四川省南充市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

四川省南充市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足,,则(

)A.3 B.7 C.9 D.102．已知随机变量,若,则(

)A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.43．记等差数列的前n项和为,若,,则(

)A.9 B.36 C.45 D.544．已知函数的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是(

)A.在区间上单调递减 B.在处取得极大值C.在区间上单调递增 D.在处取得极大值5．已知盒子中装有4个红球和2个白球,从中任取3个球（取到每个球都是等可能的）,用随机变量X表示取到的红球个数,则(

)A. B. C. D.6．等比数列的各项均为正数,且,则(

)A. B. C. D.7．定义在R上的函数满足,数列满足,若存在,使不等式成立,则的取值范围是(

)A. B. C. D.8．已知曲线在,两点处的切线也是曲线的切线,则的值为(

)A. B.1 C. D.2二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设随机事件A,B满足,且,,下列说法正确的是(

)A.A与B相互独立 B.C.A与B互斥 D.10．已知,下列说法正确的是(

)A. B.C. D.除以4的余数为111．下列说法正确的是(

)A.将5封信投入3个不同的邮筒,则有种不同的投法B.5名同学排成一排拍照,甲、乙两人相邻且丙、丁两人不相邻,则有12种不同的排法C.12个完全相同的小球分给5名同学,每人至少分得2个,则有15种不同的分法D.240的正因数有20个三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知数列的前n项和公式为,则________.13．甲和乙两个箱子中各装有6个球,其中甲箱中有3个红球、3个白球,乙箱中有4个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1,2,3,从甲箱中随机摸出1个球;如果点数为4,5,6,从乙箱中随机摸出1个球,则摸到红球的概率为________.14．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为,把图①、图②、图③、图④、⋯中图形的周长依次记为,,,,⋯,面积依次记为,,,,…,则________,________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知数列为等差数列,且,.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前n项和.16．（15分）已知函数,.（1）求曲线在点处的切线方程;（2）求函数的极值.17．（15分）如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,共移动4次,每次向左或向右移动一个单位,其中每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.（1）当移动4次完成时,求质点回到原点的概率;（2）设移动4次完成时质点位于点X处,求X的分布列和数学期望.18．（17分）已知数列的首项为,点在函数的图象上.（1）证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;（2）设,.（i）求数列的前n项和;（ii）试确定所有的正整数p,使数列中存在某个连续p项的和是数列中的一项,并证明.19．（17分）已知函数.（1）证明:;（2）若,.（i）证明:恰有两个零点;（ii）若,是否存在,使得?若存在,比较与的大小;若不存在,请说明理由.参考答案1．答案：B解析：因为,,所以,.2．答案：D解析：由随机变量,且,则,所以.3．答案：C解析：由题意知,是等差数列,即是等差数列,则,得.4．答案：B解析：由导函数的图象可知:在区间上,,所以在该区间上单调递增,故A错误;在区间上,,所以在该区间上单调递减,故C错误;因为当,,当,所以在处取得极大值,故B正确;当,当,所以在处取得极小值,故D错误.5．答案：A解析：当任取3个球时,则表示取到的红球个数为1,取到的白球个数为2,所以.6．答案：C解析：由题意得,,得或（舍）,则.7．答案：C解析：因为对任意,有,数列①,将①式倒序得:②,得:,因此.