第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性.ppt

1、第3讲函数的奇偶性与周期性,f(x)f(x)或,f(x)f(x) 或,相同,相反,(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称,(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称,(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.,判断函数的奇偶性有三种方法： （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法,3、奇偶性推广（对称性）,（1）若 则 的图像关于直线 对称， 即f(x+a)为偶函数 （2）若 则 的图像关于 对称， 即f(x+b)为奇函数,f(xT)f(x),存在一个最小,（3）几种不同的给出函数周期的形式,若 若 若,5.与对称性联系,函数的奇偶性,1.函数f(x)=-x的图象关于()

2、,A.y轴对称B.直线y=-x对称,C.坐标原点对称 D.直线y=x对称,解析:f(x)=-x是奇函数,所以图象关于原点对称.,答案:C,考点一,解析,2.(2012南京模拟)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 (),A.f(x)与g(x)均为偶函数,B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,C.f(x)与g(x)均为奇函数,D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数.,答案:B,解析,3.(密码改编)设f(x)为定义在R

3、上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=.,解析:由f(0)=0得b=-1,f(-1)=-f(1)=-(2+21-1)=-3.,答案:-3,解析,4.讨论下列函数的奇偶性:,(1)f(x)=|x|(x2+1);,解:(1)此函数的定义域为R.,f(-x)=|-x|(-x)2+1=|x|(x2+1)=f(x),f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.,解析,f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.,解析:f(x)的周期为5,f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又f(x)为R上的奇函数.f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.,答案

4、:A,考点二函数的奇偶性与周期性,1.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于(),2.已知f(x)在R上是奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2 011)等于(),A.-2B.2,C.-18D.18,解析:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)是周期为4的周期函数.,f(2 011)=f(-1),又f(x)为奇函数.,f(-1)=-f(1).而当x(0,2)时,f(x)=2x2,则f(1)=2.,f(2 011)=f(-1)=-f(1)=-2.,答案:A,解析,解

5、析,1.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+)上单调递减的是 ,考点三,(),A.y=x2+cosxB.y=-|x|,C.y=lg2xD.y=,解析:对于A项,函数为偶函数,但在(0,+)上的单调性不确定.,对于B项,函数为偶函数,在(0,+)上为减函数.,解析,函数性质的综合运用,对于C项,函数为奇函数,在(0,+)上为增函数.,对于D项,函数为奇函数,在(0,+)上为减函数.,答案:B,2.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是(),A.7B.6C.5D.4,解析:依题可知f(x)=f(x+3),故f(2)=f(5)

6、=0.,又f(x)是定义在R上的奇函数,f(-x)=-f(x).,f(-2)=-f(2)=0,f(-2)=f(1)=f(4)=0.,又奇函数有f(0)=0,解析,f(3)=f(6)=0.,又f(-)=f()且f(-)=-f(),f()=-f(),f()=0,f()=f()=0.,在(0,6)内f(x)=0解的个数最小值为7.,答案:A,3.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0.,(1)求f()及f();,(2)证明:f(x)是周期函数.,解:(1)对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f(x)=f()f() 0,x0,1,f(1)=f(+)=f()f()=f()2,解析,f()=f(+)=f()f()=f()2,f(1)=a0.f()=,f()=.,(2)证明:依题设y=f(x)关于直线x=1对称,f(x)=f(1+1-x),f(x)=f(2-x).,又f(-x)=f(x),f(-x)=f(2-x).,f(x)=f(2+x).,f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.,1.因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函,数在(a,b)与(-b,-a)上