材料力学1—轴向拉伸与压缩4.ppt

1、1.7 拉伸、压缩超静定问题,1.7.1、超静定问题及求解方法,静定问题: 构件的约束反力和杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况称作静定问题。,超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。,超静定的次数: 未知力数超过独立平衡方程数的数目, 称作超静定的次数。,变形协调方程: 在静不定问题中，各部分变形之间必存在相互制约的条件，这种条件称为变形相容条件(变形协调方程)。,超静定问题的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。,1.7.2、一般超静定问题举例,例：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图

2、所示。计算A、B处的约束反力。,解：1）平衡方程,这是一次超静定问题。,2）相容条件(变形协调条件)：杆的总长度不变,3）物理方程（胡克定律）,补充方程为,平衡方程为,解超静定问题的步骤：,根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。,将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程。,联立补充方程与静力平衡方程求解。,解超静定问题注意,画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致!,例 图示平行杆系1、2、3悬吊着横梁AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E。试求1、2、3三杆的轴力N1

3、，N2，N3。,解：(1)平衡方程,这是一次超静定问题，且假设均为拉杆。,(2) 变形几何方程,在本题中,假设3根杆都受拉。,(3) 物理方程,补充方程,(4) 联立平衡方程与补充方程求解,讨论:如假设1杆受压，2、3杆受拉，如何进行分析计算？,1.7.3 温度应力,温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，当温度均匀变化时，并不会引起构件的内力。但如超静定结构的变形受到部分或全部约束，温度变化时，往往就要引起内力。,1.7 拉伸、压缩超静定问题,对上述两端固定的AB杆来说，由平衡方程只能得出,这并不能确定反力的数值，必须再补充一个变形协调方程。设想拆除右端支座，允许杆件自由胀缩，

4、当温度变化为T时，杆件的温度变形(伸长)应为,式中al 为材料的线膨胀系数。然后，再在右端作用FRB，杆件因FRB产生的缩短是,1.7 拉伸、压缩超静定问题,实际上，由于两端固定，杆件长度不能变化，必须有,这就是补充的变形协调方程。于是得,1.7 拉伸、压缩超静定问题,碳钢：a l12.510-6-1, E200GPa,可见当T较大时，sT的数值便非常可观。为了避免过高的温度应力，在管道中有时增加伸缩节，在铁路钢轨各段之间留有伸缩缝，这样就可以削弱对膨胀的约束，降低温度应力。,1.7 拉伸、压缩超静定问题,开有圆孔的板条,带有切口的板条,因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力

5、集中。,1.8 应力集中的概念,理论应力集中系数：,1.8 应力集中的概念,max是发生应力集中的横截面上的最大应力 0 是该截面上的名义应力（拉压时即为平均应力）,1.8 应力集中的概念,各种材料对应力集中的敏感程度并不相同。塑性材料有屈服阶段，当局部的最大应力smax达到屈服极限ss时，该处材料的变形可以继续增长，而应力却不再加大。如外力继续增加，增加的力就由截面上尚未屈服的材料来承担，使截面上其他点的应力相继增大到屈服极限，如图所示。这就使截面上的应力逐渐趋于平均，降低了应力不均匀程度，也限制了最大应力smax的数值。因此，用塑性材料制成的零件在静载作用下，可以不考虑应力集中的影响。,脆

6、性材料没有屈服阶段，当载荷增加时，应力集中处的最大应力smax一直领先，首先达到强度极限sb，该处将首先产生裂纹。所以对于脆性材料制成的零件，应力集中的危害性显得严重。这样，即使在静载下，也应考虑应力集中对零件承载能力的削弱。至于灰铸铁，其内部的不均匀性和缺陷往往是产生应力集中的主要因素，而零件外形改变所引起的应力集中就可能成为次要因素，对零件的承载能力不一定造成明显的影响。,当零件受周期性变化的应力或受冲击载荷作用时，不论是塑性材料还是脆性材料，应力集中对零件的强度都有严重影响，往往是零件破坏的根源。,1.9 应变能的概念,固体受外力作用而变形。在变形过程中，外力所作的功将转变为储存于固体内

7、的能量。当外力逐渐减小时，变形逐渐恢复，固体又将释放出储存的能量而作功。例如内燃机的气阀开启时，气阀弹簧因受压力作用发生压缩变形而储存能量。当压力逐渐减小，弹簧变形逐渐恢复时，它又释放出能量为关闭气阀而作功。固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。,1. 应变能,设受拉杆件左端固定，作用于右端的拉力由零开始缓慢增加。拉力P与伸长l的关系如图a所示。在逐渐加力的过程中，当拉力为F时，杆件的伸长为l。如杆件变形增加了d(l)。则作用于杆件上的F力因位移d(l)而作功，且所作的功为,1.9 应变能的概念,把拉力看作是一系列dF的积累，则拉力所作的总功W应为上述微面积的总和，它等于F-l曲线下

8、面的面积，即,在应力小于比例极限的范围内，F与l的关系是一条斜直线，故有,1.9 应变能的概念,根据功能原理，拉力所完成的功应等于杆件储存的能量。对缓慢增加的静载荷，杆件的动能并无明显变化。金属杆受拉虽也会引起热能的变化，但数量甚微。这样，如省略动能、热能等能量的变化，就可认为杆件内只储存了应变能Ue，其数量就等于拉力所作的功。线弹性范围内，,1.9 应变能的概念,2. 应变能密度,单位体积内的应变能称为应变能密度(变形比能)。,1.9 应变能的概念,例：简易起重机如图所示。BD杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，杆长l = 3 m。弹性模量E = 210 GPa。BC是两条横截面面积为171.82 mm2的钢索，弹性模量E1 = 177 GPa。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。设P = 30 kN。,解：从三角形BCD中解出BC和CD的长度分别是,算出BC和BD两杆的横截面面积分别为,由BD杆的平衡求得钢索BC的拉力和BD杆的压力为,把简易起重机看作是由BC和BD两杆组成的简单弹性杆系，当载荷P从零开始缓慢地作用于杆系上时，P与B点垂直位移d的关系是一条斜直线。P所完成的功也是这条斜直线下的面积，即,P所完成的功在数值上应等于杆系的变形能，亦即等于BC和BD两杆变形能的总和。故,由此求得,练习： 设1、2