高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程课件 理 苏教版

1、9.1直线的方程,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按 方向旋转到和直线重合时所转过的 称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴 的直线的倾斜角为0. (2)范围：直线的倾斜角的取值范围是 . 2.斜率公式 (1)若直线l的倾斜角90，则斜率k . (2)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k .,知识梳理,逆时针,最小正角,平行或重合,0，180),tan ,几何画板展示,3.直线方程的五种形式,yy1k(xx1),ykxb

2、,(a，b不全为0),判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.() (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.() (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.() (4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.() (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.() (6)经过任意两个不同的点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.(),几何画板展示,考点自测,1.(2016常州模拟)若直线l与直线y1，x7分别交于点p，q，且线段 pq的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为

3、.,答案,解析,设p(m,1)，q(7，n)，,所以p(5,1)，q(7，3)，,2.直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是 .,答案,解析,由直线方程可得该直线的斜率为 ，,又1 0，,所以倾斜角的取值范围是 ，).,几何画板展示,3.如图所示，直线l过点p(1,2)，且与以a(2，3)，b(3,0)为端点的 线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 .,答案,解析,设pa与pb的倾斜角分别为、，直线pa的斜率k15，,直线pb的斜率k2 .,当直线l由pa变化到与y轴平行的位置pc时， 它的倾斜角由增到90， 斜率的变化范围为5，)； 当直线l由pc变化到pb的位置时， 它的倾斜角为90增

4、至， 斜率的变化范围为(， ， 故直线l的斜率的取值范围是(， 5，).,4.(教材改编)直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a .,答案,解析,1或2,令x0，得直线l在y轴上的截距为2a；,令y0，得直线l在x轴上的截距为1 .,依题意2a1 ，解得a1或a2.,5.过点a(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .,答案,解析,3x2y0或xy50,当直线过原点时，直线方程为y ，即3x2y0；,当直线不过原点时，设直线方程为 1，,即xya，将点a(2，3)代入，得a5， 即直线方程为xy50. 故所求直线的方程为3x2y0或xy50.,题型分类深度剖析,题

5、型一直线的倾斜角与斜率 例1(1)(2016镇江模拟)直线xsin y20的倾斜角的取值范围 是 .,答案,解析,设直线的倾斜角为，则有tan sin . 因为sin 1,1， 所以1tan 1，又0，)， 所以0 或 .,(2)直线l过点p(1,0)，且与以a(2,1)，b(0， )为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .,答案,解析,(， 1，),如图，kap 1，,k(， 1，).,几何画板展示,引申探究 1.若将本例(2)中p(1,0)改为p(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.,解答,p(1,0)，a(2,1)，b(0， )，,如图可知，直线l斜率的取值范围为

6、.,2.若将本例(2)中的b点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.,解答,如图，直线pa的倾斜角为45， 直线pb的倾斜角为135， 由图象知l的倾斜角的范围为 0，45135，180).,直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间， 因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分 与 两种情况讨论. 由正切函数图象可以看出，当 时，斜率k0，)； 当 时，斜率不存在；当 时，斜率k(，0).,思维升华,跟踪训练1(2016南京模拟)已知过定点p(2,0)的直线l与曲线y 相交于a，b两点，o为坐标原点，当aob的面积取到最大值时，直线l的倾斜角的大小为 .,答案,解析

7、,150,几何画板展示,由y ，得x2y22(y0)， 它表示以原点o为圆心，,以 为半径的圆的一部分， 其图象如图所示.,显然直线l的斜率存在， 设过点p(2,0)的直线l为yk(x2)，,则圆心到此直线的距离d ，,所以saob,当且仅当(2k)222k2，即k2 时等号成立，,由图可得k (k 舍去)，故直线l的倾斜角为150.,题型二求直线的方程 例2根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 ；,解答,由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.,设倾斜角为，则sin (0)，,从而cos ，则ktan .,故所求直线方程为y (x4).,即x3y40或x

8、3y40.,(2)经过点p(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；,解答,设直线l在x，y轴上的截距均为a. 若a0，即l过点(0,0)及(4,1)，,l的方程为y x，即x4y0.,若a0，则设l的方程为 1，,l过点(4,1)， 1，,a5， l的方程为xy50. 综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.,(3)直线过点(5,10)，且直线到原点的距离为5.,解答,当斜率不存在时，所求直线方程为x50； 当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为y10k(x5)， 即kxy(105k)0.,由点到直线的距离公式，得 5，解得k .,故所求直线方程为3x4y250. 综上知，所求直线方程为

9、x50或3x4y250.,在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.,思维升华,跟踪训练2求适合下列条件的直线方程： (1)经过点p(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；,解答,设直线l在x，y轴上的截距均为a， 若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，,l的方程为y x，即2x3y0.,若a0，则设l的方程为 1，,l过点(3,2)， 1，,a5，

10、l的方程为xy50， 综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.,(2)过点a(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的 倍；,解答,设所求直线的斜率为k，依题意k 3 .,又直线经过点a(1，3)，,因此所求直线方程为y3 (x1)，,即3x4y150.,(3)过点a(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于b点且ab5.,解答,过点a(1，1)与y轴平行的直线为x1.,解方程组,求得b点坐标为(1,4)，此时ab5，即x1为所求. 设过a(1，1)且与y轴不平行的直线为 y1k(x1) (k2)，,解方程组,得两直线交点为,则b点坐标为( ).,( 1)2( 1)252，,解得k ，y1 (

