3.4实际问题与一元一次方程.ppt

1、七年级数学(人教版)上册,3.4实际问题与一元一次方程,1、一批零件，甲每小时能加工80个，则,甲3小时可加工个零件，,x小时可加工个零件。,加工a个零件，甲需小时完成。,2、一项工程甲独做需6天完成，则,甲独做一天可完成这项工程的,若乙独做比甲快2天完成，则乙独做一天可完成 这项工程的,240,80 x,做一做,工程问题的基本数量关系： 工作总量=工作时间工作效率,当不知道总工程的具体量时，一般把总工程当做“1”，如果一个人单独完成该工程需要a天，那么该人的工作效率是1/a,工程问题中的数量关系：,1） 工作效率=,2）工作总量=工作效率工作时间,3）工作时间=,4）各队合作工作效率=各队工

2、作效率之和,5）全部工作量之和=各队工作量之和,例1:甲每天生产某种零件80个，甲生产3天 后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天， 两人共生产这种零件940个，问乙每天生产 这种零件多少个？,拿来用,头3天甲生产 零件的个数,甲乙后5天生产零件的总个数,甲后5天生 产的个数,乙后5天生 产的个数,940个,图示,相等关系,头3天甲 生产零件 的个数,+,后5天甲 生产零件 的个数,后5天乙 生产零件 的个数,+,=940,例2、一件工作，甲单独做20个小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？,相等关系：全部工作量甲独做工作量甲

3、、乙合作工作量,全部工作量为“1”,设甲、乙合做部分需要x小时完成，甲独做部分完成的工作量为 甲、乙合做部分完成的工作量为,工程问题基本等量关系： 每个人的工作量之和=一共完成的工作量,解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意，得 解这个方程，得 x=6 答：剩下的部分需要6小时完成。,注意：工作量=工作效率工作时间,例2、一件工作，甲单独做20个小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？,课练：,练习1、某工作由甲、乙两队单独做分别需要3小时、5小时，求两人合做这项工作的80%需要几小时？,解：设两人合做这项工做需x小时，根据题

4、意得， (1/31/5)x=80% 解这个方程得 x=3/2 答：两人合做这项工做的80%需3/2小时。,例题讲解,例3 挖一条长为1210米长的水渠，由甲施工队独做需要11 天完成，乙施工队独做需要20天完成，现在甲、乙两 施工队从两头同时施工，挖完这条水渠估计需几天？,等量关系： 甲施工队挖的米数+乙施工队挖的米数=1210米,答：两个施工队合作估计需要八天挖完。,解：设挖完这条水渠估计要x天.,依题意得,x 8,分析：把这个问题看成工程问题的话， 通常把总量（即本题中的这条水渠）看成“1”，,由题意得：,例题讲解,例3 挖一条长为1210米长的水渠，由甲施工队独做需要11 天完成，乙施工

5、队独做需要20天完成，现在甲、乙两 施工队从两头同时施工，挖完这条水渠估计需几天？,即本题的等量关系为,例1中的1210这个数据可以不用，解方程也简单。,甲完成工作量+乙完成工作量=1,x 8,解：设挖完这条水渠估计要x天.,例4 修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独 承包要120天完成 1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？ 2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务， 剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？,解： 1）设两工程队合作需要x天完成。,2）设修好这条公路共需要 y 天完成。 等量关系： 甲30天工作量+乙队y天的工作量 = 1

6、,答：两工程队合作需要48天完成，修好这条公路还需75天。,等量关系：甲工作量+乙工作量=1,依题意得,依题意得,y=75,x=48,依题意得：,x=10 答：两管同时注油10小时可注满油轮的,例5,等量关系：甲管注油量+乙管注油量=,解：设两管同时注油需x小时可注满油轮的,例6、 已知开管注水缸，10分钟可满，拨开底塞，满缸水20 分钟流完，缸内的水流完后，现若管、塞同开，若干时间后，将底塞塞住，又过了2倍的时间才注满水缸，求管塞同开的时间是几分钟？,分析：,解：设两管同开x分钟,等量关系：注入量放出量=缸的容量,依题意得：,x=4 答：管塞同开的时间为4分钟,x+2x=3x（分钟）,x（分

