车身CAGD中常用功能

1、第6章 车身CAGD中常用功能及其实现,本章介绍汽车车身外形数模理论的选择、车身外形曲线曲面的构造、车身外形曲线曲面的拼接与过渡、三角域曲面的生成、等距面计算、截面外形计算、汽车车身上任意特征线的生成和追加造型等功能及其实现方法。 6.1 车身外形曲线曲面数学模型理论的选择 车身外形曲线曲面多属于自由型曲线曲面，进行计算机辅助几何设计时，首先要选择恰当的数学模型理论。参数样条曲线和孔斯曲面以及贝齐尔、B样条方法都可以对自由型曲线曲面进行拟合和插值。其中孔斯曲面由于造型功能弱，在实际系统中应用较少。当前广泛应用的是贝齐尔和B样条方法。下面我们对贝齐尔方法和B样条方法作总结性的分析和对比。 贝齐尔

2、方法用贝齐尔多边形来定义曲线，贝齐尔曲线表示为对贝尔多边形的逼近。贝齐尔曲线曲面具有一系列优美的逼近性质。使得它特别适用于利用计算机进行外形设计。从贝齐尔方法的一些在理论研究和实践中很有用的性质，如端点性质、凸包性质、几何作图法和分割等引出了一系列具有理论和实际意义的结果和方法，如利用凸包性质的曲线曲面分割求交、三次贝齐尔曲线的几何特征、对曲线曲面的形状控制、曲线曲面计算的几何作图法等等。贝齐尔曲线曲面方法的缺点是，方程的整体表达带来了局部修改困难，且更多地需要利用拼接技术来构造组合贝齐尔曲线曲面，以表示复杂的曲线曲面外形。贝齐尔曲线曲面拼接中C1连续与C2连续的一般条件已经得到了解决，使得贝

3、齐尔方法在CAGD领域获得了愈来愈广泛的应用。,B样条方法克服了贝齐尔方法因采用单一多项式带来的缺点，而采用,了分段多项式的样条方法，它无需象贝齐尔方法那样需要采用较为麻烦的拼合来构造复杂的形状，轻而易举地解决了两曲线段之间、两曲面片之间的连续问题。 在交互设计过程中，人们对所设计的整条曲线和整张曲面的大部分满意而某些局部不满意的情况是经常发生的。B样条方法克服了贝齐尔方法的整体性而不具备局部性的缺点，它可以随心所欲地通过直接移动有关控制顶点以修改某个局部范围内的形状，而曲线曲面的连续性保持不变。因此，B样条方法修改设计比较容易。B样条曲线与贝齐尔曲线一样，具有变差减少性质，然而B样条曲线曲面

4、比贝齐尔曲线曲面有其更强的凸包性质。 B样条方法所具有的许多优良性质，使它与贝齐尔方法等相比，具有更强的造型功能，这就使得它在汽车、飞机、船舶、电器等产品外形设计中日益受到人们的重视和获得愈来愈广泛的应用。特别是非均匀B样条、非均匀有理B样条曲线曲面理论，可以获得更强大的造型功能。除了顶点对曲线曲面的控制之外，非均匀B样条曲线曲面可以通过参数轴节点分布的调整来控制曲线曲面的形状。特别是端点重节点和内部重节点技术的成熟，使得复杂曲线曲面的一次拟合和插值成为可能。非均匀有理B样条方法可以精确表示规则曲线与曲面，并可把规则曲面和自由曲面统一在一起，同时由于增加了额外的自由度（理因子），因而它具有更强

5、大的造型功能，使设计者能够更方便地实现自己的设计意图。,但是均匀B样条曲线曲面由于构造基函数简单，运算速度快，占计算机存贮空间少以及与贝齐尔方法的很方便的转化，仍不失为一种优良的造型工具。 第4章虽然对上述几种方法进行了较详细的讨论，但要想应用这些技术去解决汽车车身的几何造型问题，还需要有实用的软件系统。在国外，尤其是美国，近年来开发了几十个计算机辅助几何造型系统，并得到了广泛的应用。引进这类软件价格昂贵，有时软件的费用要比购买硬件设备花钱还多。不少单位花大量外汇引进这类软件，但由于国内的许多标准和要求与国外不同，使用起来有许多不便之处，加上没有源程序，难以进行二次开发，因而引进这类软件的效果