11、x1)，,即3x4y10.,综上可知，所求直线方程为x1或3x4y10.,题型三直线方程的综合应用 命题点1与基本不等式相结合求最值问题 例3已知直线l过点p(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于a、b两点，如图所示，求abo的面积的最小值及此时直线l的方程.,解答,方法一设直线方程为 1(a0，b0)，,把点p(3,2)代入得 1 ，得ab24，,从而saob ab12，,当且仅当 时等号成立，这时k ，,从而所求直线方程为2x3y120.,方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0. 则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，,且有 ，b(0,23k)，, (1212)12.,当且仅当9k

12、 ，即k 时，等号成立.,即abo的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x3y120.,命题点2由直线方程解决参数问题 例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.,解答,由题意知直线l1，l2恒过定点p(2,2)， 直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，,所以四边形的面积 s 2(2a) 2(a22)a2a4,当a 时，面积最小.,与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值

13、. (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.,思维升华,跟踪训练3(2016盐城模拟)直线l过点p(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于a，b两点，o为坐标原点，当oaob最小时，求直线l的方程.,解答,依题意，直线l的斜率存在且斜率为负， 设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y4k(x1)(k0).,令y0，可得a(1 ，0)；,令x0，可得b(0,4k).,oaob(1 )(4k),5(k ),5(k )549.,当且仅当k 且k0，,这时

14、直线l的方程为2xy60.,即k2时，oaob取最小值.,典例设直线l的方程为(a1)xy2a0(ar). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.,求与截距有关的直线方程,现场纠错系列9,错解展示,现场纠错,纠错心得,在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.,返回,解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零， a2，方程即为3xy0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0., a2，即a11.,综上，直线l的方程为3xy0或xy20.,a0，方程即为xy20

15、.,(2)由 (a2)得a20或a11，,a2或a2.,返回,课时作业,1.(2016连云港模拟)若直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是 .,答案,解析,(6，2),解方程组,因为直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限， 所以k60且k20，所以6k2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016无锡模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小 的直线方程是 .,x2,答案,解析,直线yx1的斜率为1，则倾斜角为 ，,依题意，所求直线的倾斜角为 ，,斜率不存在， 过点(2,1)的所求直线方程为x2.,

16、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016苏州检测)已知点a在直线x2y10上，点b在直线x2y30上，线段ab的中点为p(x0，y0)，且满足y0 x02，则 的取值范围 为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设a(x1，y1)， k，则y0kx0，,ab的中点为p(x0，y0)，b(2x0 x1,2y0y1). a，b分别在直线x2y10和x2y30上， x12y110,2x0 x12(2y0y1)30， 2x04y020，即x02y010.,y0kx0，x02kx010，即x0 .,又y0 x02，kx0 x02，

17、即(k1)x02，,即(k1)( )2，即 0，,解得 k .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016徐州模拟)已知两点m(2，3)，n(3，2)，直线l过点p(1,1) 且与线段mn相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .,答案,解析,(，4 ，),如图所示，,要使直线l与线段mn相交， 当l的倾斜角小于90时，kkpn； 当l的倾斜角大于90时，kkpm. 由已知得k 或k4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016无锡模拟)已知两点a(1，5)，b(3，2)，若直线l的倾斜角 是直线ab倾斜角的一半，则l的斜率是 .,

18、答案,解析,设直线ab的倾斜角为2，则直线l的倾斜角为，所以0 .,又kabtan 2 ，,所以tan 或tan 3(舍去)，,所以k .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016无锡模拟)已知点a(1,0)，b(cos ，sin )，且ab ，则直线ab的方程为 .,答案,解析,x y10或x y10,所以cos ，sin ，,所以kab ，即直线ab的方程为y (x1)，,即x y10或x y10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知a(3,0)，b(0,4)，直线ab上一动点p(x，y)，则xy的最大值是 .,答案,解析

19、,3,直线ab的方程为 1，,动点p(x，y)在直线ab上，则x3 y，,xy3y y2 (y24y), (y2)243.,即当p点坐标为 时，xy取最大值3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016苏州模拟)已知直线l1：a(xy2)2xy30(ar)与直线l2的距离为1，若l2不与坐标轴平行，且在y轴上的截距为2，则l2的方程为 .,答案,解析,4x3y60,由题意可知，直线l1过直线xy20与2xy30的交点p(1,1)， 由两条直线间的距离为1可得，点p到直线l2的距离为1， 设l2的方程为ykx2，,则 1，解得k ，,故l2的方程为y x2，即4

20、x3y60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.设点a(1,0)，b(1,0)，直线2xyb0与线段ab相交，则b的取值范围是 .,答案,解析,2,2,b为直线y2xb在y轴上的截距， 如图，当直线y2xb过点a(1,0)和点b(1,0)时，b分别取得最小值和最大值. b的取值范围是2,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2016泰州模拟)平面上三条直线x2y10，x10，xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为 .,答案,解析,0，1，2,直线x2y10与x10相交于点p(1,1)， 当p(1,1)在

21、直线xky0上，即k1时满足条件； 当直线x2y10与xky0平行，即k2时满足条件； 当直线x10与xky0平行，即k0时满足条件， 故实数k的取值集合为0，1，2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知两点a(1,2)，b(m,3). (1)求直线ab的方程；,解答,当m1时，直线ab的方程为x1；,当m1时，直线ab的方程为y2 (x1).,即x(m1)y2m30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)已知实数m 1， 1，求直线ab的倾斜角的取值范围.,解答,当m1时， ；,当m1时，m1 ，0)(0， ，,k (， ，)，,综合知，直线ab的倾斜角的取值范围为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知点p(2，1). (1)求过点p且与原点的距离为2的直线l的方程；,解答,过点p的直线l与原点的距离为2，而点p的坐标为(2，1)， 显然，过点p(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件， 此时直线l的斜率不存在，其方程为x2. 若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.,由已知得 2，,解得k .,综上可得直线l的