高三数学一轮复习 函数的最大（小）值教案

1、浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的最大（小）值教材分析 本章中函数的最值是建立在函数的单调性的基础上的，主要是应用函数单调性求函数最值。最值是函数性质中最重要的性质，而二次函数是生活中应用最广泛的一种函数，在高中代数中占有重要的地位，具有承上启下的作用。因此掌握二次函数的值域和最值是研究函数性质的重中之重。函数是学生进入高中阶段后学习的一个重要知识点。本节课将其延伸和拓展为给定区间上的最值问题，通过师生的共同探索，培养学生发现问题，研讨问题，解决问题的能力，更重要的是培养学生探索问题的积极性、主动性和同学互相合作的团队精神。学情分析 有关最值的问题我们只是在学习二次函数的时候提到

2、过，但是有关一般函数的单调性问题是本章中学习的重点。本章的知识点主要是建立在函数的单调性基础上来求解函数的最值问题。有关单调性的知识本校学生掌握的还不错，主要是利用定义来确定函数的单调性，另外前面曾对二次函数的相关知识做了一个专题复习，学习了二次函数的最值求解问题，这些都有助于对本节的知识点的掌握。教学目标1知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.2过程与方法借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.3情感、态度与价值观在学生获取知识

3、的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.教学重难点1.重点：应用函数单调性求函数最值；2.难点：理解函数最值可取性的意义. 教学过程：一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题： 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）（2）（3） （4）二、新课教学（一）函数最大（小）值定义1最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f (x)的

4、最大值（Max）思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Min）的定义（学生活动）注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，

5、在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？解：作出函数h(t) = 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t) = 4.9t 2 + 14

6、.7t +18，我们有：当t =1.5时，函数有最大值h =29.于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.例2求函数在区间2，6上的最大值和最小值。分析：先判定函数在区间2，6上的单调性，然后再求最大值和最小值。解：设x1，x2是区间2，6上的任意两个实数，且x1x2，则f (x1) f (x2) =. 由2x1x26，得x2 x10，(x11) (x21)0，于是 f (x1) f (x2)0，即 f (x1)f (x2).所以，函数y =是区间2，6上是减函数. 因此，函数y =在区间2，6的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最

7、大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4.变式练习：若区间为呢？三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定号 下结论四、作业布置 A类：1.求函数在下列各区间上的最值：（1） （2）1，4 （3） （4） （5）B类：1.求函数在下列各区间上的最值：（1） （2）1， 4 （3） （4） （5）2.已知函数f (x ) =，x1，+).（）当a =时，求函数f (x)的最小值；（）若对任意x1，+)，f (x)0恒成立，试求实数a的取值范围.

8、提示：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x +2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化(x1，+)恒成立，等价于x2 + 2x + a0 恒成立，进而解出a的范围.答案：解：（1）当a =时，f (x) = x +2因为f (x)在区间1，+）上为增函数，所以f (x)在区间1，+）上的最小值为f (1) =.（2）解法一：在区间1，+）上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a0恒成立.设y = x2 +2x+a，(x + 1) 2 + a 1在1，+)上递增.当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a0时，函数f (x)0恒成立，a3. 解法二：f (x) = x +2 x1，+).当a0时，函数f (x)的值恒为正；当a0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.于是当且仅当f (x)min =3 +a0时，函数f (x)0恒成立. 故a3.C类：1