高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.1 几何证明选讲 第2课时 圆的进一步认识课件 理 苏教版

1、14.1几何证明选讲,第2课时圆的进一步认识,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.圆周角与圆心角定理 (1)圆心角定理：圆心角的度数等于 . (2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的 . 推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角 .同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于 .反之，90的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径).,知识梳理,其所对弧的度数,一半,相等,90,2.圆的切线的性质及判定定理 (1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的. (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的. 推论1：经过

2、圆心且与切线垂直的直线必经过 . 推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过 . 3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长 . 4.弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的 .,切线,半径,切点,圆心,相等,度数的一半,5.与圆有关的比例线段,pcpd,bdp,pcpd,pdb,pbpc,pca,pb,opb,6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角 . (2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.,互补,考点自测,1.(2016南通二模)如图，从圆o外一点p引圆的切线pc及割线pab，c为切点.求证：apbcaccp.,证明,因为pc为圆o的切线

3、，所以pcapbc， 又cpabpc，故capbcp，,2.(2015重庆)如图，圆o的弦ab，cd相交于点e，过点a作圆o的切线与dc的延长线交于点p，若pa6，ae9，pc3，ceed21，求be的长.,首先由切割线定理得pa2pcpd，,cdpdpc9，又ceed21， 因此ce6，ed3，,解答,3.(2017扬州质检)如图，abc中，bc6，以bc为直径的半圆分别交ab，ac于点e，f，若ac2ae，求ef的长.,aa，aefacb，,解答,4.如图，在abc中，acb90，a60，ab20，过c作abc的外接圆的切线cd，bdcd，bd与外接圆交于点e，求de的长.,解答,在rta

4、cb中，acb90，a60， abc30.ab20，,cd为切线，bcda60.,由切割线定理得dc2dedb，,de5.,题型分类深度剖析,题型一圆周角、弦切角和圆的切线问题,例1(2016全国乙卷)如图，oab是等腰三角形，aob120.以o为圆心， oa为半径作圆. (1)证明：直线ab与o相切；,证明,(2)点c，d在o上，且a，b，c，d四点共圆，证明：abcd.,证明,因为oa2od， 所以o不是a，b，c，d四点所在圆的圆心. 设o是a，b，c，d四点所在圆的圆心，作直线oo. 由已知得o在线段ab的垂直平分线上， 又o在线段ab的垂直平分线上，所以ooab. 同理可证，oocd

5、，所以abcd.,(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小. (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.,思维升华,跟踪训练1 (1)(2016无锡模拟)如图所示，o的两条切线pa和pb相交于点p，与o相切于a，b两点，c是o上的一点，若p70，求acb的大小.,解答,如图所示，连结oa，ob，则oapa，obpb.,(2)如图，圆o的半径为1，a、b、c是圆周上的三点， 且满足abc30，过点a作圆o的切线与oc的 延长线交于点p，求pa的长.,解答,题型

6、二四点共圆问题,例2如图所示，已知ap是o的切线，p为切点，ac是o的割线，与o交于b、c两点，圆心o在pac的内部，点m是bc的中点.,证明,(1)证明：a，p，o，m四点共圆；,如图，连结op，om，因为ap与o相切于点p，,所以opap， 因为m是o的弦bc的中点， 所以ombc， 于是opaoma180. 由圆心o在pac的内部，可知四边形apom的对角互补， 所以a，p，o，m四点共圆.,(2)求oamapm的大小.,由(1)得，a，p，o，m四点共圆， 所以oamopm， 由(1)得opap，因为圆心o在pac的内部， 可知opmapm90， 所以oamapm90.,解答,(1)如

7、果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆. (2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. (3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.,思维升华,证明,跟踪训练2 如图所示，四边形abcd是o的内接四边形，ab的延长线与dc的延长线交于点e，且cbce.,(1)证明：de；,由题设知，a，b，c，d四点共圆， 所以dcbe，由已知得cbee， 故de.,证明,(2)设ad不是o的直径，ad的中点为m，且mbmc，证明：ade为等边三角形.,如图，设bc的中点为n，连结mn，,则由mbmc知mnbc， 故点o在直线mn上. 又ad不是o的直径，m为ad