6、普遍不高。 有时我们自己根据本部门的使用情况，开发一部分计算机辅助产品几何造型软件并不断丰富和完善，不失为一种有远见的作法。如果是这样，首先要考虑优选一种数学模型的理论方法，为了使软件系统的内部结构更清楚，整个系统尽量使用一种固定的方法，即用统一的数学模型和数据结构来表达曲线曲面，既使是直纹面、回转面也都要转换表达形式，这样在处理多块曲面时会有许多方便。,6.2 车身外形曲线曲面的构造,生成曲线和曲面是车身外表面几何造型的重要内容。一个实用的应用软件应能提供多种实用的曲线曲面生成算法，便于使用者进行更灵活的处理。这里注重的是实际应用，而不去刻意迫求理论上的严谨，只要在工程要求的精度内解决了设计

7、问题就是成功的算法。 6.2.1 曲线的生成方法 (1)已知特征顶点生成曲线（正算） 在这种情况下，贝齐尔和B样条方法都给出了直接的曲线正算公式，只要将特征顶点与基函数线性组合，就可以生成参数曲线。 （2）已知型值点序列生成曲线（反算正算） 首先要反算出特征顶点多边形，再调用正算功能求出整条曲线的插值。 （3）生成封闭曲线 只要在型值点反算顶点时，给出要求曲线封闭的条件，当然还要考虑封闭连接点的连续阶，反算后就可拟合出封闭的光滑曲线。 （4）投影曲线的生成 一条空间B样条曲线向某一坐标平面的投影会投出一条平面曲线，这是极简单的情形。而在实际造型中，还希望能求出曲线在曲面上的投影。曲线在曲面上的

8、投影是指一条曲线上所有点在曲面上投影的连线，在工程应用中，只在求出曲线上有限个离散点在曲面上的投影并拟合投影点即可求出投影曲线。,现在问题归结为一个点在一张曲面上的投影如何确定：,设某一空间点Q (x、y、z)，空间曲面r (u,w)。如果Q点在r(u,w)上有投影并设投影点为R，那么投影点应满足: 其中是任意常数， 表示曲面上R点处沿u和w方向切矢。方程可以通过(6.2.1-1)式数值解法来计算。但要考虑曲面有一个以上投影点的情况。（5）曲线的交互修改 用B样条方法生成的曲线具有良好的局部性，便于进行交互修改。只要在软件设计时提供一个方便的人机对话接口就可以交互设计曲线，对于曲面也类似。图6

9、.2-1给出了曲线设计实例。,6.2.2 曲面的生成方法,(1) 已知特征顶点网格生成曲面（正算） 由介绍的正算方法直接生成参数曲面。 (2) 已知曲面的控制型值点求曲面（反算正算） 这是汽车造型设计中最常应用的生成曲面的方法。这种方法包括反求特征顶点和正算插值曲面两部分内容，第2章已经进行了讨论。 （3）生成封闭曲面 尽管在汽车外形表示中，封闭曲面很少应用，但是封闭曲面的实现可以允许我们近似地用自由曲面逼近某些回转面。这样有一个好处就是在一个软件中，几何形体尽量用一种模型来描述，不必经常进行转换。生成封闭曲面的具体方法完全类似于生成封闭曲线，只须在曲面反算时，补充相应的使曲面封闭的边界条件。

10、 (4)用线来生成面 最常见的情况是由两条曲线或多条曲线控制生成一块曲面,由于每条曲线的原始型值点的数目可能不相同。在处理时要进行调整,具体调整过程应由软件支持交互进行。调整时应考虑某一条线具有代表性，那么这条线的型值点应全部保留。也有时取型值点数目最少的那条线作为调整的参考。无论如何调整,最终将型值点排列为mn网状重新拟合曲面。 还有一种情况就是由四条首尾相连的曲线构成曲面边界，生成整块曲面。相当于已经有了四边域求作曲面。实际应用当中,往往要求生成的曲面块本身光滑连续,还应照顾到四边的连续问题,处理起来比较复杂。,但基本的方法包括以下几个步骤：,1) 边界型值点数目的调整； 2) 根据边界的

