向量组的最大无关组与秩.ppt

1、1,第三节 向量组的最大无关组与秩,一、向量组的秩 二、向量组的等价 三、向量组的秩与矩阵秩的关系,2,一、向量组的秩,一个向量组所含的向量个数最多的无关 部分组有什么性质?,问 题,定义2.3.1,如果一个向量组的一个部分组,线性无关, 并且向量组中的任意一个向量都可以由,线性表出, 则称,为这个向量组,的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组.向量组的,最大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩,记作,只含零向量的向量组没有最大无关组, 并规定它的秩为0.,3,例1,设向量组 A: 1 = 1, 1, 1T ,2 =2,1, 0T , 3 =3,2,1T 求A的一个最大无关组,解,因 1

2、, 2线性无关 , 3 = 1+ 2 1 , 2为A的一个最大无关组 1 , 3和2 , 3也都是A的最大无关组,例2,n维单位坐标向量组1,2,n 是Rn的一个 最大无关组,因为向量组1,2,n 线性无关 而n+1个n 维向量必然线性相关,Rn的任一个向量都可由1,2,n 线性表出 所以1,2,n 为Rn的一个最大无关组,4,一个向量组的最大无关组与原向量组有什么关系? 向量组最大无关组的四个基本问题 存在、唯一、个数、求法 需要进一步讨论两个向量组之间的关系,向量组最大无关组的几个问题,5,二、向量组的等价,设有两个n维向量组A与B,如果向量组A的每个向量可由向量组B线性表出,则称向量组A

3、可由向量组B线性表出,如果向量组A和向量组B可以互相线性表出,则称向量组A与向量组B是等价的,记为 向量组A 向量组B,定义2.3.2,6,向量组A,B,C之间的等价具有下列性质,(1) 自反性 A A,(2) 对称性 A B = B A,(3) 传递性 A B, B C =A C,7,由定义2.3.1, A: 1, 2 , s中任意一个向量 都可由A1: 1, 2 , r线性表出 故 A A1,对i ( i = 1,2,r), 由,可知A1 可由A线性表出,i = 01 +1i + 0r + 0r+1+ 0s,推论2.3.1,向量组的任意两个最大无关组等价,定理2.3.1,向量组与它的任一最

4、大无关组等价,证,设向量组A :1 , 2 , r , r+1 , ,s A1 :1 , 2 , ,r 是A的一个最大无关组,8,定理2.3.2,如果n维向量组1, 2 , s可由n维向量 组1,2 ,t线性表出,并且st,则向量组 1, 2 , s必线性相关,如果向量组1,2 ,s 可由向量组 1,2 ,t线性表出,并且1,2 ,s 线性无关, 则s t,推论2.3.2,9,设无关向量组A,B含向量数分别为s,t,由推论2.3.2, 因A可由B线性表出,所以st;同样因为B也可由A线 性表出,所以ts 故 s =t,两个等价的线性无关的向量组所含 向量的个数相同,证,推论2.3.3,一个向量

5、组的任意两个最大无关组所含 向量的个数相同,推论2.3.4,推论2.3.5,等价向量组的秩相等,推论2.3.5的逆命题不成立,10,例3,已知向量组1,2可由向量组1,2线性表示,即,问这两个向量组是否等价?,解,已知,由于,可逆,11,向量组1,2 可由向量组1,2线性表示,综合(1)(2), 这两个向量组等价,12,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义2.3.3,矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩, A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩,设A是一个mn矩阵,令,每行构成1个n维行向量；每列构成1个m维列向量 A是由m个n维行向量或n个m维列向量构成的,13,定理2.3.3,行初等变换不改变矩阵

6、的行秩与列秩,证明思路1,仅需证明如果矩阵A经一次行初等变换化 为B时A,B有相同的行秩. 注意到此时A, B 的行向量组等价, 秩自然相同. 即证,考虑对A的列向量进行行初等变换化为B时, A与B有相同的列秩. 注意到此时AX=0与 BX=0 为同解方程组,证明思路2,14,推论2.3.6,矩阵的列初等变换不改变矩阵的行秩与列秩,定理2.3.4,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩,据 定理2.3.3 和 定理2.3.6 得,如果对矩阵A的转置AT作行初等变换,由定理2.3.3, 行初等变换不改变矩阵AT的行秩与列秩.即对应于A 作列初等变换不改变矩阵A的列秩与行秩,矩阵的行秩和列秩相等且即为矩阵的秩,定理2.3.5,15,1=1,2,3T, 2=-3,-2,3T 3=4,7,9T, 4=5,9,12T,例4,已知向量组,求1,2,3,4的秩及其一个