高三数学一轮 4.7解三角形应用举例导学案 理 北师大版

1、4.7三角剖分应用实例2014高考会利用正弦定理余弦定理这样考察实际问题和与三角形相关的角度、方向、距离等测量问题。复习准备考试要这样做。1.在实际问题抽象中，将解决三角问题，培养建模能力。2.掌握解决三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用。1.利用正弦定理和余弦定理求解三角形的一般问题测量距离问题、高度问题、角度问题、面积计算问题、航海问题、物理问题等。2.实际问题的一般角度(1)古道和倾斜角在垂直平面(如目标线)内的水平视线和目标视线的角度，目标视线称为水平视线上方的高度，目标视线称为水平视线下方的倾向性(图1)。(2)方向角：相对于正方向(例如东南30、西北45等)的水平角

2、度。(3)方位角指示从正北向顺时针方向线的水平角度。例如，B点的方位角为(图2)。(4)坡度：由坡度和水平面形成的二面角的切线。3.解三角应用问题的一般程序(1)阅读问题的意义，了解问题的实际背景，阐明已知和未知、数量和数量之间的关系。(。(2)根据问题的意思画示意图，将实际问题抽象成解决三角问题的模型。(3)根据问题的含义，选择正弦定理或余弦定理来解决。(4)把三角形问题恢复为实际问题，注意实际问题的单位问题，对粗略计算的要求等。请求困难的正本疑团解决三角应用问题的两种茄子情况(1)实际问题抽象后，已知量和未知杨怡都集中在一个三角形上，可以用正弦定理或余弦定理解决。(2)在抽象地概括实际问题

3、后，已知量和未知量包括两个或更多三角形，在牙齿情况下，需要创建这样的三角形，先解条件中的三角形，逐步解其他三角形，有时设置未知量，在几个三角形中列出方程(组)，解释方程(组)，推导出所需的解释。1.在一个测量中，b点的高程为60，c点的方向角为70，则a测量相同半平面方向时，_ BAC=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案130解决方法是已知bad=60、CAD=70、BAC=60 70=130。2.(2011年上海)从2千米外的a，b 2点测量目标c。(如果cab=75，Cba=60时，a，c点之间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _公里。答案问题指示c=4

4、5，如图所示。在正弦定理中=AC=。3.河岸30米高，河中有两艘船，船和炮台底部在同一个水面上，在炮台顶部各以45和60为单位测量，如果两船和炮台底部以30角连接，则两船徐璐分开。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ m .答案10如图所示，OA是炮台，M，N是两艘船的位置，AMO=45，ANO。=60，om=aotan 45=30，On=aotan 30=30=10，用余弦定理得到的。Mn=10(m)。4.某登山队在山脚a山山顶b的仰角为45，沿倾斜角度为30的坡度前进1，000米后到达d，如果山顶的仰角为60，则山的高度BC为_ m。答案500 (1)将点d解析为de-AC，将BC交给e

5、。因为 DE-AC=30 ，ADE =150。因此，ADB=360-150-60=150。另外，bad=45-30=15，因此，Abd=15，在正弦定理中，ab=500 () (m)。所以在RtABC中，BC=ABS in 45=500 (1) (m)。5.两个灯塔A和B与海岸观测站C的距离相同，灯塔A位于观测站东北40，灯塔B位于观测站东南60，灯塔A位于灯塔B()A.东北10b。西北10C.东南10 D .西南10答案b分析灯塔a、b的相对位置，如图所示。已知ACB=80，Cab=CBA=50，=60-50=10，即西北10。问题类型1距离测量问题范例1若要测量相对的a，b两点之间的距离，

6、请选取km以外的c，d两点，然后测量ACB=75、BCD=45、ADC=30、ADB=45、a启发思维：将问题的距离和角度转换成三角形，然后使用正余弦定理解决三角形。在ACD中，如图所示ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD=km。在BCD上，BCD=45，Bdc=75，CBD=60。BC=。由ABC中的余弦定理得到。Ab2=() 2 2-2 cos75=3 2 -=5，AB=(km)，-a，b之间的距离是km。探讨提高这种实际应用问题实质上是解决三角形问题。一般来说，正弦定理和余弦定理是不可或缺的。在解决问题中，首先要正确地画出符合问题意思的示意图，然后把问题变成三角形问题来解决。

