第八章_非线性控制系统分析.ppt

1、当非线性程度不严重或系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内时，将非线性模型线性化； 当非线性程度比较严重或系统工作范围较大的非线性系统采用非线性系统的分析和设计方法。,第八章 非线性控制系统分析,非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。 线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。,本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的一些区别于线性系统的现象。,8.1 非线性系统及其特点,一.实际系统中的非线性因素,一些常见的非线性特性,除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构

2、，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最简单和最普遍的就是继电器。,二、非线性系统的特点（与线性系统的区别）,1、线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。,2、在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关系； 对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。,描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和x2=1

3、。将上式改写为,例：对于一由非线性微分方程,设t0时，系统的初态为x0。积分上式可得,X(t),1,0,非线性系统可能存在多个平衡状态，各平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的。初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同。,3、线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关; 非线性系统则不一样，自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不同而有多种不同的形式。,非线性系统在不同初始 偏移下的自由运动,4、线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的; 非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，如图所示，这个周期运动在物理上是可以实

4、现的，通常把它称为自激振荡，简称自振。,非线性系统的自激振荡,所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。 非线性系统可能存在自激振荡，线性系统不存在自激振荡。,5、线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性； 非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。,（1） 跳跃谐振和多值响应 如图所示的非线性弹簧输出的幅频特性。,跳跃谐振与多值响应,.,1,1,3,4,.,(2)分频振荡和倍频振荡,非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡

5、和分频振荡。如图所示波形。,研究非线性系统的意义,实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。 非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。,相平面法 用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。 描述函数法 受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。 逆系统法 运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控

6、制网络，是非线性系统控制的一个发展方向。,研究非线性系统的方法,部件的饱和现象,8.2 控制系统中的典型非线性环节,1、 饱和特性,在电子放大器中常见的一种非线性。,8.2 控制系统中的典型非线性环节,1、 饱和特性,数学描述如下：,k为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。,设非线性特性可以表示为 将非线性特性视为一个环节，环节的输入为x，输出为y，按照线性系统中比例环节的描述，定义非线性环节输出y和输入x的比值为等效增益,粗略地看，饱和特性的存在相当于大信号作用时，增益下降。,饱和特性的等效增益,饱和特性,若随动系统的方块图,当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器无

7、饱和限制，系统的时间响应曲线如右图中的曲线1；放大器有饱和限制时的时间响应曲线如右图中的曲线2。,阶跃响应会是什么样？,根轨迹分析,2、死区特性,死区也称为不灵敏区，系统中的死区 是由测量元件的死区、放大器的死区 以及执行机构的死区所造成的。,数学描述：,式中,包含死区的非线性系统,3、间隙特性,传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的一种常见的非线性因素。,齿轮传动中的间隙,4、继电特性,在使用继电特性时，有四种可供选择的形态,（1）理想继电特性,理想的继电特性,（2）具死区的继电特性,具死区的继电特性,（3）具磁滞回环的继电特性,具滞环的继电特性,(4)具磁滞回环和死区的继电

8、特性,具磁滞回环和死区的继电特性,5、变放大倍数特性,由庞加莱1885年首先提出。 通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹。 可以反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。,8.3 相平面法（适用于一阶、二阶系统）,在同一时刻 t ， ， 对应于相平面上的一个点相点，随t变化形成一条轨迹相轨迹,x(t) 和 称为系统运动的相变量（状态变量） 若以 为横坐标， 为纵坐标，则构成一个二维状态空间（直角坐标平面） 相平面,8.3 相平面法（适用于一阶、二阶系统）,一、相平面的概念,设描述某二阶非线性系统的微分方程为,其解为,其中,在相轨迹上用

9、箭头符号表示参变量时间t的增加方向。,例如：某系统自由运动的微分方程式可以表示为,系统的相轨迹什么样？,该系统自由运动的相轨迹以坐标原点为圆心、 为半径的圆,相平面图的一些特性,设描述二阶非线性系统的微分方程,其中f不显含t,2、相轨迹的运行方向,上半相平面,下半相平面,x随时间增大，相轨迹向右移动,x随时间减小，相轨迹向左移动,1、,称其为相轨迹的斜率方程,3、奇点和普通点,相轨迹上每一点切线的斜率为,若在某点处 和 同时为零，即有 的不定形式，则称该点为相平面的奇点,在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零。 相平面的奇点也称为平衡点。,奇点一定位于相平面的横轴上。,而在相轨迹的非奇点（普

10、通点）处，不同时满足 和 ，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。,相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹相交；,极限环,相平面图上的孤立的封闭相轨迹称为极限环。极限环把相平面的某个区域划分为内部平面和外部平面两部分。,极限环是非线性系统中的特有现象，产生的原因是由于系统中非线性特性的作用，使得系统能从非周期性的能源中获得能量，从而维持周期运动形式。,极限环有稳定的，不稳定的和半稳定的。,二、图解法：等倾线法,不需求解微分方程，对于求解困难的非线性微分方程，图解方法显得尤为实用。,基本思想：先确定相轨迹的等倾

11、线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。,二、图解法：等倾线法,相轨迹微分方程,取相轨迹切线的斜率为某一常数 ，得等倾线方程,当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为,取 为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为 的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。,例：设二阶系统方程为,表示相平面上过原点的一条斜线,斜率方程为,等倾线方程为,取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线

