高三数学一轮 2.8 函数与方程导学案 理 北师大版

1、第11课函数和方程指导目标：1 .通过结合二次函数的图像来理解函数零点和方程根之间的关系，将会判断二次方程根的存在性和根的个数。2.根据特定函数的图像，通过二分法可以得到相应方程的近似值。自梳1.函数零的定义(1)对于函数y=f (x) (x d)，使_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _成立的实数x称为函数y=f (x) (x d)的零点。(2)方程f (x)=0有一个实根函数y=f (x)，相交函数y=f (x)有_ _ _ _ _ _。2.函数零点的判断如果函数y=f (x)在区间a，b中的像是一条具有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _的连续曲线，那么函数y=f (x)在区间中有

2、零点，即存在c(a，b3.二次函数y=ax2 bx c (a0)的像与零点的关系0=00二次函数y=ax2 bx c(a0)的图像与X轴相交_，_没有交叉点零的数量_4.用二分法求函数f(x)零点的近似值的步骤第一步是确定区间a，b，验证_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，并给出精度；第二，找到区间(a，b)的中点c；第三步：计算_ _ _ _ _ _ _ _:(1)如果_ _ _ _ _ _ _ _，那么c是函数的零点；如果_ _ _ _ _ _ _ _，让b=c此时，零x0(a，c)；如果_ _ _ _ _ _ _ _，让a=c此时，零x0(c，b)；第四步是判断是否达

3、到精度，即如果| a-b | ，则得到零近似A(或B)；否则，重复步骤2、3和4。自测1.(福建，2010)f (x)=的零数是f(x)=的A.0B.1C.2D.32.如果函数y=f (x)在r上增加，那么函数y=f(x)的零点A.至少一个b。最多一个C.只有一个d，可能有无数个3.图中所示的函数图像与X轴相交，图中相交的横坐标不能用二分法计算()A.B.C.D.4.设f (x)=3x 3x-8，在用二分法求x(1，2)中方程3x 3x-8=0的近似解的过程中，得到f(1)0，f(1.5)0和f(1.25)0，则方程根所在的区间为()A.(1，1.25)B.(1.25，1.5)C.(1.5，2

4、) D .不确定5.(福州模拟，2011)如果函数f(x)的零点和g (x)=4x 2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.f(x)=ln(x-0.5)点函数零点判定的探讨例1判断函数y=ln2x-6的零点数。变换跃迁1(烟台模拟2011)如果r上定义的偶函数f(x)满足f(x 2)=f(x)，并且如果xn0，1，f (x)=x，那么函数y=f (x)-log3 | x |的零点数为A.超过4 B. 4C.3 D. 2探索第二点，通过二分法找到方程的近似解例2找到方程2x 33-3=0(精度0.1)

5、的近似解。变型过渡2(淮北模拟，2011)当用二分法研究函数f (x)=x3 ln的零点时，第一次通过计算f (0) 0，0可以得到零点x0_ _ _ _ _ _ _ _，第二次应该在水平线以上计算A.B.(0，1) fC.D.探讨第三点，利用函数的零点来确定参数例3众所周知，a是一个实数，函数f(x)=2 x2 2x-3-a .如果函数y=f (x)在区间-1，1中为零，求a的取值范围.转变3。如果函数f (x)=4x a2x a 1在(-，)上有零点，它就是实数a的值域.1.充分理解和深刻理解函数的零点；(1)从“数”的观点来看：是实数x使f(x)=0；(2)从“形状”的角度来看：即函数f

6、(x)的图像与X轴相交的横坐标；(3)如果函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，那么零x0通常被称为常数符号零；(4)如果函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相交，那么零x0通常被称为变号零。2.求函数y=f (x)的零点的方法：(1)(代数方法)求方程f (x)=0的实数根(常用的公式法、因式分解法、直接解法等。)；(2)(几何方法)对于不能使用根公式的方程，它可以与函数y=f (x)的图像相关联，并且可以利用函数的性质找到零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)f(b)0表明用二分法求函数的近似零点是指符号变化的零点。3.关于函数零点的重要结论：(1)如果

7、连续函数f(x)在域中是单调函数，那么f(x)最多有一个零点；(2)连续函数，其中两个相邻零之间的所有函数值保持相同的符号；(3)当连续函数图像通过零点时，函数值的符号可能不变。(满分：75分)首先，多项选择题(每个小问题5分，共25分)1.(天津，2010)函数f (x)=2x 3x的零点所在的区间为()A.(-2，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，2)2.(福州质检2011)已知函数f (x)=log2x-x，如果实数x0是方程f (x)=0的解，则02，x25C.x12，x25D.255.(厦门月考2011)如果函数f (x)=g(x)=log2x，则函数h (x)=f (x

