通信原理樊昌信第六版 第3章.ppt

1、1、传播原理，第3章随机过程，2、第3章随机过程，3.1随机过程的基本概念什么是随机过程？随机过程是一种随时随机变化的过程，不能用精确的时间函数来描述。可以从两个不同的角度来看：角度1:对应于不同随机测试结果的一组时间过程。第三章随机过程例 N个示波器同时观察并记录这N个接收机的输出噪声波形采样函数i (t):随机过程的一次实现是一个确定的时间函数。随机过程：(t)=1 (t)，2 (t)，n (t)是所有样本函数的集合。4，第3章随机过程，角度2:随机过程是随机变量概念的延伸。在任何给定的时间t1，每个样本函数i (t)都是一个确定的值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预测的。在固定

2、时间t1，不同样本的值I (t1)、I=1、2和n是随机变量，表示为(t1)。换句话说，随机过程在任何时候的值都是随机变量。因此，我们可以把随机过程看作是时间过程中不同时间的随机变量的集合。这个角度更适合随机过程理论的精确数学描述。5，第3章随机过程，3.1.1随机过程的分布函数让(t)代表一个随机过程，那么它的值(t1)在任何时候都是一个随机变量，它的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。随机过程的一维分布函数(t):随机过程的一维概率密度函数(t):如果偏导数存在于上述公式中。6，第3章随机过程，随机过程的二维分布函数(t):随机过程的二维概率密度函数(t):如果偏导数存在于上述公式

3、中。随机过程的N维分布函数(t):随机过程的N维概率密度函数(t):7，第3章随机过程，3.1.2随机过程的数字特征均值(数学期望):t1在任意给定时间的值(t1)是一个随机变量，其均值公式为f (x1，t1) (t1)因此，t1可以直接写成t，x1可以变成x，这样上述公式就变成了，8，第3章随机过程， (t)的平均值是时间的确定函数，通常记录为a (t)，它代表随机过程：a (t)，9，9，第3章随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，方差通常记录为2(t)。 因此，方差等于均方值和均方值之间的差，这表示随机过程在时间t与均方值的偏离程度。第三章随机过程，在相关函数中，(t1)和(t2)分别是

4、在t1和t2观察到的随机变量。可以看出，R(t1，t2)是两个变量t1和t2的确定函数。协方差函数公式中t1和t2处的a (t1) a (t2)得到的(t)的平均值f2 (x1，x2)；t1，T2(t)的二维概率密度函数。随机过程、相关函数和协方差函数之间的关系如果a(t1)=a(t2)，那么B(t1，t2)=R(t1，t2)，在互相关函数中，(t)和(t)分别代表两个随机过程。因此，R(t1，t2)也称为自相关函数。第3章随机过程，3.2平稳随机过程3.2.1平稳随机过程的定义：如果随机过程(t)的任何有限维分布函数与时间的起点无关，也就是说，对于任何正整数n和所有实数，那么随机过程是严格意

5、义上的平稳随机过程，或者简称为严格平稳随机过程。13，第3章随机过程，性质：这个定义表明平稳随机过程的统计特性不随时间变化，即它的一维分布函数与时间T无关，而它的二维分布函数只与时间间隔=t2 t1有关：数字特性：可见，(1)它的平均值是常数A，与T无关；(2)自相关函数只与时间间隔有关。第三章随机过程，数值特征：可以看出(1)它的平均值与t无关，是常数a；(2)自相关函数只与时间间隔有关。满足(1)和(2)的过程被定义为广义平稳随机过程。显然，严格平稳的随机过程必须是广义的通信系统中遇到的大多数信号和噪声都可以看作是平稳随机过程。因此，研究平稳随机过程具有重要的现实意义。15，第3章，随机过

