高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用课件 理 新人教版

1、4.7解三角形的综合应用,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 叫俯角(如图).,1.仰角和俯角,知识梳理,上方,下方,指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为(如图).,3.方位角,正北,1.三角形的面积公式：,2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，的关系为18

2、0.() (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0， .() (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.() (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0， ).(),1.(教材改编)如图所示，设a，b两点在河的两岸，一测量者在a所在的同侧河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105后，就可以计算出a，b两点的距离为,考点自测,答案,解析,2.若点a在点c的北偏东30，点b在点c的南偏东60，且acbc，则点a在点b的 a.北偏东15 b.北偏西15 c.北偏东10 d.北偏西10,答案,解析,如图所示，acb90， 又

3、acbc， cba45，而30， 90453015， 点a在点b的北偏西15.,3.(教材改编)海面上有a，b，c三个灯塔，ab10 n mile，从a望c和b成60视角，从b望c和a成75视角，则bc等于,答案,解析,如图，在abc中， ab10，a60，b75，,4.如图所示，d，c，b三点在地面的同一直线上，dca，从c，d两点测得a点的仰角分别为60，30， 则a点离地面的高度ab_.,答案,解析,5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，

4、救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.,答案,解析,60,如图，aob60， 由余弦定理知oc2202202800cos 1201 200，,题型分类深度剖析,题型一求距离、高度问题,例1(1)如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75，30，此时气球的高ad是60 m，则河流的宽度bc等于,答案,解析,如图，在acd中，cad903060，ad60 m，,在abd中，bad907515，,(2)(2016三明模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别为30，60，则塔高是_ m.,答案,解析,如图，设塔ab高为h，在rtcd

5、b中， cd200 m，bcd906030，,在abc中，abcbcd30，acb603030， bac120.,思维升华,求距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念. (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.,跟踪训练1(1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔b在北偏东60，行驶4 h后，船到达c处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_ km

6、.,答案,解析,如图，由题意，bac30，acb105， b45，ac60 km，,(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取a，b两点，从a，b两点分别测得树尖的仰角为30，45，且a，b两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,答案,解析,在pab中，pab30，apb15，ab60， sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30,题型二求角度问题,例2如图所示，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往b处救援

7、，则cos 的值为_.,答案,解析,在abc中，ab40，ac20，bac120， 由余弦定理得,由acb30，得cos cos(acb30),思维升华,解决测量角度问题的注意事项： (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.,跟踪训练2如图，某人在垂直于水平地面abc的墙面前的点a处进行射击训练.已知点a到墙面的距离为ab，某目标点p沿墙面上的射线cm移动，此人为了准确瞄准目标点p，需计算由点a观察点p的仰角的大 小.若ab1

8、5 m，ac25 m，bcm30，则tan 的最大值是_ (仰角为直线ap与平面abc所成角).,答案,解析,如图，过点p作pobc于点o， 连接ao，则pao.,在rtabc中，ab15 m，ac25 m， 所以bc20 m.,题型三三角形与三角函数的综合问题,(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；,解答,解答,可求得bc40.,思维升华,三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.,(1)求f(x)的单调区间；,解答,(2)在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.若 0，a1，求a

9、bc面积的最大值.,解答,由余弦定理a2b2c22bccos a，,典例(12分)某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,函数思想在解三角形中的应用,思想与方法系列10,

10、规范解答,思想方法指导,已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决.,返回,解(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则 1分,(2)设小艇与轮船在b处相遇. 则v2t2400900t222030tcos(9030)，8分,此时，在oab中，有oaobab20.11分 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时.12分,返回,课时作业,1.一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是

11、南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是,答案,解析,如图所示，易知，在abc中， ab20，cab30，acb45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.在相距2 km的a，b两点处测量目标点c，若cab75，cba60，则a，c两点之间的距离为,答案,解析,如图，在abc中，由已知可得acb45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时,答案

12、,解析,如图所示，依题意有bac60，bad75， 所以cadcda15，从而cdca10， 在rtabc中，得ab5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.如图，两座相距60 m的建筑物ab，cd的高度分别为20 m，50 m，bd为水平面，则从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角为,a.30 b.45c.60 d.75,答案,解析,又cd50，所以在acd中，,又0cad180，所以cad45， 所以从顶端a看建筑物cd的张角为45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.如图

13、所示，测量河对岸的塔高ab时可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，测得bcd15，bdc30，cd30，并在点c测得塔顶a的仰角为60，则塔高ab等于,答案,解析,在bcd中，cbd1801530135.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是 a.50 m b.100 mc.120 m d.1

14、50 m,答案,解析,设水柱高度是h m，水柱底端为c，,在abc中，a60，ach，ab100，,即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50， 故水柱的高度是50 m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.,答案,解析,如图，omaotan 4530 (m)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在mon中，由余弦定理得,8.如图，一艘船上午9：30在a处测得灯塔s在

15、它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达b处，此时又测得灯塔s在它的北偏东75处，且与它相距 n mile.此船的航速是_ n mile/h.,答案,解析,32,设航速为v n mile/h，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇 形aob，c是该小区的一个出入口，且小区里有一条 平行于ao的小路cd.已知某人从o沿od走到d用了2 分钟，从d沿dc走到c用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米.,答案,解析,如图，连接oc，在ocd中， od100，cd150，cdo60

16、. 由余弦定理得 oc2100215022100150cos 6017 500，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.在rtabc中，c90，a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足abcx，则实数x的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.要测量电视塔ab的高度，在c点测得塔顶a的仰角是45，在d点测得塔顶a的仰角是30，并测得水平面上的bcd120，cd40 m，求电视塔的高度.,解答,如图，设电视塔ab高为x m， 则在rtabc中，由acb45，得bcx.,在bdc中，由余弦定理得， bd2bc2c

17、d22bccdcos 120，,所以电视塔高为40 m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求a和sin c的值；,又由bc2，解得b6，c4. 由a2b2c22bccos a，可得a8.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.在海岸a处发现北偏东45方向，距a处( 1)海里的b处有一艘走私船.在a处北偏西75方向，距a处2海里的c处的我方缉私船奉命以10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从b处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.,解答,如