将代入不等式,整理得:存在,使得成立.因为,当且仅当时等号成立,解得,即时有最小值,故,即的取值范围为.8．答案：A解析：由题,所以在A点的切线斜率为,则切线方程为,化简得;,设切点为,切线斜率为,切线方程为,化简得;因为两切线为同一直线,对应斜率和常数项相等,设斜率,则;常数项相等,将式代入得;同理可得,对于也满足同样的方程,即是方程的两个根,令,则,因为,所以若是方程的解,那么也是方程的解,即若是解,则也是解;由,,所以.9．答案：BD解析：对于A:因为,所以,所以,而,故,所以A与B不相互独立,A错误;对于B:,B正确;对于C:事件A与B互斥的充要条件为,即,而,C错误;对于D:,D正确.10．答案：ABD解析：对于A,二项展开式的通项为,取,可得的系数,A正确.对于B,令,得,B正确.对于C,对求导得,令,得,C错误.选项D:,又均含因数4,故除以4的余数为,D正确.11．答案：ACD解析：对于A,每封信都有3个邮筒可选,根据分步乘法计数原理,可得5封信共有种投法,故A正确;对于B,甲乙相邻用捆绑法,内部排列有种,将甲乙整体与剩余1名非丙丁的同学排列,有种排法,排完形成3个空位,插入丙丁有种,总排法为种,故B错误;对于C,12个相同的小球,每人至少2个,可先给每人分1个,剩下个,则转化为“每人至少1个”,采用隔板法,共有种,故C正确;对于D,因为,正因数个数为各质因数指数加1的乘积,即个,故D正确.12．答案：6解析：当时,,.13．答案：解析：记事件A为“从甲箱中摸球”,事件B为“从乙箱中摸球”,事件C为“摸到红球”.掷质地均匀的骰子,出现点数为1,2,3的概率,此时从甲箱摸到红球的条件概率;出现点数为4,5,6的概率,此时从乙箱摸到红球的条件概率;则摸到红球的总概率为:.14．答案：;解析：答题空1:初始正三角形边长为1,,每一次迭代:每条边被分成3等份,去掉中间段底边、向外作正三角形,每条边变为4条长度为原的小边,周长变为原来的倍,因此是首项、公比的等比数列,所以,;答题空2:设初始正三角形面积,第次迭代（图①→图②）:每条边上新增1个小正三角形,共新增3个,小三角形边长为,面积为原三角形的,新增总面积,,第次迭代（图②→图③）:边数变为,每条边新增个边长为的小正三角形,新增总面积,第n次迭代:每次新增的面积构成首项,公比的等比数列,,15．答案：（1）（2）解析：（1）设等差数列的公差为d,则,解得,所以.（2）由（1）得:,所以.16．答案：（1）（2）极小值,无极大值解析：（1）,求导可得,当时,,,所以曲线在点处的切线方程为,即.（2）由小问1可知,,令,解得,所以当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以的极小值为,无极大值.17．答案：（1）（2）X024P解析：（1）设质点向左移动的次数为m,向右移动的次数为n.因为质点共移动4次,且回到原点,所以向左和向右移动的距离相等,即.又,所以.每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.根据n次独立重复试验的概率公式,质点回到原点的概率为:故当移动4次完成时,质点回到原点的概率为.（2）设质点向右移动的次数为k,则向左移动的次数为,其中.质点最终的位置.所以随机变量X的可能取值为.根据独立重复试验概率公式,计算各取值的概率:当时,,;当时,,;当时,,;当时,,;当时,,.所以X的分布列为:X024PX的数学期望为.18．答案：（1）见解析（2）（i）;（ii）见解析解析：（1）因为点在函数的图象上,所以,即,整理得,又,,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,整理得;（2）（i）,,,所以①,②,①②得,,所以;（ii）,设数列从第项开始,连续p项的和为,,,数列的项全部为正奇数,因此要求T为奇数,即为奇数,因为恒为奇数,所以必须为奇数,题意等价于存在正整数m,使得③,当p为正偶数时,令,,因此,,即是4的倍数,所以是偶数,与必须为奇数矛盾,即p为正偶数均不满足条件,当p为正奇数时,令,,奇次幂保持余数,,即除以余,所以为奇数,证明如下:取（取数列第一项为连续段起点）,代入③得,解出,p为奇数,则为偶数,设,,,,所以能被整除,m为整数,又,代入得,即m是正整数,所以对任意正奇数p,取时,总能找到对应的正整数m,使连续p项和,满足题意,即满足条件的正整数p是全体正奇数,即.19．答案：（1）见解析（2）（i）见解析（ii）存在,解析：（1）设,则,令,得,令,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减