7、钟）,解：设再经过x小时水槽里的水恰好等于水槽的,等量关系：甲管流进水的水+乙管流出的水 =水槽的,依题意得：,，,例7,、,一,个,水,槽,有,甲,、,乙,两,个,水,管,。,甲,水,管,是,进,水,管，,在,5,小,时,之,内,可,以,把,空,水,槽,装,满,。,乙,水,管,是,出,水,管,，,满,槽,的,水,在,6,小,时,内,可,以,流,完,。现水槽内没水，,如,果,先,开,甲,水,管,1,小,时,，,再,把,乙,水,管,也,打,开,，,再,经,过,几,小,时,5,水,槽,里,的,水,恰,好,等,于,水,槽,容,量,的,？,18,答：再经过 小时水槽里的水恰好是水槽容量的,3.一收割

8、机队每天收割小麦12公顷,收割完一片麦地的 后,该收割机改进操作,效率提高到原来的 倍,因此比预定时间提早1天完成.问这片麦地 有多少公顷?,解:设这片麦地 有X公顷,由题意得,检验:x=180适合方程，且符合题意 答：这片麦地 有公顷,课后习题,某装潢公司接到一项业务，如果由甲组需10天完成，由乙组做需15天完成.为了早日完工，现由甲、乙两组一起做，4天后甲组因另有任务，余下部分由乙组单独做，问还需几天才能完成？,动脑动笔,(1)可否用示意图来分析数量关系?,(2)总工作量怎么表示?甲乙两人的工作 效率怎么表示?,(3)设哪个未知数?相关的量怎样用它表示?,(4)根据怎样的数量关系列方程?,

9、大亏本,大放血,5折酬宾,清仓处理,跳楼价,销售问题,知识探究,我思,故我进步,1、商品原价200元，九折出售，卖价是 元. 2、商品进价是30元，售价是50元，则利润 是 元. 2、某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是 元. 3、某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 元. 4、某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是.,0.9a,1.25a,18.5元,180,20,思考？,对上面商品销售中的问题里有哪些量?,成本价(进价),标价;,销售价;,利润; 盈利; 亏损:,利润率,对上面这些量有何关系?,大家想一想！,

10、= 商品售价商品进价,售价、进价、利润的关系式：,商品利润,进价、利润、利润率的关系：,利润率=,商品进价,商品利润,100%,标价、折扣数、商品售价关系 :,商品售价,标价,折扣数,10,商品售价、进价、利润率的关系：,商品进价,商品售价=,(1+利润率),销 售 中 的 等 量 关 系,驶向胜利的彼岸,售价件数=总金额,探究1,问题 相距问题,3.基本分析方法：画示意图分析题意，分清速度及 时间，找等量关系（路程分成几部分）.,4.航行问题的数量关系：,（1）顺流（风）航行的路程=逆流（风）航行的路程,（2）顺水（风）速度=_,逆水（风）速度=_,路程=速度X时间,静水（无风）速+水（风）

11、速,静水（无风）速水（风）速,一、相遇问题的基本题型,1、同时出发（两段）,二、相遇问题的等量关系,2、不同时出发 （三段 ）,二、基础题,1、甲的速度是每小时行4千米，则他x小时行（ ）千米. 2、乙3小时走了x千米，则他的速度（ ）. 3、甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，则甲、 乙 一小时共行（ ）千米，y小时共行（ ）千米. 4、某一段路程 x 千米，如果火车以49千米/时的速度行驶，那么火车行完全程需要（ ）小时.,4X,X/3,9,9y,X/49,若明明以每小时4千米的速度行驶上学，哥哥半小时后发现明明忘了作业，就骑车以每小时8千米追赶，问哥哥需要多长时间才可以送到作业？,解：设

12、哥哥要X小时才可以送到作业 8X = 4X + 40.5,解得 X = 0.5 答：哥哥要0.5小时才可以把作业送到,家,学 校,追 及 地,40.5,4X,8X,敌军在早晨5时从距离我军7千米的驻地开始逃跑，我军发现后立即追击，速度是敌军的1.5倍，结果在7时30分追上，我军追击速度是多少？,智力冲浪,7千米,2.5X,2.5(1.5X),三、综合题,1.甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？,2. 甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走