6、程，3.2.2。提出各状态的遍历性问题：我们知道随机过程的数字特征(均值和相关函数)是随机过程所有样本函数的统计平均值，但在实践中通常很难测量大量的样本，所以我们自然会问这样一个问题：从实验中得到的样本函数x(t)能确定平稳过程的数目吗？答案是肯定的。平稳过程在一定条件下有一个有趣且非常有用的特性，这就是所谓的“遍历性”。每个状态具有遍历性的过程的数字特征(所有统计平均值)可以被任何随机过程实现的时间平均值完全代替。接下来，我们将讨论每个状态的遍历性条件。16，第3章，随机过程，遍历性条件：如果x(t)是平稳过程(t)的任何实现(样本),那么它的时间均值和时间相关函数被定义为：如果平稳过程具有

7、以下方程，则表示平稳过程具有遍历性。在第三章“随机过程”中，“经历的每一种状态”的含义是，随机过程中的每一种实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均值(均值或自相关函数等)时。)，不必进行无限次的调查，而只需进行一次调查，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值，从而大大简化了测量和计算问题。具有遍历状态的随机过程必然是平稳过程，反之亦然。通信系统中遇到的随机信号和噪声通常满足遍历条件。18，第3章随机过程，例3-1设置一个随机相位为1的正弦波，其中a和c是常数；是均匀分布在(0，2)内的随机变量。试着讨论(t)是否具有遍历性。解 (1)首先计算(t)的统计平均值

8、：数学期望，第19章，随机过程，并且自相关函数使得t2 t1=，这表明(t)的数学期望是常数，而自相关函数与t无关，而只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳过程。20，第3章随机过程，(2)求(t)的时间平均值将统计平均值与时间平均值进行比较，因此随机相位余弦波是遍历的。第3章随机过程，3.2.3平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数的定义：前一平稳过程的自相关函数的性质(t)的平均幂的偶函数r()的上界，即自相关函数r()在=0时具有最大值。(t)的DC功率代表静止过程(t)的交流功率。当平均值为0时，R(0)=2。22，第3章随机过程，3.2.4平稳过程的功率谱密度定义：对于任意功率信号

9、f (t)，其功率谱密度定义为对应于f (t)的截断函数fT (t)的谱函数，23，第3章随机过程，对于平稳随机过程(t)，样本的功率谱密度不能用作过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应视为所有样本功率谱密度的统计平均值，因此(t)的功率谱密度可定义为：24，第3章随机过程，功率谱密度的计算非周期功率型已知信号的自相关函数及其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系也适用于平稳随机过程，即上述关系称为维纳-欣钦关系。它是平稳随机过程理论和应用中非常重要的工具，是频域和时域分析方法之间的基本联系。25，第3章随机过程，基于维纳-欣钦关系，我们可以得到以下结论：平稳过程的总功率可以通过对功率谱密度积分得

10、到；上述公式从频域角度给出了过程平均功率的计算方法。每个遍历过程的任何样本函数的功率谱密度等于该过程的功率谱密度。也就是说，每个样本函数的谱特征能够很好地代表整个过程的谱特征。证明因为每个状态的遍历过程的自相关函数等于任何样本的自相关函数，也就是说，傅立叶变换是在两边取的：在公式、26、第3章随机过程中，功率谱密度P (f)是非负的实偶数，也就是说，它对应于r(f)的实偶数。27，第3章，随机过程，示例3-2，计算随机相位余弦波(t)=Acos(ct)的自相关函数和功率谱密度。解决方法在例3-1中，我们考虑了随机相位余弦波是一个平稳过程，并且找到了它的相关函数，因为平稳随机过程的相关函数和功率

11、谱密度是一对傅里叶变换，也就是说，因为存在和存在，功率谱密度是、28的平均功率，第3章随机过程，3.3高斯随机过程(正态随机过程)，3.3.1定义如果随机过程， n维正态概率密度函数的表达式为：29，第3章随机过程，其中|B|归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk行列式|B|中元素bjk的代数余因子bjk，是一个归一化协方差函数，即，30，第3章随机过程，3.3.2重要性质由高斯过程定义，因此，对于高斯过程，我们只需要研究它的数字特征。 广义平稳高斯过程也是严格稳定的。因为，如果高斯过程是广义平稳的，即它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，那么它的N维分布也与时间起

