高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用课件 理 苏教版

1、2.9函数模型及其应用,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.几类函数模型,知识梳理,2.三种函数模型的性质,递增,递增,y轴,x轴,1.解函数应用题的步骤,2.“对勾”函数,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.() (2)幂函数增长比直线增长更快.() (3)不存在x0，使 1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.() (5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.(),考点自测,

2、1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是_元.,答案,解析,设每台原价是a元，则a(140%)80% a270，解得a2 250.,2 250,2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为 _.,答案,解析,3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率 为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_.,答案,解析,设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，,4.用长度为24的材料围一矩形场地，中

3、间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_.,答案,解析,3,设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，,当x3时，y最大.,5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a l水，t min后，剩余水y l满足函数关系yaent，那么乙桶的水就是yaaent，假设经过5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再过_ min，甲桶中的水只有 l.,10,答案,解析,题型分类深度剖析,题型一用函数图象刻画变化过程 例1某民营企业生产a、b两种产品，根据市场调查和预测，a产品的利润与投资成正比，其关系如图所示；b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图所示(单位：万元).

4、分别将a、b两种产品的利润表示为投资的函数关系式.,解答,设投资为x万元，a产品的利润为f(x)万元，b产品的利润为g(x)万元.,判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.,思维升华,跟踪训练1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(

5、min)与通话费y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；,解答,设y1k1x29，y2k2x，,(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.,解答,题型二已知函数模型的实际问题 例2我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(w/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用l1表示，它们满足以下公式：l110 lg (单位为分贝，l10，其中i011012，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题： (1)树叶沙沙声的强度是11012 w/m2，耳语的强度是11010 w/m2，恬静的无线电广播的

6、强度是1108 w/m2，试分别求出它们的强度水平；,解答,由题意知树叶沙沙声的强度水平为,耳语的强度水平为,恬静的无线电广播的强度水平为,(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度i的范围为多少？,解答,所以新建的安静小区的声音强度i大于等于11012 w/m2，同时小于1107 w/m2.,求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.,思维升华,跟踪训练2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其

7、运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.,答案,解析,19,由图象可求得一次函数的解析式为y30 x570， 令30 x5700，解得x19.,(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10 x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为_.,答案,解析,2,令104(10010 x)70 112104，解得2x8.,故x的最小值为2.,题型三构造函数模型的实际

8、问题 命题点1构造二次函数模型 例3将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定_元.,答案,解析,设每个售价定为x元，则利润y(x80)400(x90)2020(x95)2225. 当x95时，y最大.,95,命题点2构造指数函数、对数函数模型 例4光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y. (1)写出y关于x的函数解析式；,解答,光线通过1块玻璃后，强度y(110%)k0.9k； 光线通过2块玻璃后，强度y(110%)0.9k0.92k； 光线通过3

9、块玻璃后，强度y(110%)0.92k0.93k； 光线通过x块玻璃后，强度y0.9xk. 故y关于x的函数解析式为y0.9xk(xn*).,(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的 以下？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1),解答,且xn*，所以xmin14.,故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下.,命题点3构造分段函数模型 例5(2017盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，

10、此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20 x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0 x200时，求函数v(x)的表达式；,解答,由题意可知当0 x20时，v(x)60； 当20 x200时，设v(x)axb，显然v(x)axb在20，200上是减函数，,(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时),解答,依题意并由(1)可得,当0 x20时，f(x)为增函数，故当x20时， 其最大值为60201 200；,

11、当且仅当x200 x，即x100时，等号成立，,即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.,构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.,思维升华,跟踪训练3 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/ml，那么，此人至少经过_小时才能开车.(精确到1小时),答案,解析

12、,5,设经过x小时才能开车. 由题意得0.3(125%)x0.09， 0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x最小为5.,(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益r与门面经营天数x的关系是r(x) 则总利润最大时，该门面经营的天数是_.,答案,解析,300,所以x300时，ymax25 000， 当x400时，y60 000100 x20 000， 综上，当该门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.,典例(14分)已知美国某手机品牌公司生产

13、某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并 全部销售完，每万部的销售收入为r(x)万美元，且r(x) (1)写出年利润w(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.,思想点拨,函数应用问题,答题模板系列2,规范解答,答题模板,根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.,返回,解(1)当0x40时，wxr(x)(16x40) 6x2384x40，3分,(2)当0x40时，w6(x32)26 104， 所以

14、wmaxw(32)6 104；8分,所以w取最大值为5 760.12分 综合知，当x32时，w取得最大值6 104万美元. 14分,返回,解函数应用题的一般程序 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.某商品定价为每件60元，不

15、加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p，且年销售量将减少 p万件.则每年征收的税金y关于税 率p的函数关系为_.,答案,解析,2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量c与时间t(年)的函数关系图象正确的是_.,答案,解析,前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有，图象符合要求，而后3年年产量保持不变.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.(教材改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km (不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不

16、超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_ km.,答案,解析,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,出租车行驶不超过3 km，付费9元； 出租车行驶8 km，付费92.15(83)19.75元. 现某人乘坐一次出租车付费22.6元， 故出租车行驶里程超过8 km，且22.619.752.85， 所以此次出租车行驶了819 km.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.(2017盐城月考)某单

17、位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为_ m3.,答案,解析,13,设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，,则10m(x10)2m16m，,解得x13.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.(2016北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品a的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x100，xn*)人去进行新开发的产品b的生产.分流后，继续从事产品a生产的员工平

18、均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品a的年产值不减少，则最多能分流的人数是_.,答案,解析,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)， 分流x人后，每年创造的产值为(100 x)(11.2x%)t，,因为xn*，所以x的最大值为16.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016南通模拟)某汽车销售公司在a，b两地销售同一种品牌的汽车，在a地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在b地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆

19、)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元.,答案,解析,43,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,设公司在a地销售该品牌的汽车x辆， 则在b地销售该品牌的汽车(16x)辆，,因为x0，16且xn，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.(2016四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_年.(参

20、考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30),答案,解析,2019,设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，,因资金需超过200万，则x取4，即2019年.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2016苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个.,答案,解析,2ln 2,1 024,当t0.5时，y2，2 ， k2ln 2，ye2tln 2， 当t5时，ye10ln 22101 024.,1,2,

21、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.(2016淮安模拟) 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.,答案,解析,20,设内接矩形另一边长为y，,解得y40 x，,所以面积sx(40 x)x240 x,(x20)2400(0x40)，,当x20时，smax400.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最

22、佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于 _.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,bc(ba)(ca)，,(ca)2(ba)2(ba)(ca)， 两边同除以(ba)2，得x2x10，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量q之间的关系为vablog3 (其中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行

23、速度为1 m/s. (1)求出a、b的值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，,即ab0；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？,解答,所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，,所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时

24、间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tn).前30天价格为g(t) t30(1t30，tn)，后20天价格为g(t)45(31t50，tn). (1)写出该种商品的日销售额s与时间t的函数关系；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)求日销售额s的最大值.,解答,当1t30，tn时，s(t20)26 400， 当t20时，s取得最大值为6 400. 当31t50，tn时， s90t9 000为递减函数， 当t31时，s取得最大值为6 210. 综上知，当t20

25、时，日销售额s有最大值6 400.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*13.(2016常州模拟)某旅游景点2016年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x) x(x1)(392x)(xn*，且x12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x) (1)写出2016年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,当x1时，f(1)p(1)37， 当2x12，且xn*时， f(x)p(x)p(x1),3x240 x， 验证x1也满足此式， 所以f(x)3x240 x(xn*，且1x12).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？,解答,1,2