第4章 长期聚合风险模型与破产理论.ppt

1、中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,第4章长期聚合风险模型与破产理论 【考试内容】 4.1盈余过程与破产概率 盈余过程 破产概率 4.2总理赔过程 理赔次数过程泊松过程 理赔总量过程复合泊松过程 4.3破产概率 破产概率 最大总损失与破产概率 4.4破产概率与调节系数 4.5离散模型 4.6破产理论的应用 限额损失再保险问题 再保险附加费率与调节系数 团体保险的红利模型,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【要点详解】 4.1盈余过程与破产概率 1盈余过程 传统的古典盈余过程模型为： U(t)=uctS(t)，t0；u0，c0 （4.1） 其中，u为初始盈余（初始资本），c保费收入

2、线性增长的比例，一般为年保费收入，S(t)为总理赔过程，表示从0到t时刻发生的所有理赔之和，即 其中： N(t)表示0，t内的总理赔次数，取值非负整数，且N(0)=0，称为理赔次数过程； 当N(t)=n0已知时，Xi表示0，t内第i次理赔的金额（i=1，2，n）；与第3章类似仍称之为理赔额变量； S(t)，t0表示0，t内的总理赔量，且S(0)=0。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,2破产概率 （1）定义 破产时刻：称盈余过程模型U(t)=uctS(t)（t0；u0，c0）的随机变量T=inft：t0，U(t)0为该盈余过程的破产时刻。 实际上，T是盈余首次出现非正实值的时刻。 破产

3、概率：对于盈余过程模型U(t)=uctS(t)（t0；u0，c0）定义概率：(u)=PT=P存在t0，U(t)0，称为该盈余过程的破产概率。 说明：此处定义的破产概率没有时间上限，也称为终极破产概率。 有限时间破产概率：称盈余过程模型U(t)=uctS(t)（t0；u0，c0）的概率： (u，t)=PTt=P存在s（0，t），U(s)0 为该盈余过程在时间（0，t）内的破产概率。即盈余过程在有限时间内破产的概率。 （2）破产概率(u)及(u，t)的性质 对于u1u2和0t1t2，有以下结论成立： (u2，t)(u1，t)，对任意t0 (u2)(u1) (u，t1)(u，t2)(u) ,中华精算

4、师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.1】（2005年真题）某保单组合在0t4时间段内的理赔记录为： 假设保险公司的初始准备金为8，每年的保费收入率为4，则保险公司的破产时刻为（）。 A0.5B1.2C2D3.5E3.7 【答案】C 【解析】由已知条件得赔付函数为： 当t=2时，u(2)=1第一次小于0，即公司的破产时刻为t=2。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.2】（2005年真题）考虑离散的盈余过程U(n)=0.5+1.5nS(n)，S(n)=W1+W2+ Wn 为时间段0，n内的总索赔额，Wi（i1）相互独立共同分布为： 则PU(1)2.5+PS(2)3.5 而

5、PS(1)2.5=P(W12.5)=P(x=3)=0.1， PS(2)3.5=P(W1+W23.5)=PS(2)=6+PS(2)=5+PS(2)=4 =P(x1=3)P(x2=3)+P(x1=2)P(x2=3)+P(x1=3)P(x2=2)+P(x1=1)P(x2=3) +P(x1=2)P(x2=2)+P(x1=3)P(x2=1) =0.10.1+(0.20.1+0.10.2)+(0.30.1+0.20.2+0.10.3) =0.15， 故PU(1)0+PU(2)0=0.1+0.15=0.25。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.3】（2008年春季真题）一种保单组合，至多可

6、能发生一次理赔，概率为0.1，并且： （1）发生时刻T在0，50之间均匀分布； （2）总理赔额S的概率分布为：P(S=1000)=0.8，P(S=5000)=0.2。 设保险人的盈余过程为U(t)=900+100tS(t)，则破产概率为（）。 A0.012B0.014C0.016D0.018E0.020 【答案】D 【解析】设破产概率(u)，则 由于TU(0，50)，故 故(u)=0.1(0.020.80.820.2) =0.018。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.4】（2008年春季真题）某保单组合发生索赔的时刻为t=0.5，1.5，2.5，个别理赔额变量服从0，4区间