11、跨界连续或边界型值点的分布情况补充边界内的型值点； 3) 拟合曲面。 这里给出一些曲线曲面设计的实例,见图6.2-2、图6.2-3。,图6.2-3,车身外形曲面造型实例 （sanlng oubao qilin senfeidak),112,6.3 车身外形曲线曲面的拼接和过渡,6.3.1 拼接 车身外形的复杂性决定了它不能用一块曲面构成，汽车外形一般都由几十块大小不等形状不一的曲面拼接而成。从拼接的连续性要求来讲，C0和C1连续已能够满足车身设计的要求。C0连续对曲线来说是共端点，对曲面来说是共边界。C1连续对曲线来说是在拼接点处共切矢，对曲面来说是在拼接边上共法矢。针对贝齐尔方法进行的曲线曲

12、面拼接算法比较简单，在第2章中已作过介绍。下面结合B样条方法讨论拼接在车身外形曲线曲面设计中的应用。 在实际设计中会遇到的拼接情况主要有： (1) 两张曲面要拼接的对应 边有共同的型值点，对于更 一般的情况,两曲面的拼接边 不等长,形成所谓“品”字形拼 接。车身在分块测量时， 这种情况是最为普遍的,假如 我们规定,第二张曲面不变， 将第二张曲面的边界导矢赋 给第一张曲面,利用已知的边 界导矢拟合第一张曲面就能 达到两曲面的光滑拼接。 图6.3-1是型值点对应情况图示, 图6.3-2是曲面拼接实例。,(2) 一般情况下的拼接，即两张曲面没有公共部分，甚至可以离得较远，,两曲面一点关系也没有。 拼

13、接步骤是： 1) 先假设第一张曲面不变， 设计第二张曲面达到与第一 张的光滑拼接； 2)确定拼接时边界的对应边位 置, p1至p2段曲线为对应边界； 3)在边界上对应拼接边位置上 插值出离散型值点,其个数要与 第二曲面对应边的型值点数目 相同,并求出各型值点处的导矢； 4)将第一张曲面上对应边的型 值点的位置和导数赋给第二块 曲面，生成第二张曲面，达到 两曲面块的光滑拼接。图6.3-3 给出了两曲面无公共边界时的 几种拼接实例。,6.3.2 生成过渡面,在两张曲面之间生成第三张过渡曲面是车身外形设计中常用的功能。车身外形上有很多部位是光滑的狭长曲面,起着过渡两曲面块的作用。其不仅对整机的性能有

14、影响而且涉及造型艺术风格。对这类曲面一般要作特殊处理，称为过渡面。常有圆角、非圆角、变圆角过渡等。飞机机身与机翼间的整流包皮、压汽机叶片的根部、车身的顶盖与前围、顶盖与车门、前围与车门之间等的狭长曲面都是过渡面应用的例子。 在车身外形设计中对过渡面的圆角或非圆角没有严格的定义，在制作产品模型时对这类曲面的处理也只考虑过渡效果，尺寸是近似的。所说圆弧半径和切点的位置均是模糊概念。 鉴于这些“模糊不清”的概念，一般以追求“形似”保证外形效果为主，另外还由于这些过渡面圆角较小，形状狭长，测量是极其困难的，误差较大。一般无需测量就生成过渡面。在造型时对此不作主曲面处理，也不需作出两曲面的理论交线，而是

15、在拟合好两张主曲面后自动生成过渡面，并且保证与主曲面之间的C1阶连续。,下面介绍一种基于B样条曲面的过渡面生成算法：,(1) 设有两张任意曲面r1（u,w）和r2（u,w），图6.3-4表示了两张曲面及其边界对应型值点处的u方向切矢和v方向端点的v方向导矢； (2) 取出过渡面上两列型值点及各点的导矢为已知条件生成第三张过渡曲面。当然还有各种繁简不同的算法，速度和效果各不相同。图6.3-5给出了过渡面设计实例。,6.4 三角域曲面的生成,曲面沿一个方向连接时，靠曲面的拼接和圆角过渡曲面就能完成。但当多块曲面沿不同的方向连接时,要使多个曲面保证圆滑地连接，经常遇到三角域情况。图6.4-1给出了汽

