杆的计算1.强度计算和变形计算到目前为止，对于受拉（压）杆的计算，我们都忽略了杆的自身重量（简称自重）。但在实际工程中，尤其是土建和水利工程中，有许多建筑或其构件，例如混凝土柱、钢筋混凝土梁、以及挡土墙、桥墩、重力坝等等，它们的自重都非常大；另外有些长度比较大的构件例如起重机的吊缆、钻探机的钻杆和海洋深度探测器的悬索等，其自重虽不一定很大，但和它们所承受的其它荷载比较，自重常占有很大的比例，故在计算这些构件的强度和变形时，不能再把它们的自重忽略不计。下

55、面用几个具体例子说明考虑自重时受拉（压）杆的强度和变形的计算方法。例题2-14：有一高度l24m的方形截面等直石柱（图2-29a），在其顶部作用有轴向荷载P1000kN。已知材料的容重23kN/m3、容许应力1MPa，试设计此石柱所需的截面尺寸。解：在求解本例题时，应考虑到石柱是在轴向荷载P及其自重的共同作用下，柱的自重可看作是沿柱高均匀分布的荷载（图2-29a）。（1）计算轴力在距柱顶面的距离为x处，用一个假想横截面nn截出脱离体如图2-29b所示，则在nn截面上的轴力为式中的为nn截面以上高度为x的一段石柱的重量。因材料的容重和等直柱的横截面面积A都是常量，故上式中的W(x)沿柱高按直线变化，且当x0时，W(x)0，即在柱的顶面上不