7、注：基线的选择必须适当准确。选定三角形和正负定理必须适当。例如，一个住宅小区的平面图是中心角为120的扇形AOB、C是牙齿小区的入口之一，小区有一张与AO平行的小路CD。有人从OD到D花了2分钟，沿着D到DC到C花了3分钟。据悉，如果牙齿人走路的速度为每分钟50米，那么扇形半径为_。答案50解析连接OC，在OCD上，Od=100，CD=150，CDO=60，可以从余弦定理中得到Oc2=1002 1502-2100150=17 500，请理解Oc=50(米)。问题类型2测量高度问题例2有人从塔的正东沿西南60方向前进了40米后，看到塔向东北方向前进，沿途塔顶最大高度为30时，就求出了塔的高度。(

8、威廉莎士比亚，Northern Exposure(美国电视电视剧)，塔语)思维启蒙：按照问题意图画画的人，C里的人，AB上，他在CD前面。输入，CD=40米；对于牙齿，DBF=45从C到D的古道测量；仅当从B到测试点的距离最短时，高程才最大。这是因为tanAEB=、AB值、BE最小时间、高程最大小。如图所示，有人在C，AB是塔哥。他沿着光盘前进。CD=40，此时DBF=45，经过B，BECD变为E。然后aeb=30，在BCD上，CD=40，BCD=30，DBC=135，正弦定理，结果=，BD=20(米)。Bde=180-135-30=15。在RtBED上，Be=dbsin15=20=10 (-

9、1)(米)。在RtABE中， aeb=30，ab=betan 30=(3-)(米)。因此，所需的塔式高度为(3-)米。测量高度时，要正确理解仰角、倾向性概念，绘制正确的示意图，要适当选择相关三角形和正负、余弦定理，逐步解决。请综合运用方程和平面几何，立体几何等知识。如图所示，B、C和D 3点位于地面上的同一条直线上。DC=在a，c，d两点处，a点的仰角为和 ( )，a点在地面处的仰角为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案分析ab=acsin ，=，Ab=。问题类型3测量角度问题例3某渔船在航行中不幸发出求救信号，在我们海军舰艇从A处得知后，立即测量该渔船位于方位

10、45，距离10 n mile的C处，测量渔船正沿着方位105的方向以9 n mile/h的速度接近某岛，我们海军舰艇立即测量为21nmile。思维启蒙：与牙齿问题相关的旅程在不断变化，但舰艇和渔船相遇所需的时间是相同的，首先设定所需时间T，找到等量的关系，然后求解三角形。如图所示，根据AC=10，ACB=120靠近陷阱。渔船所需时间为t h，在B与渔船相对时，AB=21T，BC=9T，ABC根据余弦定理，AB2=AC2 BC2-2 ACBC COS 120，因此212 T2=在牙齿点，ab=14，BC=6。根据ABC中的正弦定理=因此，sin _ cab=，也就是说，CAB21.8或CAB15

11、8.2(被抛弃)。陷阱导航的方位角为45 21.8=66.8。所以舰艇以66.8方位航行，接近渔船需要H。为了提高航行相关问题，需要把握时间和行程的两个茄子关键，在求解三角形的时候，将各种关系集中在一个三角形上，利用条件。(约翰肯尼迪，美国电视电视剧)如图所示，位于A的信息中心就在东部。40海里外的B处有一艘渔船遇难，正在原地等待救援。信息中心立即将消息公布在西南30，20海里外的C处的乙行。目前，乙船正沿着东北塞塔的方向沿直线CB前往B进行救援。COS seta等于()。A.b.c.d .答案b如分析所示，ABC中的ab=40、AC=20、BAC=120，馀弦定理BC2=AB2 AC2-2