7、上的均匀分布，安全系数为0.1，初始准备金为2，保费在整数时间段的期初交纳。在时刻t=2之前该保单组合的破产概率为（）。 A0.08B0.18C0.22D0.24E0.28 【答案】A 【解析】已知个别理赔额变量X服从0，4区间上的均匀分布，所以p1=E(X)=(40)/2=2，且u=2，=0.1，所以0.5时刻的盈余为： 显然，U(0.5)0。 1.5时刻的盈余为： 在t=2之前只有1.5时刻可能发生破产，故,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,4.2总理赔过程 1理赔次数过程-泊松过程 理赔次数过程是所谓的基数随机过程的特例。 （1）计数随机过程：独立增量的随机过程N(t)，t0被称

8、为计数随机过程，若： 取值为非负整数，且N(0)=0； 样本轨道为阶梯形，每次增加1。 为刻画计数过程，可考虑以下三种描述方法： 方法一：对任意t0，h0，有P(N(t+h)N(t)+1|N(s)，00时，记 Ti=inft：t Ti-1，N(t)N(Ti-1)，i=1，2，N(t) 则有：0=T0T1T2TN(t)。 依次表示0，t上各次事件发生的时刻，且有：Wi=TiTi-1（i=1，2，N(t)），表示两次事件之间的时间间隔，一般称为等待时间变量，Wi为非退化的取值非负实值的随机变量。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,（2）Poisson（计数）过程：从以下两个角度定义Pois

9、son过程。 定义一：计数过程N(t)，t0被称为强度参数为的Poisson过程，若： 独立增量； 平稳性：对任意t0，h0，有：N(t+h)N(t)Poisson(h)。 定义二：计数过程N(t)，t0被称为强度参数为的Poisson过程，若： 独立增量，平稳； 对任意h0，有PN(h)=1=h+(h)； 对任意h0，有PN(h)2=(h)。 2理赔总量过程-复合泊松过程 （1）复合泊松过程 定义：满足以下条件的总理赔过程S(t)，t0称为复合Poisson过程： 计数过程N(t)，t0是强度参数为的Poisson过程； Xi，i=1，2，是i.i.d序列，共同分布记为F(x)或密度函数记为

10、f(x)；X的k阶原点矩（若存在）记为pk，k=0，1，2，； N(t)，t0与Xi，i=1，2，独立。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,基本性质： 平稳，独立增量，且对任意取定的t0，h0，S(t+h)S(t)与： 同分布，其共同分布为复合泊松分布：泊松参数h，理赔额变量的分布为XF(x)。 复合Poisson过程的特征变量为： ES(t)=tEX=tp1 VarS(t)=tEX2=tp2 其中MX(z)为理赔额变量X的矩母函数。 过程的轨道除T1，T2，点外是连续的，而且在这些间断点右连续、左极限存在。当Ti已知时，S(Ti)S(Ti0)与XF(x)同分布。 （2）泊松盈余过程：

11、称过程U(t)=u+ctS(t)，t0为（连续时间）泊松盈余过程。 其中：u为初始盈余，u0； S(t)，t0为复合Poisson过程，泊松参数，理赔额变量XF(x)； c为单位时间内的平均收入，要求：c=(1+)p1，0。 基本结论：EU(t)=Eu+ctS(t)=u+p1t，VarU(t)=VarS(t)=p2t,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,4.3破产概率 1破产概率 （1）对于泊松盈余过程，破产概率(u)满足以下的微积分方程： （2）设在泊松盈余过程中，理赔额变量服从均值为1/的指数分布，则破产概率为： （3）对于泊松盈余过程，当盈余首次降至初始盈余u以下时，当时盈余的负值

12、（一般称为亏损变量）的概率密度为： 其中F(y)是理赔额变量的分布函数。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,（4）记L1为盈余u(t)首次下降到u以下的损失，p1是个别理赔额的数学期望，F(x)是个别理赔额的分布函数，则： 2最大总损失与破产概率 （1）定义：盈余过程U(t)，t0的最大总损失随机变量为： 当0时，有： ，且对任意的u0，有： （2）定理：若S(t)，t0为复合Poisson过程，则有以下结论成立：,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,（3）推论：Poisson盈余过程U(t)，t0的破产概率满足： 其中右侧为1(u)对应的矩母函数。 应用：若X为指数分布的线性组

