格林公式及其应用

1、格林公式及其应用,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,一、格林公式,在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ：,表示:,在区间a,b上的积分可以通过它的原函数,在这个区间端点上的值来表达。,下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上,的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲 线积分来表达。,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都 属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通 俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”）的 区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。,例如，平面上的圆形区域（x,y） |1,4 或,2

2、都是复连通区域。,（x,y）| 0,平面单连通区域的概念：,对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正方向如下： 当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部 分总在他的左边.例如：D是边界曲线L及l 所围成的复连通 区域，作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l 的 正向是顺时针方向。,定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有,其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。,(1),注意哦,对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。,在公式（

3、1）中取 P=-y，Q=x, 即得,上式的左端是闭区域 D 的两倍，因此有：,例 1 求椭圆,所围成的图形面积A,格林公式的一个简单应用：,根据公式（1）有：,例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明,解：,证明:,则,因此，有格林公式得,例 3 计算,其中 L 为一条无重,点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向。,令,解：,则当,时，,有,记 L 所围成的闭区域为 D .当,时由格林公,式得：,令,当,时，选取适当的 r0 ，作为于D内的,圆周 l :,记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。,对复连通区域 D1 应用格林公式，得,其中 l 的方向取逆时

4、针方向，于是：,一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外， 还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线 积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问 题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。,设 G 是一个开区域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G 内具有一阶连续偏导数。如果对于 G 内任意指定的 两个点 ：,二 平面曲线积分与路径无关,以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两段曲线 L1，L2等式：,恒成立，则称 曲线积分,在 G 内与路径,无关，否则就称该曲线积分与路径有关，此时，从 A 到,B 的曲线积分可记为,或,定理2 设二元函数P (x,y),Q(x,y)在单连通区域G

5、 具有一阶连续偏导数，则在单连通区域 G 内下列条件等价：,（1）,（2）沿任意分段光滑的有向,（3）曲线积分,与路径无关。,闭曲线 L ，有,满足,注意：,(1) 定理中的等价关系是建立在单连通区域 内的，并且要求 P (x,y) ,Q(x,y) 在G 上具有有一阶连续偏导数，当这两个 条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。,(2) 定理中命题(2)和(3)的等价区域可以不是单连通的。,(3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件,例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分,与路径无关，且对任意实数 t ，恒有,求函数 Q (x,y).,解：

6、由题意知曲线积分与路径无关，因而有,即,于是,其中,为任意可导函数。,如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式,左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得,将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得,即,两段对 t 求导数 ， 得,或,故,三、二元函数的全微分求积,给定 u(x,y)，,-求二元函数全微分问题,-二元函数的全微分求积分题,讨论以下两个问题：,定理 3,设区域G 是一个单连通域，函数P(x,y)+Q(x,y) ， 在 G内具有一阶连续偏导数，则 在 G内是某个函数 的全微分的充分必要条件是：,在G

7、内恒成立。,证明略。,推论：,说明：,(2) 推论给出了全微分求积得方法，即 ：可用积分法求,及动点M(x,y)，,例 ：,证：,小结,内容,应用,1、格林公式,常用来将较复杂的曲线积分的计算转化为较,简单的二重积分的计算.,2、曲线积分与路径无关的条件,3.等价条件,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,在 D 内与路径无关.,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,在 D 内有,求第二类曲线积分的思路:,专项练习,1 . 计算下面曲线积分，并验证格林公式的正确性：,解：,其中 L 是由抛物线,及,所围成的区,域的正向边界曲线；,故,用二重积分计算：,2. 利用曲线积分，求下面曲线所围成的图形面积： 圆 ：,解：,正确。,的参数方程为：,所以格林公式：,圆 ：,3 . 证明下面曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值：,解:,在整个xOy平面内成立，所,以积分