高三数学 名校尖子生培优大专题 数学解题方法之换元法探讨教案 新人教A版

1、第11回：数学解题方法的转换法探讨在第38话中，我们讨论了对数学思想方法，从第9话开始讨论了对数学解题方法。 在数学题中，常用的数学解题方法有保留系数法、配置方法、交换法、数学归纳法、反证法等。在解数学题时，将某个公式视为一个整体，将其替换为一个变量，以此来简化问题，将其称为换算法。 置换法也称为辅助元素体法、变量置换法。 转换的本质是转换，重要的是结构元或者设置元，理论依据是等量置换，导入新变量，结合分散的条件，弄清隐含的条件，结合条件和结论，把不习惯的形式变成习惯的形式，简化复杂的修正和证明，标准化非标准的问题通过变换，可以将高阶设定为低阶，将化分式设定为整式，有理数化理不尽式，代数式化超

2、越性式，将化代数式设定为三角式等。 在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题上得到广泛应用。 兑换的方法有：局部兑换、三角兑换、平均兑换。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下三个方面探讨交换法的应用： (1)局部交换法的应用；(2)三角交换法的应用；(3)平均交换法的应用。另一方面，局部转换法的应用：局部转换也称为整体转换，在已知或未知中出现几次某个代数式，将其用一个字符进行置换以简化问题。 当然，有时只有变形了才能发现。典型例题：方程的解是【回答】。【考试点】解开指数方程。方程是简化的。如果命令，则原始方程式为解或(截断)。我是。 原方程式的解是。【注释】使原来的方程式成为习惯了的

3、一次二次方程和指数方程的问题。例2 .已知函数的图像大致为【 】【回答】。【试验点】导函数的应用。设定【解析】后时， 有时候，我是。或者都有。 所以排除。 故选。【注释】通过使原函数成为比较单纯的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性，做出正确的判断。例3 .设定(I )求出上面的最小值(II )求出点处曲线的切线方程式的值。解：设定(I )后，我是。当时。 上面是增量函数。当时，的最小值是。当时，仅当时，的最小值为。(ii )我是从问题的意义中得出：即可以解。【试验点】复合函数的应用，导函数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。【解析】(I )根据导函数的性质分开解。(II )从切线的几何语

4、义列方程式求解。【注释】通过使原函数成为比较单纯的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性。例4 .若数列满足，则的前60项之和为【 】(A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830【回答】d【试验点】分类归纳(数字的变化类)、数列。求的通项：由得当时； 当时； 当时；当时； 当时； 当时；当时； 当时；当时； 当时； 当时；当时，()。，的四项之和是()设定()不是前项之和相等的前15项之和，而是初项为10、公差为16的等差数列前项和=的上位15项和=。 所以我选d【注释】设置将原数列的前项和简单等差数列的前15项相加的问题。例5 .设函数为公差不为0的等差数列时【 】a、0 B

5、、7 C、14 D、21【回答】d【试点】高次函数的性质、等差数列的性质。公差不为0的等差数列，将公差记为。我是。原则的双曲馀弦值。、。的双曲馀弦值。我是。 所以我选d通过设定【注释】，方程式变得简单。例6 .已知正数满足：的可取值范围为。【回答】。【试验点】可执行领域。【解析】条件如下。如果设置，主题将转换为知道了满意、可以求得的值的范围。创建带有()的平面区域(图)。 求出的剪辑线的斜率可以将过切点的切线那么，为了最小化，需要。最小值在此处，是。 这时，把点放在上面的中间。()对应点时，最大值在哪里，是7。可取值的范围是，即，可取值的范围是。通过设定【评论】，将问题变成可执行区域问题解决。

6、二、三角换算法的应用：三角源是利用已知代数式中与三角知识的联系进行源，垂直角坐标和极坐标的相互化是典型的三角源。典型例题：例1.)在极坐标系中，从圆的中心到直线的距离为豊【回答】。【试验点】极坐标和垂直角坐标的变换，从点到直线的距离式。将【解析】转换为垂直角坐标方程式：其圆心坐标为。 将转换为垂直角坐标方程式。从点到直线的距离公式，从圆心到直线的距离是。【注释】通过极坐标方程式化垂直角坐标方程式(本质是三角变换)，可以很好地解决问题从正交坐标系的中点到直线的距离问题。例2 .在极坐标系中，如果与曲线：曲线：的升交点在极轴上，则a=。【回答】。【试验点】直线的极坐标方程式，圆的极坐标方程式，直线

7、和圆的位置关系。曲线的垂直角坐标方程式是曲线的一般方程式为垂直角坐标方程式，曲线C1 :曲线C2 :的一个升交点在极轴上与轴为升交点的横轴等于值。原因，我知道。【评价】根据极坐标方程式化垂直角坐标方程式(本质上是三角变换)，把问题变为习惯的垂直角坐标问题解决。直线和圆相交的弦长是，【回答】。【试验点】极坐标方程式，圆和直线的关系。【解析】将极坐标方程式变换为通常方程式时，由and、联立方程式构成的方程式组求出两升交点的坐标和，所以弦长相等。【评价】通过极坐标方程式化垂直角坐标方程式(本质上是三角变换)，解决使用习惯了问题的垂直角坐标问题。例4 .已知曲线的残奥仪表方程式以坐标原点为极、轴的正轴

8、为极轴来创建坐标系，曲线的坐标系方程式中，正方形的顶点全部位于上方，围绕逆时针方向排列，点的极坐标是求(I )点的垂直角坐标()作为上述任意点可以求得的值的范围。解： (I )正方形的顶点都在上面。点的极坐标是。点的垂直角坐标如下所示，即。(ii )设定的话。，我是。，可取值的范围。【试验点】残奥仪表方程式和极坐标方程式，极坐标和垂直角坐标的变换，三角函数值的范围。(I )根据正方形的性质，首先将求出的极坐标变换为垂直角坐标，两点间距离式。(ii )根据两点间的距离式，求出的式子能够求出其可取值的范围。【注释】通过利用残奥仪表方程式(本质是三角变换)，将问题变为三角函数，求出范围问题。三、平均

9、交换法的应用：平均交换利用两个量的平均值和一个字母元，将原来的两个量的关系联起来，简单地进行修正，即形式为形式时，进行交换。 其中有平均值，为新元。典型例题：例1 .中，内角、成为等差数列，其对边、满足，求出a。解：内角、等差为等差数列我是。 我是。另外根据正弦定理，可以得到。 我是。从进行平均值的兑换并设定。是的，我简化一下。我是。 或。【试验点】求解三角形的运用、等差数列的性质、三角形的内角和定理、正弦定理、两角和的三角函数。【解析】角、等差数列和三角形内角和定理可得到。 利用平均变换法，从应用了正弦定理和平方和的三角函数对简并性方程式进行简化，求出解答。【评论】通过变换平均值，将问题变成单纯的三角函数问题。