高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数课件

1、2.4二次函数与幂函数,基础知识自主学习,课时训练,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x). 顶点式：f(x). 零点式：f(x).,知识梳理,a(xx1)(xx2)(a0),a(xm)2n(a0),ax2bxc(a0),(2)二次函数的图象和性质,(3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 幂函数的图象过定点(1,1)； 当0时，幂函数的图象都过点 (1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增； 当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减.,2.幂函数 (1)定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中

2、x是自变量，是常数. (2)幂函数的图象比较,2.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是 .( ) (2)二次函数yax2bxc，xr不可能是偶函数.( ) (3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (4)函数y2x 是幂函数.( ) (5)如果幂函数的图象与坐标

3、轴相交，则交点一定是原点.( ) (6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.( ),考点自测,函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线， 其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知， 区间(，6)应在直线x2a的左侧， 2a6，解得a3，故选d.,1.(教材改编)已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是 a.a3 b.a3 c.a3 d.a3,答案,解析,2.幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是,答案,解析,答案,解析,3.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_.,1,2,如图，

4、由图象可知m的取值范围是1,2.,4.(教材改编)已知幂函数yf(x)的图象过点 ，则此函数的解析式为_；在区间_上单调递减.,(0，),答案,解析,单调减区间为(0，).,题型分类深度剖析,题型一求二次函数的解析式,例1(1)(2016太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.,设函数的解析式为f(x)ax(x2)，,答案,解析,得a1，所以f(x)x22x.,x22x,(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xr，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式.,解答,f(2x)f(2

5、x)对任意xr恒成立， f(x)的对称轴为x2. 又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2. f(x)0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)， 又f(x)的图象过点(4,3)， 3a3，a1， 所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)， 即f(x)x24x3.,求二次函数解析式的方法,思维升华,跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，br)，xr，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.,设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa， 由已知f(x)ax2bx1，a1， 故f(x)x22x1.,答案,解析,x22x1

6、,(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，br)是偶函数，且它的值域为 (，4，则该函数的解析式f(x)_.,由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，,又f(x)的值域为(，4， 2a24，故f(x)2x24.,答案,解析,2x24,题型二二次函数的图象和性质 命题点1二次函数的单调性,例2函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是 a.3,0) b.(，3 c.2,0 d.3,0,答案,解析,当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件.,解得3a0.综上，a的取值范围为3,0.,引申探究 若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，

7、)，则a_.,3,由题意知a0，,答案,解析,命题点2二次函数的最值 例3(2016嘉兴教学测试)已知mr，函数f(x)x2(32m)x2m.,g(m)max|f(1)|，|f(1)|max|3m2|，|4m| max23m,4m. 又(4m)(23m)22m0，g(m)4m.,解答,(2)对任意的m(0,1，若f(x)在0，m上的最大值为h(m)，求h(m)的最大值.,解答,命题点3二次函数中的恒成立问题 例4(1)已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_.,答案,解析,(，1),f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0， 令g(

8、x)x23x1m， 要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立， 只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可. g(x)x23x1m在1,1上单调递减， g(x)ming(1)m1. 由m10，得m1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(，1).,(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_.,2ax22x30在1,1上恒成立. 当x0时，30，成立；,答案,解析,(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等

9、式恒成立求参数取值范围的思路及关键 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.,思维升华,跟踪训练2(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足10，则实数a的取值范围为_.,答案,解析,跟踪训练2已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.,解答,函数f(x)x22x(x1)21， 对称轴为直线x1， x1不一定在区间2，a内， 应进行讨论，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增， 则当x1时

10、，f(x)取得最小值，即f(x)min1. 综上，当21时，f(x)min1.,题型三幂函数的图象和性质,则k等于,答案,解析,答案,解析,解2m1m2m1，得1m2.,(1)幂函数的形式是yx(r)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.,思维升华,跟踪训练3 (2016绍兴模拟)幂函数的图象经过点(4,2)，若0ab1，则下列各式正确的是,答案,解析,典例(14分)已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值.

11、,分类讨论思想在二次函数最值中的应用,思想与方法系列3,已知函数f(x)的最值，而f(x)图象的对称轴确定，要讨论a的符号.,思想方法指导,规范解答,解f(x)a(x1)21a. 1分 (1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意， 舍去； 5分 (2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a ； 9分 (3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3. 13分 综上可知，a的值为 或3. 14分,返回,课时训练,1.函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是 a.m2 b.m2 c.

12、m1 d.m1,已知函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称， 则m2；反之也成立. 所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.幂函数y (mz)的图象如图所示，则m的值为 a.0 b.1 c.2 d.3,y (mz)的图象与坐标轴没有交点， m24m0，即0m4. 又函数的图象关于y轴对称且mz， m24m为偶数，因此m2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f

13、(0)，则实数a的取值范围是 a.0，) b.(，0 c.0,4 d.(，04，),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x2(如图)， 若f(a)f(0)，从图象观察可知0a4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于 a.1 b.1 c.2 d.2,答案,解析,函数f(x)x2axa的图象为开

14、口向上的抛物线， 函数的最大值在区间的端点处取得， f(0)a，f(2)43a，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知二次函数f(x)2ax2ax1(af(x2) c.f(x1)f(x2)d.与a值有关,答案,解析,又依题意，得x10，又x1x20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016嘉兴教学测试一)若函数f(x)是幂函数，则f(1)_，若满足f(4)8f(2)，则f( )_.,设f(x)x，则f(1)1， 由f(4)8f(2)，得482，3，,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8

15、.当0x1时，函数f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2的大小关系是_.,如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象， 由此可知，h(x)g(x)f(x).,答案,解析,h(x)g(x)f(x),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_.,答案,解析,(，5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,方法一不等式x2mx40对x(1,2)恒成立， mxx24对x(1,2)恒成立，,m5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,方法二设f(x

16、)x2mx4，当x(1,2)时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.若函数f(x)x2a|x1|在0，)上单调递增，则实数a的取值范围是_.,0,2,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,综上，a的取值范围是0,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知函数f(x)x22ax2，x5,5. (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；,当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5. f(x)的对称轴为x1， 当x1时，f(x

17、)取最小值1； 当x5时，f(x)取最大值37.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数.,f(x)x22ax2(xa)22a2的对称轴为xa， f(x)在5,5上是单调函数， a5或a5，即a5或a5. 故实数a的取值范围为(，55，).,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知幂函数f(x) (mn*). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,因为m2mm(m1)(mn*)，

18、 而m与m1中必有一个为偶数，所以m2m为偶数， 所以函数f(x) (mn*)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数.,(2)若函数f(x)的图象经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件 f(2a)f(a1)的实数a的取值范围.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以m2m2，解得m1或m2.,又因为f(2a)f(a1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13.(2016余姚中学期中)设函数f(x)x2pxq(p，qr). (1)若p2，当x4，2时，f(x)0恒成立，求q的取值范围；,当p2时，f(x)x22xq0恒成立， 只需f(x)min0. 易知f(x)x22xq在x4，2上单调递减， 所以f(x)m