12、点无关，所以它也是严格平稳的。因此，如果高斯过程是广义平稳的，那么它也是严格稳定的。31，第3章随机过程，如果高斯过程的值在不同的时间是不相关的，也就是说，对于所有的j k，bjk=0，那么它的概率密度可以简化，这表明如果高斯过程的值在不同的时间是不相关的，它们在统计上也是独立的。线性变换产生的高斯过程仍然是高斯过程。换句话说，如果线性系统的输入是高斯过程，那么系统的输出也是高斯过程。第3章随机过程3.3.3高斯随机变量的定义：高斯过程在任何时候的值都是正态分布的随机变量，也叫高斯随机变量，它的一维概率密度函数是公式中的a2均值方差曲线，如图所示：33，第3章随机过程，性质f (x)对称于直线

13、x=a，即A代表分布中心，当a=0且=1时，称为标准化正态分布：34，第3章随机过程。正态分布函数的整数值不能以封闭形式计算，但通常是用其它特殊函数和查表法来计算的：用误差函数来表示正态分布函数：公式中有误差函数，其值可以通过查表来计算。在第三章中，正态分布函数用互补误差函数erfc(x)表示：当x为2时，在第三章中，正态分布函数用q函数表示：q函数定义：q函数与erfc函数的关系：q函数与分布函数F(x)的关系：q函数值也可以从查表中得到第三章随机过程， 3.4平稳随机过程众所周知，信号通过线性系统：其中vi输入信号和vo输出信号对应于傅立叶变换关系：随机信号通过线性系统：i(t)是平稳输入

14、随机过程，A均值，Ri()自相关函数，Pi()功率谱密度； 计算了输出过程o(t)的统计特性，即平均值、自相关函数、功率谱和概率分布。在第三章中，输出过程o(t)的平均值在以下公式的两边进行统计平均：如果输入过程是稳定的，那么在公式中，H(0)是线性系统在f=0时的频率响应，因此输出过程的平均值是一个常数。第三章随机过程，输出过程的自相关函数o(t):根据自相关函数的定义和输入过程的平稳性，上述公式表明输出过程的自相关函数只是时间间隔的函数。根据以上两个方程，如果线性系统的输入是稳定的，那么输出也是稳定的。第三章随机过程，输出过程的功率谱密度对下列公式进行傅里叶变换：设=-，代入上述公式，得出

15、输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模的平方。应用：在第三章中，用Po(f)的傅里叶逆变换计算随机过程和输出过程的概率分布。如果线性系统的输入过程是高斯的，那么系统的输出过程也是高斯的。根据积分原理，它可以表示为：由于假设i(t)是高斯的，所以上述公式右端的每个项在任何时候都是高斯随机变量。因此，在输出过程中的任何时间获得的随机变量是无限高斯随机变量的和。根据概率论，这个和也是高斯随机变量，所以输出过程也是高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。42，第3章随机过程，3.5窄带随机过程什么是窄带随机过程？如果随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc

16、附近的相对较窄的频带f中，即满足f fc的条件，并且fc远离零频率，那么它被称为窄带随机过程。43，第3章随机过程，典型窄带随机过程的谱密度和样本函数，44，第3章随机过程，在窄带随机过程的表达式中，a (t)随机包络，(t)随机相位c中心角频率明显，a (t)和(t)的变化比载波cos ct的变化慢得多。45，第3章随机过程，窄带随机过程表达式扩展可以扩展到公式中同相分量(t)的正交分量。可以看出，(t)的统计特性是由a (t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性决定的。如果(t)的统计特性已知，则a (t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性将相应地确定。46，第3章，随机过程，3.5.1 c(t)和s(t)数学期望：得到下列公式的数学期望：因为(t)是稳定的，