13、15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时， 问摩托车经过多少时间追上自行车？,3一架直升机在A，B两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时 .如果已知风速为30km/h，求A，B两个城市之间的距离.,4.甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分乙的速度是甲速度的3/2倍，问（1）经过多少时间后两人首次遇（2）第二次相遇呢？,相等关系：A车路程 B车路程 =相距路程,相等关系：总量=各分量之和,想一想回答下面的问题：,1、A、B两车分别从相距S千

14、米的甲、乙两地同时出发，相向而行，两车会相遇吗？,导入,2、如果两车相遇，则相遇时两车所走的路程与A、B两地的距离有什么关系？,相遇问题,想一想回答下面的问题：,3、如果两车同向而行，B车先出发a小时，在什么情况下两车能相遇？为什么？,A车速度乙车速度,4、如果A车能追上B车，你能画出线段图吗？,甲,乙,A（B）,相等关系： B车先行路程 B车后行路程 =A车路程,例1、 A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。 （1）若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后与A车相遇？,A车路程B车路程=相距路程,线段图分析：,若设B车行了x小时后与A车

15、相遇，显然A车相遇时也行了x小时。则A车路程为 千米；B车路程 为 千米。根据相等关系可列出方程。,相等关系：总量=各分量之和,例1、 A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。 （1）若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后与A车相遇？,A车路程B车路程=相距路程,解：设B车行了x小时后与A车相遇，根据题意列方程得 50 x+30 x=240 解得 x=3 答：设B车行了3小时后与A车相遇。,例1、 A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。 （2）若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后

16、两车相距80千米？,线段图分析：,80千米,第一种情况： A车路程B车路程相距80千米= 相距路程,相等关系：总量=各分量之和,例1、 A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。 （2）若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后两车相距80千米？,线段图分析：,80千米,第二种情况： A车路程B车路程-相距80千米= 相距路程,1、 A、B两车分别停靠在相距115千米的甲、乙两地，A车每小时行50千米，B车每小时行30千米，A车出发1.5小时后B车再出发。 （1）若两车相向而行，请问B车行了多长时间后与A车相遇？,相等关系：A车路程A车同走的路

17、程+ B车同走的路程=相距路程,线段图分析：,1、 A、B两车分别停靠在相距115千米的甲、乙两地，A车每小时行50千米，B车每小时行30千米，A车出发1.5小时后B车再出发。 （2）若两车相向而行，请问B车行了多长时间后两车相距10千米？,线段图分析：,家,学 校,追 及 地,400米,80 x米,180 x米,例2、小明每天早上要在7:50之前赶到距离家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他。 （1）爸爸追上小明用了多少时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？,相等关系：

18、 小明先行路程 小明后行路程 =爸爸的路程,家,学 校,追 及 地,400米,80 x米,180 x米,例2、小明每天早上要在7:50之前赶到距离家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他。 （1）爸爸追上小明用了多少时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？,（1）解：设爸爸要 x分钟才追上小明，依题意得： 180 x = 80 x + 580 解得 x=4 答：爸爸追上小明用了4分钟。,2、 A、B两车分别停靠在相距115千米的甲、乙两地，A车每小时行50千米，B车每小时行3

19、0千米，A车出发1.5小时后B车再出发。 若两车同向而行（B车在A车前面），请问B车行了多长时间后被A车追上？,线段图分析：,甲,A,B,501.5,50 x,30 x,乙,115,相等关系： A车先行路程 + A车后行路程 - B车路程 = 115,3、小王、叔叔在400米长的环形跑道上练习跑步，小王每秒跑5米，叔叔每秒跑7.5米。 （1）若两人同时同地反向出发，多长时间两人首次相遇？ （2）若两人同时同地同向出发，多长时间两人首次相遇？,（1）反向,相等关系： 小王路程 + 叔叔路程 = 400,叔叔,小王,3、小王、叔叔在400米长的环形跑道上练习跑步，小王每秒跑4米，叔叔每秒跑7.5米

20、。 （1）若两人同时同地反向出发，多长时间两人首次相遇？ （2）若两人同时同地同向出发，多长时间两人首次相遇？,（2）同向,相等关系： 小王路程 + 400 = 叔叔路程,叔叔,小王,归纳：,在列一元一次方程解行程问题时,我们常画出线段图来分析数量关系。用线段图来分析数量关系能够帮助我们更好的理解题意，找到适合题意的等量关系式，设出适合的未知数,列出方程。正确地作出线段图分析数量关系，能使我们分析问题和解问题的能力得到提高。,用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程如下:,实际问题,数学问题 (一元一次方程),实际问题的答案,数学问题的解 (x=a),列方程,检验,解方程,小结：这节课我们复