16、车前风窗曲面SW ,顶盖曲面ST和侧围曲面SS及它们的中间过渡曲面STW 、STS 、SWS，这些曲面围出一个三角区域。要求生成这个三角域曲面并能实现与各曲面光滑拼接。 由于三角域形成的条件 苛刻，因此处理比较复 杂，幸亏一般的三角域 尺寸较小，作近似处理 不会带来很大的误差。 因此从工程应用角度出 发，可以考虑简化计算。,一种方法是将三角域的三条边界数据看成是四边界的一条边退化为,一点而形成的。这样在数据测量时， 仍按四边域采集型值点，生成曲面 后，再按正常曲面一样进行拼接等 操作。如图6.4-2所示。另一种比较 简单的方法是用生成过渡面的方法 确定三角域曲面。先将三角域曲面 看成是由两张曲

17、面的过渡面。当然 三角域曲面与两张过渡面达到了C1 连续，再检查三角域曲面与第三张 曲面之间连续情况。如果达不到光 滑连续，再作拼接处理。 有关更 精确的算法，如利用边界或顶点上 的位置斜率信息，在三边界内构造 三角域超限插值曲面，这里不详述。 图6.4-3给出了三角域构作实例。,6.5 等距曲面计算,汽车车身曲面上常有所谓二块曲面平行的概念。例如,车身上外覆盖件及其它板件、玻璃等，一旦用数学方法表达了它们的一个表面，如果已知料厚,它们的另一个表面就应该能够通过已经建立的曲面来表达。 在实际三维坐标测量及产品设计工作中，经常有这种需要。在汽车制造中,也常需要提供等距曲面的数据。比如，用数控铣床

18、加工双曲度零件或工装时，一般都采用球头铣刀。只要刀具中心在等距曲面上运动，就可以加工出需要的表面。 从几何上讲，所谓两个曲面等距,是指两个曲面上处处具有共同的法线,且沿法线的距离为常数。下面以B样条曲面为例讨论它的计算方法： 设曲面方程为 则曲面上各点的法矢为 单位法矢量的分量为,等距曲面方程为：,其中R为法向等距两曲面间的法向距离。图6.5-1是曲面及法向等距面的两个例子。,6.6 汽车车身截面外形计算,汽车车身截面外形计算是车身CAD中常用功能之一。在汽车车身设计中的取样板，实际上是用平面与车身外形曲面求交，其交线就是车身样板线。按照产品结构布置不同，截面外形计算可以分为正截面与斜截面两种

19、情况。正截面是指零件平面与某一坐标轴垂直，车身外形设计常常需要计算垂直于x轴或y轴（或z轴）的截面线。斜截面是指零件平面不垂直于坐标轴的情况。正截面外形的计算比较容易，斜截面外形计算比较复杂。下面针对汽车复杂曲面外形的B样条曲面,分别介绍正截面外形计算和斜截面外形计算的算法。 6.6.1 正截面外形计算 以求垂直与x轴的截面外形为例介绍正截面外形的计算方法,与y轴（或z轴）垂直的截面外形的计算方法也完全类似。 设给定截平面方程为： x x0 = 0 (6.6.1-1) 被截曲面方程为： r（u,w）= U M V MT WT (6.6.1-2) 其中，U = u3 u2 u 1, WT = w

20、3 w2 w 1T , M为样条曲面系数方阵，V为顶点方阵。 (6.6.1-2)式的分量形式为: (6.6.1-3),由x0 = U M Vx MT WT可推证出,当给定参数u（或w）时,该方程是关于,w（或u）的三次曲线方程,可以用对分区间法求出其实根w0。并且可以得出这样的结论：同一曲面上等w线上的点的x分量相同,即等w线切出的外形是正截面外形。于是可将wi = w0 、ui =（i 1）/（m1+ 1）代入(6.6.1-3)式,求出截面外形线上的一系插值点： (6.6.1-4) 其中，i = 1,2, m1, m1+ 1, m1+ 2 ；m1为截面外形线上的插值点数。 图6.6-1给出了