12、ABACCOS 120=2 800，所以BC=20。通过正弦定理获得Sin _ ACB=sin _ BAC=。Bac=120，因为您知道ACB是锐角，cos-ACB=。因此，cos =cos (AC b 30)=cos/acbcos 30-sin/acbs in 30=。正余弦定理在实际问题中的应用先例：(12分钟)在海岸A东北45方向，A处(-1)发现。海里的B有一艘走私船。A处西北75方向，A处2海里C侧的我方走私船被命令以10海里/小时的速度追赶走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处逃到东北30方向。问：走私船要往什么方向开才能最快地抓住走私船？然后找到所需的时间。审查观点(1

13、)区分已知条件和未知条件(待定)。(2)把问题集中在ABC和BCD等三角形上。(3)用正弦定理或余弦定理求解。规范答案拆除走私船要在CD方向行驶T小时才能最快拦截走私船。Cd=10t(海洋)，BD=10t(海洋)，一点在ABC中，通过余弦定理Bc2=ab2 ac2-2 ABAC cos BAC=(-1) 2 22-2 (-1) 2 cos120=6。BC=(海洋)。3点又=sin；ABC=、ABC=45，b点位于c点正东方，CBD=90 30=120，5点BCD到正弦定理=sinBCD=。BCD=30，走私船在东北60方向行驶。8分钟另外在BCD上，CBD=120，BCD=30，d=30，BD

14、=BC，即10t=。t=小时15(分钟)。11分钟走私船要在东北60方向行驶，才能最快地拦截走私船。大约需要15分钟。12分钟解决斜三角形应用问题的一般步骤如下第一步：分析，理解问题的意义，区分已知和未知，绘制示意图。步骤2:建模根据已知条件和解决目标获取已知量海量尽可能集中在相关三角形上，形成海坡3角度数学模型；第三步：利用解析正弦定理或余弦定理有序地求解三角形。求形状，数学模型的解决方法。步骤4:检查上面请求的解决方案是否符合实际含义。得到实际问题的答案。训诫(1)从实际出发制作数学模型是解决应用问题的基本思路。如果涉及三角形问题，我们就把它抽象成三角问题，然后回到实际问题，即利用上述模板

15、来回答。(2)牙齿问题的错误点：已知和待定量不能转换成同一个三角形，不能用正、余弦定理解决。方法和技巧1.合理应用仰角、突出度、方位角、方向角等概念，建立三角函数模型。2.把生活中的问题转化为二维空间来解决。也就是说，在一个平面上使用三角函数进行评估。3.合理运用交换法、替代法解决实际问题。错误和预防解决实际问题时，要正确理解以下角度的含义。1.方向角从指定方向线到目标方向线的水平角度2.方位角从正北线顺时针到目标方向线的水平角度。3.坡度由坡度和水平面形成的二面角的切线。4.高度和倾向性角度和目标视线在同一垂直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为高度，目标视线在水平

16、视线下方时称为倾向性角度。a组特殊基础教育(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每个问题5分，共20分)1.在测量中，如果一个通道坡度的坡度为，alpha设定为倾斜角，则cos 等于()A.b.c.d .答案b分析tan =，所以cos =。2.有一个长度为1的坡度，倾斜角度为20，当前高度保持不变，将倾斜角度更改为10，则倾斜角度为()A.1b.2 sin 10C.2 cos 10d.cos 20答案c解释如下：ABC=20，ab=1，ADC=10，Abd=160。由ABD中的正弦定理得到。=、ad=ab=2 cos 10。3.一个大型喷泉中央有一个强大的喷泉，为了测量喷水池喷出的水柱的高度，有人从喷泉情绪方向的点a测量水柱顶部的仰角为45，沿点a测量沿东北30的100米前进点b，从b点测量水柱顶部的仰角为30，水柱高度为。A.50m b.100m c.120m d.150m答案a解析设定水柱高度为h m，水