高一数学第一章解三角形全章教案 必修5

1、下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时 正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；（3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程教学过程一问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在中，设，则， ， ， 即：， ， ， 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？二学生活动学生通过画三角形、测量

2、边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立教师再通过几何画板进行验证引出课题正弦定理三建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的不妨设为最大角，若为直角，我们已经证得结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论也成立？证法1 若为锐角（图（1），过点作于，此时有，所以，即同理可得，所以若为钝角（图（2），过点作，交的延长线于，此时也有，且同样可得综上可知，结论成立证法2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高、，则，所以，每项同除以即得：探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结

3、论呢？在中，有设为最大角，过点作于（图（3），于是设与的夹角为，则，其中，当为锐角或直角时，；当为钝角时，故可得，即同理可得因此四数学运用1例题：例1在中，求，解：因为，所以因为，所以，因此， ，的长分别为和例2根据下列条件解三角形：（1）；（2）解：（1），为锐角， ，（2），当；当；所以，说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题练习：在中，求和说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题2练习：（1）在中，已知，则 ， （2）在中，如果，那么 ，的面积是 （3）在中，则 （4）课本第页练习第题五回顾小结：1用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角

4、三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积2初步应用正弦定理解斜三角形六课外作业：课本第页练习第题；课本第页习题第、题1.1.1第2课时 正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；（2）熟记正弦定理（为的外接圆的半径）及其变形形式教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理教学过程一问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？二学生活动学生根据第页的途径（2），（3）去思考三建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有，所以的面积为同理的面积还可以表示为及，所以所以证法2 如下图，设

5、是的外接圆，直径（1）如图（2），当为锐角时，连，则，又，所以（2）如图（3），当为钝角时，连，则，又，可得，所以（3）当为直角时，显然有所以不论是锐角、钝角、直角，总有同理可证，所以 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径由此可得到正弦定理的变形形式：（1）；（2）；（3）四数学运用1例题：例1根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数（1），求；（2），求；（3），求； （4），求；（5），求解：（1），只能是锐角，因此仅有一解（2），只能是锐角，因此仅有一解（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解

6、得（5）由于为锐角，又，即，无解例2在中,已知判断的形状解：令，由正弦定理，得，代入已知条件，得，即又，所以，从而为正三角形说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断例3某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度(精确到米)分析：要求，只要求，为此考虑解解：过点作交于，因为，所以，

7、于是又，所以在中，由正弦定理，得在中，答：山的高度约为例4如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值解：由于为正三角形的中心，设，则，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，故当时取得最大值，所以，当时，此时取得最小值例5在中，是的平分线，用正弦定理证明：ACBD证明：设，则，在和中分别运用正弦定理，得，又，所以，即2练习：（1）在中，则 ( D )A B C D（2）在中，若，且，则 ， ， 五回顾小结：1了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法；2理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角

8、，求另一边的对角，进而可求其它的边和角六课外作业：课本第页练习第题；课本第页习题第、题1.1.2 第3课时 余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形教学过程一问题情境1情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题2问题：在上节中，我们通过等式的两边与（为中边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式数量化吗？二学生活动如图，在中，、的长分别为、 ， 即； 同理可证：， 三建构数学1 余弦定理 上述等式表明，三角形任何一边的

9、平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍这样，我们得到余弦定理2思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理方法1：如图1建立直角坐标系，则所以同理可证，注：此法的优点在于不必对是锐角、直角、钝角进行分类讨论方法2：若是锐角，如图2，由作，垂足为，则，所以即，类似地，可以证明当是钝角时，结论也成立，而当是直角时，结论显然成立同理可证， 图1 图23余弦定理也可以写成如下形式： ， ， 4余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四数学运用1例题：例1在中，（1） 已

10、知，求；（2） 已知，求（精确到）解：（1）由余弦定理，得，所以 （2）由余弦定理，得，所以，例2 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离（精确到）解：由余弦定理，得所以，答：两地之间的距离约为例3用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，证：当为锐角时，由余弦定理，得，即 同理可证，当为钝角时，2练习：书第15页练习，五回顾小结：1余弦定理及其应用2正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用； 六课外作业：书第16页，2，3，4，6，7题1.1.2 第4课时 余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公

11、式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如教学过程一问题情境1正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角2余弦定理及其解决的三角形问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角四数学运用1例题：例1在长江某渡口处，江水以的速度向东流，一渡船在江南岸的码头出发，预定要在后到达江北岸码头，设为

12、正北方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度精确到）？解：如图，船按方向开出，方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，其中在中，由余弦定理，得，所以 因此，船的航行速度为在中，由正弦定理，得 ，所以 所以 答：渡船应按北偏西的方向，并以的速度航行例2 在中，已知，试判断该三角形的形状解：由正弦定理及余弦定理，得，所以 ，整理得 因为，所以因此，为等腰三角形例3如图，是中边上的中线，求证：证：设，则在中，由余弦定理，得在中，由余弦定理，得因为，所以，因此， 例4在中，是方程的两个根，且，求：角的度数； 的长度； 解： ；由题设： ，

13、， 即；DCBA2练习：（1）书第16页练习，（2）如图，在四边形中，已知,，, , ，求的长（3）在中，已知，求的最大内角；（4）已知的两边是方程的两个根，的面积是，周长是，试求及的值；五回顾小结：1正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式；3应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状六课外作业：书第17页5，8，9，10，11题1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实

14、际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤教学过程一问题情境1复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；（2）正弦定理的变形：；（3）余弦定理：二学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等

15、许多领域有着广泛的应用.1下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线. 2应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：根据题意作出示意图；确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；选用合适的定理进行求解；

16、给出答案.四数学运用1例题：例1如图1-3-1，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.解：在中，则.又，由正弦定理，得图1-3-1.在中，则.又，由正弦定理，得.在中，由余弦定理，得，所以 答两点之间的距离约为.本例中看成或的一边，为此需求出，或，所以可考察和，根据已知条件和正弦定理来求，再由余弦定理求.引申：如果，两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量，两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿

17、方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，又，.由余弦定理，得，即.化简，得图1-3-2，解得（负值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角为.答 舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出和；再根据正弦定理求出.例3如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进

18、，求船速.解：设，船的速度为，则，.（例3）在中，.在中，.在中，船的速度.2练习：书上P20 练习1，3，4题.五回顾小结：1测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（

19、2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。教学过程一问题情境1复习引入总结解斜三角形的要求和常用方法.（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.（2） 应用余弦定理解以下两类三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.二学生活动引导学生回忆上节课内容，总结利用两个定理解决实际问题的一般步骤.想一想可以用这两个定理来解决有关物理问题和几何问题吗？三数学运用1例题：例1如图，在四边形中，已知,，, , ，求的长.解：在中，设，则， 即， ，（舍去），图1-3-3由正弦定理：， 例2作用在同一点的三个力平衡.已知， ，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）.解：应和合力平衡，所以和在同一直线上，并且大小相等，方向相反.如图1-3-3，在中，由余弦定理，得.再由正弦定理，得，所以，从而.答 为，与之间的夹角是.本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：由图根据余弦定