21、车身截面线实例。,6.6.2 斜截面外形计算 (参看唐永革04年发表的论文）,实际设计和生产中,计算曲面斜截面外形的问题经常遇到。对于由曲面片拼接成的合成曲面,如双三次参数样条曲面或双三次B样条曲面。计算其上的斜截面外形,通常采用对整个曲面的所有曲面片逐片扫描的算法。这种方法因为需要对整个曲面进行扫描,因此,计算时间较长。这里提出的算法,是根据实际问题的情况,仅需沿曲面的三条边界进行扫描即可找到斜截面外形上的一个端点。然后,利用跟踪求迹的算法可计算出斜截面外形上需求出的全部点。本算法简化了计算过程，显著地缩短了计算时间。 1. 斜截面外形曲线方程 双三次参数样条曲面或双三次B样条曲面，其曲面片

22、方程均可写成如下形式： r(u,w) = U S W T 0u,w1 (6.6.2-1) 其中，U = u3 u2 u 1， WT = w3 w2 w 1T ，S是一个元素为矢量的四阶方阵，分别记其三个分量为Sx , Sy , Sz 。 斜截平面的方程为: ax + by + cz d = 0 (6.6.2-2) 方程(6.6.2-1)、(6.6.2-2) 联立，即将x = U Sx WT ，y = U Sy WT ，z= U Sz WT代入(6.6.2-2)，得: U a Sx+b Sy + c Sz WT - d = 0 令矩阵 G = a Sx+b Sy + c Sz 则有 U G WT

23、 - d = 0 0u,w1 (6.6.2-3) 该式即为某块曲面片上的斜截面外形曲线方程。 当给定u某一值时，由(6.6.2-3)可以得到一个关于w的三次方程。解此方程可求出一个相应的w值。所得u、w对应的点即为斜截面外形曲线上的一个点。同样，由(6.6.2-3)按给定的w值亦可求出相应的u值。,2. 找始点,一般情况下,斜截面外形均通过曲面的边界,实际问题中可能出现图6.6-2所示6种情况()。这6种情况的斜截平面分别与合成曲面的u = 0、w= 0、w= 1的边界A、B、C相交。因此,只需沿A、B、C三条边界扫描即可找到斜截面外形曲线的一个端点。 扫描的办法是沿边界 ,比如A边界,逐个将

24、边 界上相邻两个型值点 P1，j-1、P1，j的坐标分 别代入方程(6.6.2-2)， 若计算结果不等于零， 且所得两值异号时，则 斜截面外形曲线在该段 边界曲线上有一端点。 若其中有一值等于零，则端点即为对应的型值点。,3. 跟踪求迹,一旦找到了斜截面外形曲线的一个端点所在曲面边界的某段,便可确定该点所在的曲面片。调出该曲面片的矩阵S，即可算出该端点的坐标。比如,斜截面外形的一个端点Q在A边界(u=0)的P1，j-1与P1，j间的一段上(见图所示)。Q点所在曲面片为r1, j。斜截面外形曲线穿过曲面片r1，j可能有三种情况(图中)。当然,还可能通过角点r1, j (1,0)或r1, j(1,

25、1)。算出Q点坐标后,在u 向区间 0,1中取等增量u进行计算斜截面外形曲线上一系列点的坐标。亦即,沿图所示箭头所指的方向跟踪求出外形点的坐标。若点落在曲面片的 u=1边界上,属于情况,向下跳块。w若当u1时，w已超出区间0,1),则需判断曲面片 u 在w= 0还是w= 1边界上有 点。若在w= 0边界上有点 ,向左跳块,否则向右跳块。 若斜截面外形曲线的始点 在曲面的B或C边界上,可用 类似的方法进行跟踪求点。,6.7 汽车车身外形上任意特征线的生成,在汽车车身外表面的所有曲面片生成并连成整体后，还要在外表面上设计出一些曲线，如汽车的窗框线和门缝线等，我们把这类曲线称为特征线。它的设计方法是

