自动控制原理课件第四章.ppt

1、第四章 线性系统的根轨迹法(Root Locus),41 根轨迹法的基本概念 42 根轨迹绘制的基本法则 43 广义根轨迹 44 系统性能的分析,41 根轨迹概念,一、根轨迹定义 指当开环系统某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根相应在s平面上变化的轨迹。,二、根轨迹增益K*与开环增益K,（1）开环传递函数的两种标准形式： 尾1型： 首1型： 式中 为开环零点； 为开环极点； （2）K*与K的关系,三、根轨迹方程,即 （1）模值条件 （2）相角条件,42 绘制根轨迹的基本法则1(教材P151）,1 2 3 4,绘制根轨迹的基本法则2,特殊情况：无有限零点,确定分离点的第二种方法：,特征方程有重根

2、时，f(s)与s轴的交点只有一个，那只能是f(s)s的极值点。 而df(s)/ds =0与dK*/ds =0具有相同的方程，故而可用dK*/ds=0求解此分离点。,设单位反馈控制系统的开环传递函数为： 试概略绘出相应的闭环根轨迹图。,解： 令 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 （1）根轨迹的起点就是开环传递函数的极点：0，2，5。 （2）依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为 （3）计算分离点： 令 得 （舍去） 所以，分离点为 。,习题集例4-2,例4-1,（4）计算渐近线与实轴的交点： 渐近线与实轴的夹角： 所以，渐近线与实轴的夹角为 。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点： 闭环特征

3、方程： 令 代入上式有： 整理得： 令实部、虚部分别等于零， 得方程组： 解该方程组得: 依上面的分析可绘出相应的根轨迹图。,根轨迹 例4-2（教材P150),单位反馈系统开环传递函数为 绘制其根轨迹图。,（p1-p2）,（p1-z1）,（p1-p3）,p1,A,z1,p3,p2,p1,教材p148,p1,p3,p2,p4,z2,z1,z3,p3,p2,z1,z2,z3,p1,p4,43 广义根轨迹一、参量根轨迹,系统结构参数除了开环增益,还有其他参数,其他参数变化引起闭环极点改变的情况即可用参量根轨迹来分析。 具体做法: 为了继续使用前述根轨迹绘制方法,必须改造开环传函或特征方程。1+G(s

4、)H(s)=0等效变换为： 其中的A即等同于K* 。,P = 1 1 0 1; b=roots(P) b = -1.4656 0.2328 + 0.7926i 0.2328 - 0.7926i,二、零度根轨迹,根轨迹方程（标准形式） 即 右端的符号：为“-”时, 对应180根轨迹； 为“+”时，对应0根轨迹。 因此零度根轨迹相角满足 。,绘制零度根轨迹的基本法则,4,n-m条渐近线对称于实轴,起点,渐近线方向:,a=,k= 0,1,2, ,2k,零度根轨迹绘制规则,1343,教材P161,根轨迹示例,j,0,n=1;d=conv(1 2 0,1 2 2);rlocus(n,d),n=1 2;d

5、=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d),44 系统性能的分析,稳定性分析,根轨迹是由开环零、极点的分布绘制闭环极点随开环根轨迹增益变化的趋势图，故此，系统欲稳定，根轨迹图不能越过虚轴进入右半s平面。 根轨迹与虚轴交点处的K值为系统的临界稳定开环根轨迹增益。,稳态性能分析,动态性能分析,K的范围对动态性能的影响。,例4-19 已知系统开环传递函数 （1）画出系统的根轨迹； （2）计算使系统稳定的K值范围； （3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。 解:（1）画根轨迹 a) 分离点由方程 得 解得s1=-6.65在根轨迹上,因此是汇合点。 s2=-1.35不在根轨迹上,舍去。

6、 b)求分离角 。,c)求与虚轴交点 系统特征方程为 劳斯阵列为 当 时, 由辅助方程 可求出根轨迹与虚轴的交点为 。 （2）由劳斯阵列可知当 K3/4 时,系统稳定。 （3）开环系统含有三个积分环节,属型系统,该系统对于斜坡输入的稳态误差为零。,例4-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统根轨迹；（2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的k值范围；（3）求产生持续等幅振荡时的k值和振荡频率；（4）求闭环主导复数极点具有阻尼比为0.5时的k值和闭环极点。,解：（1）画根轨迹图 a）该系统有三条根轨迹，开环极点为0，-2，-4。 b)求渐进线 于是，渐进线与实轴交点为（2，0） c）求分离

7、点 由开环传递函数知P(s)1，Q(s)=s(s+2)(s+4),代入方程 有 3s2+12s+8=0 s1,2-21.155，s1-3.155不在根轨迹上，舍去。 s2-0.845是分离点，分离角为90o。 根据幅值条件可以求出分离点处的增益,d）根轨迹与虚轴的交点 特征方程为 劳斯阵列为 当k48时，辅助方程为6s2480 解得 s1，2j2.83。 (2)当k48时，系统有一对共轭虚根，系统为临界稳定,产生持续等幅振荡，n2.83。 （3）当 时，系统闭环主导极点为一对共轭复数极点，系统瞬态响应为欠阻尼状态，阶跃响应为阻尼振荡形式。 （4）当 时，系统闭环主导极点为一对相等负实极点，系统

8、瞬态响应为临界阻尼状态，阶跃响应为单调形式。 (5）当 时，系统闭环主导极点为一对不等负实极点，系统瞬态响应为过阻尼状态，阶跃响应为单调形式。,（6）阻尼角arccos0.560o，解方程或由图可知阻尼角为60o的主导极点 s1,2-0.675j1.138 由于nm2， 因此闭环极点之和等于开环极点之和，另一个闭环极点为 s3（-2）（4）s1s2-4.686 根据幅值条件知,增加开环极点： 重心向右移,增加开环零点： 重心向左移,附加开环零点、极点对根轨迹的影响,增加开环偶极子： 在原点附近增加开环偶极子，系统的动态性能变化不大，稳态性能得到提高。,根轨迹局限: (1)无闭环零点信息 (2)表达稳态误差不直观,工程上，某极点 与某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级，就可认为这对零、极点为偶极子。,第四章总结,（1）正确理解根轨迹的概念； （2）掌握根轨迹的绘制法则，并能熟练绘制系统的根轨迹； （3）熟练应用等效开环传递函数概