2.2.2函数的奇偶性

1、1.3.2 奇偶性,观察函数f(x)=x2和f(x)= |x|图象并思考：,（1）这两个函数图象有什么共同特征？,（2）填函数值对应表,它们是如何体现这些特征的？,9 4 1 0 1 4 9,3 2 1 0 1 2 3,(3)能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗？,例如：对于函数 f(x)=x2，有： f(-3)=9=f(3); f(-2)=4=f(2); 、 f(-x)=x2=f(x),同样我们也能说明函数f(x)=|x|也是偶函数.,从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同.,实际上,对于定义域R内任意的一个x,都有f(-x)=(- x)2 =x2=f(x)

2、.这时我们称函数f(x)=x2为偶函数.,一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.,定义1,问题（2）函数f(x)=x2 x在区间【-1，2】是偶函数吗？,问题（3）偶函数的定义域有什么特征？,问题（4）偶函数的图象有什么特征？,观察函数f(x)=x和f(x)= 的图象回答问题：,（1）这两个函数图象有什么共同特征？,（2）填函数值对应表：,-3 -2 -1 0 1 2 3,-1 / 1,从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时， 相应的两个函数值也是一对相反数.,例如：对于函数 f(x)=x，有： f(-3)=-3=-

3、f(3); f(-2)=-2=-f(2); f(-x)=-f(x).,实际上，对于函数f(x)=x定义域R内任意的一个x ，都有f(-x)=-x=-f(x).这时我们称函数f(x)=x为奇函数.,同样我们也能说明函数f(x)= 也是奇函数.,（3）能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗？,一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.,定义2,(2)偶函数的图像关于y轴对称,奇函图象数关于原点对称.,（1)由定义知，若x是定义域中的一个数值，则x也必然在定义域中，因此函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.例如

4、，f(x)=x2在（-，+）上是偶函数，但 f(x)=x2在-1，2上无奇偶性.,奇偶函数定义的说明,(3)定义本身就是判断或证明函数奇偶性的方法.,（4）函数是奇函数或是偶函数称为函数具有奇偶性，,（5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是整体性质，而函数的单调性是定义域的子集上的性质，是局部性质,已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.,0,思考题,例1 判断函数f(x)=x3+x的奇偶性.,对于一个函数f(x)来说，它的奇偶性有四种可能： 是奇函数但不是偶函数，即f(-x)=-f(x)； 是偶函数但不是奇函数，即f(-x)=f(x)； 既是奇函数又是偶函数，即 ； 既不是奇函数也不是偶函数，即f(-x) f(x) .,课堂练习,判断下列函数的奇偶性：,（5）因为函数f(x)=x2-4的定义域是-3,9，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数,第一步先判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则f(x)是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则化简f(x)； 第二步判断f (x)与f (x)的关系. 第三步