13、合，例如： 这样（*）式最终可表示为： 而且加上条件()=0，则有：,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.5】（2005年真题）盈余过程U(t)=u+ctS(t)，安全系数为=2，理赔过程S(t)为复合泊松过程，个体理赔额X服从期望为1的指数分布，记 ，下面说法正确的为（）。 A只有（1）（2）正确 B只有（1）（3）正确 C只有（2）（3）正确 D（1）（2）（3）都正确E（1）（2）（3）都不正确 【答案】C 【解析】由已知，得： （1） （2）因p1=E(X)=1，故； （3）由于Xexp(1)，所以 故,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.6】（2005

14、年真题）对于具有复合泊松理赔过程的盈余过程U(t)，已知破产概率(u)=0.2e-7u+0.2e-4u+0.3e-2u，u0，N为盈余过程U(t)轨道上“最低记录点”的个数，P(N=1) +(0)为（）。 A0.75B0.84C0.89D0.91E0.95 【答案】D 【解析】由已知得：(0)=0.2+0.2+0.3=0.7，而产生“最低记录点”的次数服从几何分布，且参数p=(0)=0.7，P(N=n)=(0)n1(0)，所以P(N=1)=(0)1(0)=0.70.3=0.21， 故P(N=1)+(0)=0.7+0.21=0.91。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.7】（2

15、005年真题）盈余过程U(t)=u+ctS(t)，S(t)为复合泊松过程，个体索赔额的分布为： 当盈余首次低于初始水平u时，令L1表示u与当时盈余的差值，则Var(L1)=（）。 A0.98B1.00C1.02D1.04E1.06 【答案】C 【解析】由于p1=E(X)=0.251+0.252+0.33+0.24=2.45，所以 故Var(L1)=E(L12)E(L1)2=1.02。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,4.4破产概率与调节系数 1调节系数的定义 （1）设S(t)为复合泊松过程，泊松参数为，个别理赔额随机变量为X，MX(r)是其矩母函数，方程 +cr=MX(r)r（0，）

16、 （4.4） 的非零正解（记作R）为该过程的调节系数。 调节系数方程（4.4）可化为：1+(1+)p1r=MX(r) （4.5） 说明：这个调节系数方程与泊松盈余过程的泊松参数无关，在使用上有其方便之处。 （2）定理：设泊松盈余过程中理赔额变量X的矩母函数的定义域为（0，），其中+，则在cp1的假设下，调节系数方程有惟一的正根R（0，）。 调节系数R满足不等式（其中，c=(1+)p1）： 如果个别理赔额随机变量X有上界M，则有： eg设复合泊松分布中的理赔额变量服从参数为的指数分布，则相应的调节系数为：,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,2调节系数与破产概率的关系 对于泊松盈余过程，若

17、调节系数方程的解R存在，则破产概率(u)可表示为： 【例题4.8】（2008年春季真题）（1）（2）题的条件如下： 已知某泊松盈余过程，个别理赔额变量x服从期望为2的指数分布，安全系数为0.15。 （1）调节系数R为（）。 A0.055B0.060C0.065D0.070E0.075 【答案】C 【解析】已知=0.15，=1/=0.5，故 （2）为保证破产概率低于0.05，最小的初始准备金应为（）。 A44B45C46D47E48 【答案】A 【解析】指数分布的破产概率为： 要使(u)0.05，即,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.9】（2008年春季真题）某保险公司的初始准

18、备金为10，理赔过程是复合泊松过程，个别理赔额的分布为P(X=1)=0.5，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.2。已知调节系数R=0.5，盈余首次低于初始准备金的概率等于（）。 A0.15B0.29C0.33D0.49E0.55 【答案】E 【解析】由于1+(1+)p1R=MX(R)，而p1=E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+2P(X=3)=1.7，所以,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,4.5离散模型 1离散模型 定义：称下面的过程U(n)，n=0，1，为盈余序列： U(n)=u+cnS(n)，S(0)=0 其中，u为初始盈余，u0；c为单位时间（一般为一年）内的平均保费