8、的中点， 故omad，即mnad. 所以adbc，故acbe. 又cbee，故ae， 由(1)知，de，所以ade为等边三角形.,题型三与圆有关的比例线段,例3(2015陕西)如图，ab切o于点b，直线ao 交o于d，e两点，bcde，垂足为c.,(1)证明：cbddba；,因为de为o的直径， 则bededb90， 又bcde，所以cbdedb90， 从而cbdbed， 又ab切o于点b，得dbabed， 所以cbddba.,证明,(2)若ad3dc，bc ，求o的直径.,解答,由(1)知bd平分cba，,故deaead3，即o的直径为3.,(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容

9、：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.,思维升华,跟踪训练3(1)如图，已知圆中两条弦ab与cd相交于点f，e是ab延长线上一点，且dfcf ，affbbe421，若ce与圆相切，求线段ce的长.,解答,(2)(2014湖北)如图，p为o外一点，过p点作o的两条切线，切点分别为a，b.过pa的中点q作割线交o于c，d两点.若qc1，cd3，求pb的长.,解答,由切割线定理得qa2qcqd4，解得qa2. 由切线长定理

10、得pbpa2qa4.,课时作业,1.(2015江苏)如图，在abc中，abac，abc的外接圆o的弦ae交bc于点d.,证明,求证：abdaeb.,因为abac， 所以abdc. 又因为ce，所以abde， 又bae为公共角，可知abdaeb.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.(2017苏北四校联考)如图，ab是圆o的直径，c，d是圆o上位于ab异侧的两点.证明：ocbd.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,因为b，c是圆o上的两点， 所以oboc. 故ocbb. 又因为c，d是圆o上位于ab异侧的两点， 故b，d为同弧所对的两个圆周角， 所以bd. 因此ocbd.

11、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.(2015湖南)如图，在o中，相交于点e的两弦ab，cd的中点分别是m，n，直线mo与直线cd相交于点f，证明：mennom180.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,如图所示，因为m，n分别是弦ab，cd的中点， 所以omab，oncd， 即ome90，eno90， 因此omeeno180， 又四边形的内角和等于360， 故mennom180.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.如图，ab是圆o的直径，直线ce与圆o相切于点c，adce于点d，若圆o的面积为4，abc30，求ad的长.,解答,由题意可知圆o的半径为2，

12、在rtabc中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,5. (2016苏锡常镇四市联考)如图，已知cb是o的一条弦，a是o上异于b，c的任意一点，过点a作o的切线交直线cb于点p，d为o上一点，且abdabp.求证：ab2bpbd.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,ap与o相切于点a，ab为o的弦， adbpab， 又在dba和abp中，dbaabp，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.(2016南京、盐城联考)如图，过o外一点p作o的切线pa，切点为a，连结op与o交于点c，过c作ap的垂线，垂足为d，若pa12 cm，pc6 cm，求cd的长.,解答,1,

13、2,3,4,5,6,7,8,9,10,设o的半径为r， 由切割线定理得ap2pc(pc2r)， 即1226(62r)，解得r9. 连结oa，则有oaap. 又cdap，所以oacd.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.(2016苏州模拟)如图，已知ab是o的直径，cd是o的弦，分别延长ab，cd相交于点m，点n在o上，anac.证明：mdn2aco.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,如图，连结on，因为anac，,onoc，oa是公共边， 所以anoaco，故oacoan. 又oacaco， 所以nacoacoanacooac2aco. 因为a，c，d，n四点共圆，

14、所以mdnnac， 所以mdn2aco.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.(2016徐州模拟)如图，pa是圆o的切线，切点为a，pa2，ac是圆o的直径，pc与圆o交于点b，pb1，求圆o的半径r.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由切割线定理可得pa2pbpc，,所以bcpcpb3， 因为ac是圆o的直径，所以abc90， 所以ab2bcbp3， 所以ac2bc2ab29312，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.如图，abc为圆的内接三角形，bd为圆的弦，且bdac.过点a作圆的切线与db的延长线交于点e，ad与bc交于点f.若abac，ae6，b

15、d5，求线段cf的长.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设ebx，则edx5， 由切割线定理知x(x5)62，x4. abac，abcacb， 又acbadb，eabadb， eababc，aebc，又aced， 四边形ebca为平行四边形. aceb4，bcae6，由afcdfb.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.(2016全国丙卷)如图，o中的中 点为p，弦pc，pd分别交ab于e，f两点.,解答,(1)若pfb2pcd，求pcd的大小；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,连结pb，bc， 则bfdpbabpd，pcdpcbbcd.,所以bfdpcd. 又pfbbf