2.1平面向量的实际背景及基本概念

1、2.1平面向量的实际背景及基本概念,第二章 平面向量,2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示,2.1.3 相等向量与共线向量,1,PPT学习交流,问题1:一千吨的大米和一千吨的铁谁更重?,问题提出,速度是既有大小又有方向的量.,问题2:老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜,而猫由A向东南方向每秒10米的速度追. 问猫能否抓到老鼠?,质量是只有大小没有方向的量.,2,PPT学习交流,湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.,1.在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？,1.向量的物理背景与概念,2.物体受到的重力、

2、物体在液体中受到的浮力, 被拉长或压缩的弹簧的弹力力是常见的物理量，也是既有大小又有方向的量.,3,PPT学习交流,（1）向量与数量 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).,注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.,练习 下列物理量不是向量的是（ ）, 质量 速度 位移 力 加速度 路程 密度 功,辨析：温度含零上和零下温度，所以温度是向量.（ ） 直角坐标平面内的x轴，y轴是向量. （ ）,4,PPT学习交流,一个实数，可用数轴上

3、的点表示；一个二次函数，可用一条抛物线表示；一个角的正弦、余弦和正切，可用三角函数线(有向线段)表示数学中有许多量都可以用几何方式表示.,2.向量的几何表示,由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1,（1）数量的表示,而且不同的点表示不同的数量.,5,PPT学习交流,有向线段定义,在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.,A（起点）,B（终点）,如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 .,线段AB的长度也叫做有向线段 的长度，记作 .,思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？,箭头

4、所指的方向表示有向线段的方向.,有向线段的三个要素：起点、方向、长度.,有向线段使向量的“方向”得到了表示，而线段的长度可表示向量的大小，这样我们就可用有向线段表示向量.,6,PPT学习交流,（2）向量的几何表示,（3）向量的表示方法：,一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如,若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，（书写时用注意用 表示），如上图.,用有向线段表示.,画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.,在建立了坐标系后，还可以用坐标表示向量（以后将学到

5、）.,7,PPT学习交流,向量 的大小，就是向量 的长度（或模）,记作 ，,或者记作 .,（4）向量的模,思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？,零向量：长度为0的向量，记作 . 单位向量：长度等于1个单位的向量.,说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向. 故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.,注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.,有意义,没有意义,8,PPT学习交流,比例 1：800000,解：,例1 如图，试根据图中比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出实际距离（精确到1km

6、）.,例题分析,9,PPT学习交流,例2 某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点. (1)作出向AB、BC、CD (1 cm表示200 m). (2)求DA的模.,10,PPT学习交流,练习 已知飞机从A地按北偏东30方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地. (1)画图表示向量 ； (2)求飞机从A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向.,11,PPT学习交流,模相等，方向相同； 模相等，方向不相同； 模不相等，方向相同；

7、 模不相等，方向不相同；,思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？,3.相等向量与共线向量,12,PPT学习交流,（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量 与 相等，记作 .,（1）两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别.,注意：,（2）零向量与零向量相等；,（3）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的.因此任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点的选取无关；,13,PPT学习交流,向量与有向线段的区别：,（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；

8、只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；,（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.,即向量和有向线段是两个不同的概念.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，二者只是一种对应关系.,14,PPT学习交流,思考2：如果非零向量 与 是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？,（2）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.,向量 相反的向量记作 .,零向量的相反向量仍是零向量.,规定:,15,PPT学习交流,辨析： 1)如果两个向量所在的直线互相平行，那么

9、这两个向量是平行向量.,规定：零向量与任一向量平行,（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量. 向量 与 平行，记作,2)平行向量所在的直线一定互相平行.,（平行或者重合）,16,PPT学习交流,思考3：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设 是一组平行向量，任作一条与向量 所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作 ，那么点A、B、C的位置关系如何？,任一组平行向量都可以移动到同一直线上， 因此，平行向量也叫做共线向量. （即二者是同一个概念！）,17,PPT学习交流,不是. 向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以

10、共线.,思考4：如果非零向量 与 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？,平行（共线）向量与平行线段、共线线段的区别：,平行向量可以在同一直线上，但两平行线肯定不在同一直线上； 共线向量可以相互平行，在同一直线上的线段肯定不相互平行.,18,PPT学习交流,思考5：若向量 与 平行（或共线），则向量 与 相等或相反吗？ 反之，若向量 与 相等或相反，则向量 与 平行（或共线）吗？,向量相等或相反 向量平行,注意： 相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.,19,PPT学习交流,结论：平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等

11、向量都具有传递性.,思考7：对于向量 ，若 ， ，那么 吗？,思考6：对于向量 ，若 ， ，那么 吗？,注意：规定零向量与任一向量平行（共线），故在向量问题中， 注意考虑零向量的特殊性！,小结,20,PPT学习交流,练习：1、口答题： (1) 平行向量是否一定方向相同？（ ） (2) 不相等的向量是否一定不平行？（ ） (3) 与零向量相等的向量必定是什么向量？（ ） (4) 与任意向量都平行的向量是什么向量？（ ） (5) 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（ ） (6) 两个非零向量相等的充分必要条件是什么？（ ） (7) 共线向量一定在同一直线上吗？（ ）,不一定,不一

12、定,不一定,零向量,零向量,平行向量,长度相等且方向相同,21,PPT学习交流,例3 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与 相等的向量.,11个,变式一：与向量 长度相等的向量有多少个？,变式二：是否存在与向量 长度相等，方向相反的向量？,变式三：与向量 共线的向量有哪些？,例题分析,22,PPT学习交流,练习 如图，四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点,写出：,与向量 模相等的向量： 与向量 共线的向量： 与向量 相等的向量： 与向量 相等的向量：,23,PPT学习交流,相等的有7个 长度相等的有15个,练习 在45排列方格中有一个向量 以图中

13、的格点为起点和终点，其中与 相等的向量有多少个？与 长度相等的共线向量有多少个？,24,PPT学习交流,练习 如图，在ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知 求证： .,25,PPT学习交流,例4 判断下列结论是否正确.,（5）任一向量与它的相反向量不相等,（2）不相等的向量一定不平行,（1）单位向量都相等,（3）若非零向量 ,则 ,（4）四边形ABCD中 ,四边形ABCD是平行四边形,26,PPT学习交流,下面几个命题：,A0B. 1 C. 2 D. 3,其中正确的个数是( ),B,（1）两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；,（4）若 ,则四边形ABCD是平行四边形；

14、,27,PPT学习交流,例5 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？,(2)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；,(1)把平行于直线L的所有单位向量的起点平移到L上的点P;,解: (1)是直线L上与点P的距离为1的两个点；,(2)是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；,(3)把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上的点P.,(3)直线L,(4)把所有相等向量平移到同一个起点上.,(4)一个点,28,PPT学习交流,1. 向量的定义及表示,2. 向量的模,3. 向量,小结:,大小,大小,方向,零向量、单位向量,平行向量(共线向量),相等向量、相反向量,作业： P7778 练习+习题,back,29,PPT学习交流,课堂小测验：,1.下列各量中不是向量的是（ ） A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列说法中错误的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆,30,