12、段连接起来，就得到了所求的相轨迹 。,线性系统的相轨迹,线性系统是非线性系统的特例，对于许多非线性一阶和二阶系统（系统中所含非线性环节可用分段折线表示），常可以分成多个区间进行研究，在各个区间内，非线性系统的运动特性可用线性微分方程描述； 对于某些非线性微分方程，为研究各平衡状态附近的运动特性，可在平衡点附近作增量线性化处理。,线性系统的相轨迹,设系统的微分方程为,系统的特征方程为,上述特征方程的根为,（8-1）式所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。,（8-1）,（8-2）,1、无阻尼运动,由方程（8-2），相轨迹方程为：,（8-3）,其中,系统的特征根分布？,相轨迹如图所示

13、，在相平面上是为一族同心的椭圆。,相轨迹的方向如图中箭头所示。 相轨迹垂直穿过横轴。 坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做奇点。,图中的奇点（0，0）通常称为,中心点,它是极限环么？,2、欠阻尼运动,其中,系统的特征根分布？,方程（8-1）的解为,相轨迹如图所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的向心螺旋线。,这种奇点称为,稳定的焦点,3、过阻尼运动,系统的特征根分布？,这时方程（81）的解为,过阻尼时的相轨迹,坐标原点是一个奇点， 这种奇点称为,稳定的节点,4、负阻尼运动,系统

14、的特征根分布？,相轨迹图如图所示，此时相轨迹仍是螺旋线，但相轨迹的运动方向不同，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散的。,这种奇点称为,不稳定的焦点,系统的特征根分布？,这种奇点称为,不稳定的节点,系统的相轨迹图,相轨迹,这种奇点称为,鞍点,该奇点是不稳定的 。,系统的特征根分布？,当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，则奇点类型决定该区域系统运动的形式。 若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点位于其它区域，则称为虚奇点。,设非线性系统 则在奇点（x,0）附近满足,根据特征方程,的特征根在复平面的位置有6种情况,特征根和奇点的对应关系,非线性系统的相平面分析,常见非线性

15、特性多数可用分段直线来表示，若根据非线性的分段特点，将相平面分成若干区域进行研究，可使非线性微分方程在各个区域表现为线性微分方程，再应用线性系统的相平面分析方法。,非线性系统的结构图如下图所示，,1、设,，试绘制系统,2、根据相平面图说明系统的稳定性及是否有静差。,平面上的相轨迹；,假定,8.4 描述函数法,1、描述函数的定义 2、典型非线性元件的描述函数 3、用描述函数法研究非线性系统,达尼尔（P.J.Daniel）于1940年首先提出。 基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。,描

16、述函数法是线性系统理论中频率法在非线性系统满足一定假设条件的推广。主要用来分析非线性系统的稳定性及正弦输入下的输出特性。 适用于任意阶非线性系统。,非线性系统的描述函数定义,假定，给非线性环节的输入为正弦量,一般情况下，其稳态输出为非正弦的周期函数，可展开成傅立叶级数,为直流分量,为第n次谐波分量,为傅立叶系数,而直流分量,若,且当,时,均很小,则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量,也就是以输出的基波分量近似代替整个输出y(t).,以上表明，非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。 定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量(基波分量)和输入信号的复

17、数比为非线性环节的描述函数，用N(A)表示,(1)若y=f(x)是x的奇函数，即f(x)=-f(-x)或正弦输入下的输出为t的奇对称函数，即 ，则 。,(2)若y(t)为奇函数，则,(3)若y(t)为奇函数，且又为半周期内对称时，即,一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。 当非线性环节中不包含储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位差与 w无关，描述函数只与输入信号幅值A有关。 非线性环节的近似频率特性与线性系统频率特性的区别？,结构图的等效变换 （1）与线性系统等效变换一样，简化的原则是信号的等效变换 （2）由于在讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部产生的周期运动，并不考

18、虑外作用，因此在将结构简化时，可认为所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路,用描述函数法研究非线性系统,一、非线性系统描述函数法分析的应用条件,1、非线性系统经变换和归化，可表示为非线性部分N与线性部分G相串联的典型反馈结构,2、非线性特性具有奇对称性,保证,3、非线性部分输出y(t)的基波分量最强； 4、线性部分G(s)的低通滤波效果较好 （线性部分阶次越高，低通滤波性能越好）,二、周期运动解与自激振荡,若非线性环节输入是正弦波，即,y(t)的基波分量为？,对线性部分,若,结果如何？,在没有外信号作用下，输出是一个正弦振荡。,便是系统的自由运动解,复平面绘 和 曲线，,由上式得,自由运动解为

19、正弦周期运动的条件,若系统受扰后，上述正弦周期运动经过一段时间，振幅仍能恢复为X，则具有这种性质的周期运动，称为自激振荡,交点-周期运动的解,回顾变增益线性系统的稳定性分析,三、应用描述函数法进行系统的稳定性分析,在复平面上绘制Nyquist曲线和 曲线时 ， 曲线上箭头表示随A增大， 的变化方向。,当非线性特性采用描述函数近似等效时，闭环系统的特征方程为,三、应用描述函数法进行系统的稳定性分析,即,称,为非线性环节的负倒描述函数,三、应用描述函数法进行系统的稳定性分析,对照线性系统Nyquist稳定判据知，-1/N(A)相当于线性系统稳定分析时复数平面上的(-1,j0)， 所以，非线性系统中的临界点为-1/N(A)曲线。 用G(jw)和-1/N(A)的相对位置来判断非线性系统的稳定性。,设线性部分传递函数G(s)中正极点个数为p,则有 1、若G(jw)曲线与-1/N(A)曲线没有交点，则系统不存在周期运动解。 若G(jw)曲线逆