8、)-g (x)的零点数为f(x)=A.4B.3C.2D.1标题号12345回答第二，填空(每个小问题4分，共12分)6.在R上定义的奇函数f(x)满足：当x0，f(x)=2 006x log2 006x，那么在R上，函数f(x)的零点数是_ _ _ _ _ _。7.(深圳仿真，2011)众所周知，函数f (x)=x 2x，g (x)=x ln x和h (x)=x-1的零点分别为x1、x2和x3，因此x1、x2和x3的大小关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _8.(山东，2009)如果函数f (x)=ax-x-a (A0，a1)有两个零，实数A的取值范围为_ _ _ _ _ _

9、 _ _ _。第三，回答问题(共38分)9.(12点)已知函数f (x)=x3-x2。证明了存在x0(0)，所以f (x0)=x0。10.(12点)已知二次函数f (x)=4x2-2 (p-2) x-2p2-p 1在区间-1，1中至少有一个实数c，因此f(c)0是实数p的值域.11.(14分)(2011年杭州调查)让函数f (x)=ax2 bx c，和f(1)=3a 2c 2b，并验证：(1)a0和-3-；(2)函数f(x)在区间(0，2)中至少有一个零点；(3)让x1和x2是函数f(x)的两个零，然后 | x1-x2 |。答案是独立整理出来的1.(1) f (x)=0 (2) x轴零点2.f

10、(a)f(b)0 (a，b) f (c)=0c3。(x1，0) (x2，0) (x1，0)两个不带4。f (a)自测1.c当x0时，让x2 2x-3=0，x=-3；当x0，让-2 ln x=0，得到x=E2。所以已知函数有两个零。2.B 3。B 4。B 5。A教室活动区例1确定一个函数的零点数最常用的方法是使f (x)=0，它被转换成方程的根数，求解有几个根的方程，函数y=f (x)有几个零点。如果方程的根不能求解，还有另外两种方法来判断：第一种方法是基本方法，它利用零的存在性原理，通过参照单调性来注意零的唯一性；第二种方法是数字和形状的结合，要注意绘画技巧。第一个解是f (x)=ln x 2

11、x-6，* y=ln x和y=2x-6是递增函数，f(x)也在增加功能。f (1)=0 2-6=-40，f (3)=ln 30，f(x)在(1，3)上有零点，f(x)是递增函数。函数在(1，3)上有唯一的零点。在第二种方法中，y=lnx和y=6-2x图像在同一坐标系中绘制。从图中可以看出，两幅图像之间只有一个交点，因此函数y=lnx 2x-6只有一个零点。从问题的意义来看，f(x)是一个偶数函数，周期为2。从f (x)-log3 | x |=0，我们得到f (x)=log3 | x |，让y=f (x)，y=log3 | x |，这两个函数是偶函数，把这两个函数的y轴画到右边。边缘的图像如图所

12、示。这两个函数有两个交集，因此在x0和X R的范围内，零的数目是4例2解题指南用二分法求函数的零点时，最好用表格将计算过程中得到的每个区间的函数值、中点坐标和区间中点放在表格中，这样可以清楚地显示零点所在区间逐渐缩小的过程，有时数轴也可以用来表示这个过程；在确定方程近似解所在的区间时，将其转化为方程对应函数零点所在的区间为了找到方程的近似解，要求的精度不同，结果也不同。精度是指在计算过程中获得一定的区间(a，b)后，可以停止计算，直到| a-b | ，并且结果可以是满足精度的区间中最后一个单元格的终点或任意实数，并且结果不是唯一的。让f (x)=2x3 3x-3。经过计算，f (0)=-30，

13、f (1)=20，因此，函数在(0，1)中有零点，也就是说，等式233-3=0在(0，1)中有解。取(0，1)的中点为0.5，计算f(0.5)0。f(1)0，所以2x3 3x-3=0的方程在(0.5，1)中有解。如果我们这样继续下去，我们可以得到方程的实解的区间，如下表所示。(a，b)(a，b)中点f(0，1)0.5f(0.5)0(0.5，1)0.75f(0.75)0(0.5，0.75)0.625f(0.625)0(0.625，0.75)0.687 5f(0.687 5)0(0.687 5，0.75)|0.687 5-0.75|=0.062 50.1在这一点上，可以看出方程的根落在区间长度小于

14、0.1的区间(0.6875，0.75)内，区间的端点(0.6875)可以看作函数f(x)零点的近似值。因此，0.687 5是2x3 3x-3=0的方程的近似解，精度为0.1。变量迁移2d因为f(0)0，f0，x3和ln在f(x)=x3 ln中是递增函数，f(x)也是递增函数，因此，f(x)中有一个零点，所以x0，第二次计算应该计算0和数轴上相应的中点x1=。例3如果a=0，f (x)=2x-3，显然-1，1上没有零点，所以a0。假设=4 8a (3 a)=8a2 24a 4=0。解决方法是a=。(1)当a=，f (x)=0的倍数根x=-1，1，当a=时，f (x)=0的倍数根x是-1，1， y=f (x)在-1，1上正好有一个零点；当f (-1) f (1)=(a-1) (a-5) 0时，即11或a。变体转移3解决方案的方法1(替代)如果2x=t，函数f (x)=4x a2x a 1变成g (t)=T2在1 (t (0，)。函数f (x)=