21、习了行程问题中的相遇和追及问题，归纳如下：,相等关系：A车路程+B车路程=相距路程,相等关系： B车路程=A车先路程+A车后行路程 或B车路程=A车路程+相距路程,预备知识：,1、多位数的表示方法：,若一个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，则这个两位数是_；,若一个三位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数是_；,四、五位数依此类推。,10b+a,100c+10b+a,2、连续数的表示方法：,三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数）,三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数）,三个连续奇数为：n-2，n

22、，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数）,3、日历上的数字：在日历中用长方形框9个数字，设正中间的数为a，则其它数如下表：,例1、三个连续偶数之和比最大一个偶数的2倍数多12，求这三个数。,解：设三个连续偶数的中间一个数是x， 则另两个数分别是x-2,x+2.,依题意得 x+x-2+x+2=2(x+2)+12,解得 x=16,所以 当x=16时，x-2=14; x+2=18;,答：这三个连续偶数分别是14、16和18。,例2、某两位数，数字之和为8，将这个两位数的数字位置对换，得到的新两位数比原两位数小18，求原来的两位数。,解：设这个两位数个位上的数字是x，则十位上的

23、数字是8-x，那么这个两位数是10(8-x)+x；这个两位数的数字位置对换，得到的新两位是10 x+(8-x).,依题意得 10 x+(8-x)=10(8-x)+x-18,解得 x=3,答：原来的两位数是53。,例3、用正方形圈出日历中的4个的和是76，这4天分别是几号？,解：设用正方形圈出的4个日子如下表：,依题意得 x+x+1+x+7+x+8=76,解得 x=15,所以 当x=15时，x+1=16; x+7=22; x+8=23;,答：这4天分别是15、16、22、23号。,如果设第一个数为x，则其它两个数可表示为x+7，x+14；,如果设第三个数为x，则其它两个数可表示为x-14，x-7

24、。,如果设其中的一个数为x，那么其他两个数怎样表示？你是怎样设未知数的？,答： 如果设中间的数为x，则 其它两个数可表示为x-7，x+7；,若设第一个数为x，则有 x+x+7+x+14=60,若设第三个数为x，则有 x-14+x-7+x=60,观察一下，哪种设法解方程时最简单？,若设中间的数为x，则有 x-7+x+x+7=60,根据游戏中的问题，用你所设的未知数x ，列出方程，求出这三天分别是几号。,因此，这三天分别是13号，20号，27号。,当x=20时，x-7=13，x+7=27,x-7+x+x+7=60,解得x=20,解：设中间的数为x，则其它两个数分别为x-7，x+7；根据题意，得,当

25、x=25时，x-7=18，x+7=32,如果小颖说的出是75，你认为可能吗？为什么？,解：设中间的数为x，则其它两个数分别为x-7，x+7；根据题意，得,x-7+x+x+7=75,解得 x=25,质疑：在一年中任何一个月中有没有32号这一天？,所以小颖说的出是75，是不可能的。,解：设中间的数为x，则其它两个数分别为x-7，x+7；根据题意，得 x-7+x+x+7=21 3x=21 x=7当x=7时，x-7=0，x+7=14,因为在一年中任何一个月中都没有0号这一天，所以这种情况不会出现。,如果小颖说的出是21,你认为可能吗？为什么?,两人一组 做下面的游戏：（1）每人准备一份日历，在各自的日

26、历上任意圈出一个数列上相邻的4个数。两人分别把自己所圈中的4个数的和告诉同伴，由同伴求出这4个数分别是多少？,做一做,（2）在各自的日历上，用一个正方形任意圈出22个数，把它们的和告诉同伴，由同伴求出这4个数分别是多少？,小组合作探究 下面三个方框，每个方框共有九个日期，任意填出一个日期数，你能根据日历中各数的排列规律猜出另外的几个日期数吗？请说明理由。,观察上面的三个方框你还能得出什么规律？,练习：,1、三个连续奇数的和为69，则这三个数是 。,2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位大36，则原两位数是 。,3、你假期外出旅行一周

