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文档简介

1、第二节 幂级数与解析函数,1、幂级数的收敛性,最简单的解析函数项级数就是幂级数： ，这里c0,c1,. 为给定的常数。为讨论其收敛性，首先给出如下几个定理。,定理1(Abel)：如果幂级数在某点z0(z00)收敛，则它在以O为 圆心并通过z0的圆内绝对收敛，并且在任何一个较小的闭圆 |z| (|z0|)上一致收敛。,证明：由于幂级数在z0点收敛，所以其各幂级数项在z0点有界，令： ，则在任意较小的闭圆内有：,则在任意小闭圆内：,显然，在任意小闭圆内幂级数绝对收敛。,推论：如果幂级数在某点z0(z00)发散，则它在以o为圆心并通过z0的圆的外部|z| (|z0|)必定发散。,证明：由定理1知，如

2、果以o为圆心并通过z0的圆的外部|z| (|z0|)有一点收敛，则z0(z00)点必收敛。显然结论错误，所以推论成立。,例1、证明级数 除z=0点外都发散。,证明：对于z0，则：,显然，其通项无界，所以该幂级数发散。,例2、证明级数 处处收敛。,证明：若令：,则： ，所以不管z离O点有多远，只要从某项N后， 就可保证：,显然，级数绝对收敛。,例3、证明级数 在|z|1时收敛，而|z|1时发散 。,证明、当|z|1时有,所以收敛。,而z=1时，该幂级数发散，则|z|1时幂级数发散 。,定义：如果幂级数在复空间上并不是处处收敛或处处发散，则必然存在以原点O为圆心、R为半径的圆(|z|R)，使得在圆

3、内幂级数处处收敛，而在圆以外处处发散，该圆称为该幂级数的收敛圆，而R就称为收敛半径。,收敛半径的计算方法：对于幂级数 ，其收敛半径为：,例4、求幂级数 的收敛半径.,解：根据 ，三个幂级数的收敛半径都是1。,而在收敛圆上： 处处发散； 在z=1处发散，在z=-1时收敛； 在收敛圆上处处收敛。,2、解析函数的幂级数表示,定理2(Taylor)：如果函数f(z)在区域D上解析，D，只要圆 |z-|R含于D内，则f(z)在圆内可以展成幂级数： 其中系数为：,证明：设z为圆内任意一点，则根 据Cauchy积分公式：,这里为D内以为圆心的圆周，z点在内。,而：,对于任意 ，由于： ，则利用：,有：,所以：,(1) ：指数函数处处解析，且：,3、几个初等解析函数的幂级数表

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