26、先在油泥模型的某一曲面A上画一条线Lk ，如图所示，然后通过测量机测出这条线Lk上的一些离散点的三维坐标。问题是，这些坐标只有两个是可信的。因为当曲面A拟合以后，测点H的三个坐标不大可能都正好落在曲面A上，因此对H点来说，要想确切地知道它的坐标，只能先定两个最能反映它在曲面A上的位置的坐标，然后把它代入曲面A方程中去，求得第三个坐标，才能完全确定曲面上的一点H，下面讨论计算方法。 将曲面A的方程写成如下B样条形式： 不妨假设H点已确定的两个坐标为x*、y*， 要求的第三个坐标z* ，先将x*、y*分别代 入(6.7-1)式的前二个方程,解出对应的参 数(u*,w*),然后代入第三个方程,就可得

27、到第三个坐标z*。 对于一系列的点可以得到一系列的参数对(u,w),对这些(u,w )进行适当拟合可以得一函数关系u = f (w) (或w = g(u ),由此,可以方便地得到曲线Lk上的任一点坐标。,如果在软件系统里已经先有了曲面与平面求交的功能，那么勾画开缝线,的工作可以来得比较容易，将算法分解为以下几步： (1) 输入一点的两个坐标值x0和y0（或y0和z0或z0和x0），及计算精度E，(这里假设输入x0和y0，求z0)，转(2)； (2) 构造一以x轴为法矢量,且过x0点的平面,则该平面方程为x - x0 = 0,转(3)； (3) 用平面x - x0 = 0截曲面，求出截面线上的第

28、一个点的坐标值(x1 , y1 , z1)，此时x1 - x0 = 0，设y1 - y0 y1，转(4)； (4) 如果y1 E，则输出z1值，该值即为所求结果，结束。否则，取参数步长为A，转(5)； (5) u = u + A (或w = w + A)，求截面线上的下一个点的坐标（x2,y2,z2）值，此时x2 - x0 = 0，设y2- y0 y2，转(6)； (6) 如果y2 E,则输出z2值,该值即为 所求结果，结束。否则,转（7）； 如果y1与y2符号相同，且 y2 y1 ，则转（8）。如果 y1与y2符号相反，则取步长为 原步长的一半,既AA2,再转（8）； 将（x2,y2,z2）

29、值赋给(x1 , y1 , z1)， 即(x1 , y1 , z1) （x2,y2,z2）转第（5）步。 图6.7-2 曲面上勾画特征线的实例。,6.8 汽车车身外形曲线曲面的追加造型,在曲线或曲面上再次构造曲线或曲面的方法称为追加造型，追加造型包括以下一些方法：曲线曲面的寄生、延拓、机身曲面加筋等。 6.8.1 曲线寄生 设原曲线AB为三次自由曲线，CD 为AB上的一段，AB是已知的曲线。 CD是在AB上生成的曲线，CD称为AB 的寄生曲线。其中C、D称为寄生的始 末点(见图)。 寄生曲线在造型时是很有用的方法，例如，想删除曲线上的某一段曲线，就可以做原曲线的寄生曲线，再将原曲线删除，得到的

30、寄生曲线实际上是原曲线删除了指定部位以后的剩余部分。 寄生曲线算法比较简单，实际应用中，往往首先给出寄生始末点的某一坐标值。例如，先指定了C、D两点的x坐标xC和xD，通过平面x = xC，x = xD与原曲线AB求交的方法，即可求出C、D两点的另外两个坐标yC，yD，zC，zD，并计算出C、D两点对应的参数t的值tC，tD。在tC tD 之间取分割并计算曲线AB上对应于此参数下的坐标值，作为曲线CD的型值点。再反算出特征顶点存入文件中，寄生曲线计算完毕。,6.8.2 曲面寄生,在原曲面ABCD上再生成一块子曲面EFGH，曲面EFGH叫原曲面ABCD的寄生曲面。寄生曲面是曲面追加造型的重要功能。车身设计过程中，大量的局部造型如车门外板上门把手凹面，加油口盖，车门边界等等，有的直接就是原曲面的寄生曲面，有的是要将寄生以后的曲面从原曲面上删除，再根据寄生曲面的边界，重新构造新的局部曲面。 曲面寄生的算法归结为下列几个步骤： (1) 将寄生曲面的边界EF，FG， GH，HE分别投影到原曲面上； (2) 用原曲面ABCD上的各条 等参数与边界线求交，求出 交点坐标值及相应的参数； (3)根据步骤(2)求出的边界参 数范围在原曲面上取出型值点数据