19、收入，一般要求 cn=(1+)ES(n)ES(n) 即0，称为安全系数； S(n)=W1+W2+Wn表示前n期的理赔总量，Wi为第i期的总理赔量，一般假设 W1，W2 ， ，Wn 是独立同分布的随机变量，共同分布记为FW(x)。此模型称为离散模型。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,性质：对于u1u2和0n1n2，有以下结论成立： 2盈余序列模型的调节系数 盈余序列模型的调节系数 为方程： 的正根。 说明：当Wi为复合泊松分布时，有lnMW(r)=MX(r)1，则上式与MX(r)=+cR等价，即当第i个时期的总理赔量为复合泊松分布时，离散时间模型的调节系数与连续时间的调节系数相同。,中

20、华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,3盈余序列模型的调节系数与破产概率的关系 对于盈余序列，当u0时，破产概率为： 特别的，当Wi与N个独立的共同分布与X相同的随机变量的随机和同分布时，且c=(1+)，则调节系数近似值为：,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,4.6破产理论的应用 1限额损失再保险问题 （1）两种基本再保险方式： 比例再保险：I(S)=kS，0k1 限额损失再保险（超额超赔再保险）： 其中，d为自留额。 原保险人自留的风险为：,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,（2）限额损失再保险的纯保费 限额损失再保险的纯保费就是理赔Id的均值EId。 当S连续时： 当S离

21、散时：,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.10】（2005年真题）已知损失变量X具有概率密度函数： 对于一种比例再保方式，再保险人赔付额为I(X)=X。而另外一种再保方式，再保险人赔付额为：Id(X)=maxXd，0，给定EI(X)=EId(X)=20，则d+为（）。 A35.2B36.2C37.2D38.2E39.2 【答案】C 【解析】由已知条件得： 解得：=0.4； 又 解得：d=36.754。 故d+=36.754+0.4=37.15。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.11】（2005年真题）损失额X取值于非负整数。现有再保险合同将支付损失额X超过

22、20元以上部分的80%，且最多支付5元。并已知： EI16=3.91，EI20=3.43，EI24=2.90，EI25=2.87，EI26=2.85，EI27=2.60 其中Id(X)=maxXd，0，则再保险人预计赔付的额度为（）。 A0.510B0.514C0.518D0.520E0.522 【答案】B 【解析】记再保险的支付额为Y，则依题意有：Y=(X20)80%5，即X26.25。 故 而E(I27)=E(I26)1FX(26)， 所以1FX(26)=EI26EI27=2.852.60=0.25， 故E(Id)=0.83.430.82.600.60.75=0.514。,中华精算师考试网

23、 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.12】（2008年春季真题）对于理赔总量S，已知： （1）P(10S20)=0； （2）EI10=0.60； （3）EI20=0.20。 其中Id为限额损失再保险下自留额为d时的再保险人的理赔额。FS(10)为（）。 A0.98B0.96C0.94D0.93E0.92 【答案】B 【解析】由已知，有：P(S=11)=P(S=12)=P(S=19)=0， 于是，FS(10)=FS(11)=FS(12)=FS(19) 所以 两式相减，解得：FS(10)=0.96。,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,【例题4.13】（2008年春季真题）随机变量X服从均值

24、为1000的指数分布，某类保单的损失Y为： 保险人对这类保单损失的免赔额为200。保险人赔付随机变量的均值为（）。 A327.5B769.5C683.4D487.2E688.4 【答案】C 【解析】由已知，有 故,中华精算师考试网 官方总站：圣才学习网 ,2再保险附加费率与调节系数 （1）比例损失模型：I(X)=kX 再保险费率为：ck=(1+)kE(X)， 原保险人的费率为：cck， （2）限额损失模型：I(X)=Id(X) 再保险费率为：ck=(1+)E(Id)， 原保险人的费率为：cck， （3）当附加费率相同时，要保持不同方式下有相同的期望收益，则有：EkX=EId(X) 3团体保险的红利模型 以收到的保费G为基础，按照G的一定比例（记为k，0k1）设定一个额度，如果实际发生的理赔S低于这个额度，则将差额部分作为红利返还给被保险人，返还额为D（S）