多元函数的极限与连续性.ppt

1、第二节 多元函数的极限与连续性,一、多元函数的极限,二、多元函数的连续性,一、多元函数的极限,为方便起见，我们以二元函数为例，讨论多元函数的极限问题,定义1.,设有二元函数 ，点,是D的聚点。如果当属于D的点,以任何方式趋于点,时，函数值 f (x,y)无限接近于某个确定的常数A,那么，就称当(x,y) (x0,y0)时，二元函数f (x,y)在点(x0,y0),的极限为A。记为,或,也可记为,或,设有二元函数 ，点,那么，就称当(x,y) (x0,y0)时，二元函数f (x,y)在点(x0,y0),的极限为A。记为,或,上述定义可以用“ ”语言精确描述如下：,是D的聚点。如果存在常数A，对任

2、意给定的正数 ，总,存在正数 ，使得当 时，都有,二元函数的极限又称为二重极限。,上述极限的定义可以推广到n元函数的情形。,定义 .,例1. 设 ,证：,证明：函数f (x,y)的定义域为,当 时，显然,故 必无限,接近于0，因此，由定义1，有,二重极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的某些性质和运算法则，可以直接类推到二重极限。,例2 求极限,解：,例3 求极限,解：,在讨论二重极限时，如果点P(x,y)仅以某些特殊方式( 例如，沿着某定直线或某定曲线 ) 趋于P0(x0 ,y0)时，即使函数 f (x,y) 趋于某一确定的值，我们仍不能确定函数的极限存在。但反之，如果当P(x,y)以

3、不同方式趋于P0 (x0 ,y0)时， f (x,y) 趋于不同的值，则可断定函数的极限不存在。,例4 讨论极限 是否存在.,解：让点 沿着直线 趋于原点，这时有,显然，当k取不同的值时，上式右端的结果不同，所以该,极限不存在！,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在., 二重极限,不同.,如果它们都存在, 则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .,二、多元函数的连续性,定义2 设函数 的定义域为D,点 ,如果,则称函数 在点 处连续，点 称为函数的连续点.,如果函数 在区域D内的每个点都连续，则称函数,在区域D上连续,或称函数 是D上的连续函数.,与

4、一元函数类似，二元连续函数的和、差、积、商(分,母不为零)及复合函数都是连续函数。,由具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四,则运算和复合运算得到的二元函数，称为二元初等函数,一切二元初等函数在其定义区域内都是连续的。,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.,例5 求下列极限,解：,(1) 因为 是初等函数，且在点,有定义，则,(2) 因为 而,在原点连续，故,有界闭区域上的连续多元函数具有以下性质：,性质1 (最值性定理) 有界闭区域上的多元连续函数存在最大值和最小值。,推论 (有界性) 有界闭区域上的多元连续函数是有界函数。,性质2 (介值性定理) 有界闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。,内容小结,1. 区域,邻域 :,区域,连通的开集,2. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3. 多元函数的极限,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的