27、，这一周各天的日期之和是 84，那么旅行社是_号送你回家的.,4、日历中同一竖列相邻三个数的和可以是（ ） A 、78 B、26 C、21 D、 45 ；,21、23、25,48,15,D,5、你能在日历中圈出一个竖列上相邻的3个数，使得它们的和是40吗？为什么？,答：不能，可以从下面两个方面来分析原因：,（1）如果设中间那个数为x，根据题意，得 (x-7)+x+(x+7)=40 解得：x= ，不符合实际；,（2）通过观察与研究，可知日历中一竖列上相邻的3个数的和一定是三的倍数，而40不是，故不能。,0 22 22,负一场积1分,2000赛季全国男篮甲A联赛常规赛最终积分榜,设胜一场积分，,你

28、能求出胜一场积几分吗？,例如：从第一行得方程,胜一场积2分,试一试：,从表中其他任何一行可以列方程，求出的值,负场积分为_,列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系,结论：负一场积1分 胜一场积2分,则胜场积分为_,解: 如果一个队胜m场，则负_场，,（22m）,2m,22 m,2m （22 m） m22,总积分为,试一试：,2000赛季全国男篮甲A联赛常规赛最终积分榜,负场比胜场的2倍少11场,想一想：,2000赛季全国男篮甲A联赛常规赛最终积分榜,11 11 33,注意：解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际。,由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。,2、用方程解决实际问

29、题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。,1、利用方程不仅能求未知数值，而且可以进行推理判断。,通过例题学习，你有什么体会？,议一议：,暑假里,新晚报组织了我们的小世界杯足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛了9场,得分17分。比赛规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分, 勇士队在这一轮比赛中只负了2场,那么这个队胜了几场?又平了几场呢?,试一试 练一练,在一次有12支球队参加的足球循环赛中（每两队必须赛一场），规定胜一场3分，平一场1分，负一场0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场，结果得18分，那么该队胜了几场？,试一试 练一练,如图是

30、一张有4人参加的某项棋类循环比赛额定积分表，每场比赛胜者得3分，负者得1分，和局两人各得1分。,（1）填出表内空格的分值；,（2）排除这次比赛的名次。,1,1,1,5,1,3,3,3,7,第一名：,1,丁,第二名：,甲,第三名：,丙,第四名：,乙,挑战自我,下表中记录了一次试验中时间和温度的数据,（1）如果温度的变化是均匀的，21分的温度是多少？ （2）什么时间的温度是34 ？,挑战自我,一次足球赛11轮(即每队均需赛11场),胜一场记2分,平一场记1分,负一场记0分,北京国安队所负场数是所胜场数的 ,结果共得14分,求国安队共平了多少场?,拓展思维,六.调配问题 例：在甲处劳动的有27人，在

31、乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？,3.4 实际问题与一元一次方程（4） 探究3：电话计费问题,义务教育教科书 数学 七年级 上册,1.两种移动电话计费方式,（3）一个月内在本地通话200分和300分，按两种计费方式各需交费多少元？,（1）你能从表中获得哪些信息，试用自己的话说说。 （2）猜一猜，使用哪一种计费方式合算？,1.两种移动电话计费方式,（4）如果月通话时间为x分，你能用含x的代数式表示两种计费方式吗？,（5）对于某个本地通话时间，会出现两种计费方式的收费一样的情况吗？,1. 两种移动电话计费方式,（6）.你的父母

32、各有一部手机，父亲业务繁忙，通话时间比较长，母亲工作单一，通话时间短，你能帮助你的父母设计一个省钱的方案吗?,探究3,问题2：你认为选择哪种计费方式更省钱呢？,“与主叫时间相关”,1.对问题的初步探究,350,0,150,2.对问题的深入探究,问题3：设一个月内用移动电话主叫为t 分(t是正整 数)根据表1，当 t 在不同时间范围内取值， 列表说明按方式一和方式二如何计费,2.对问题的深入探究,2.对问题的深入探究,问题4：观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时 间选择省钱的计费方式吗？,划算,划算,划算,2.对问题的深入探究,依题意得： 580.25(t150) = 88 去括号得： 580.25t37.5 = 88 移项、合并同类项得： 0.25t = 67.5 系数化1得： t =270,当 t =270分时，两种计费方式的费用相等，,那么当150 t 270分和270 t 350时，两种计费方式 哪种更合算呢？,2.对问题的深入探究,当t